1、2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一） 数 学 试 题 2017.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合U=1，2，3，4，5，6，7， ，t1i2While i4ttiii1End WhilePrint t（第4题图）则= 2若复数满足，其中i为虚数单位，则 3函数的定义域为 4右图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人. 则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长
2、是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为 7从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为 8在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为 9设等比数列的前n项和为，若，成等差数列，且，则的值为 10在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于A，B两点，其中A点在第一象限，且，则直线的方程为 11在中，已知，若点满足，且，则实数的值为 12已知，则 13若函数则函数的零点个数为 14若正数x，y满足，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 在中，分别为角
3、的对边若，且（1）求边的长； （2）求角的大小16（本小题满分14分）EC1A1CBAO（第16题图）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是棱AB上一点，且平面.（1）求证：E是AB中点；（2）若，求证： 17（本小题满分14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）设计要求彩门的面积为S（单位：m2），高为h（单位：m）（S，h为常数）. 彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为l. （1）请将l表示成关于的函数；（2）问当为何值时l最小？并求最小值.CBDA（第17题图） 18（本小题满分16
4、分）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.（1）求该椭圆的方程；PQD（第18题图）AxOy（2）过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19（本小题满分16分） 已知函数（a为正实数，且为常数）.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的取值范围.20（本小题满分16分）已知n为正整数，数列满足，设数列满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前n项和为，对任意的N*，均存在N*，使得成立，求满足条件的所有整数的值.2016-2017学年度苏锡常镇四
5、市高三教学情况调研（一） 数 学 试 题 2017.321【选做题】本题包括，四小题，每小题10分. 请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A（选修41：几何证明选讲）ABCDO（第21A题图）E如图，圆O的直径，C为圆周上一点，,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆O交于点D，E.求的大小和线段AE的长.B（选修42：矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点变换成（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值C（选修44：坐标系与参数方程）已知圆和圆
6、的极坐标方程分别为，（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程D.（选修45：不等式选讲）已知a，b，c为正数，且，求的最大值.【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）CAMPNDB（第22题图）如图，已知正四棱锥中， ，点，分别在，上，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.23（本小题满分10分） 设，n为正整数，数列的通项公式，其前n项和为.（1）求证：当n为偶数时，；当n为奇数时，；（2）求证：对任何正整数，.2016-
7、2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案 2017.3一、填空题1 2 3 45300 6 7 89 10 11或12 13 141 二、解答题：本大题共6小题，共计90分 15解：（1）（法一）在中，由余弦定理，则，得； 2分，则，得， 4分+得：，. 7分（法二）因为在中，则， 2分由得：，代入上式得： 4分. 7分（2）由正弦定理得， 10分又， 12分解得，. 14分16（1）连接，因为平面，平面，平面平面，所以. 4分因为侧面是菱形，所以是中点， 5分所以，E是AB中点.7分（2）因为侧面是菱形，所以，9分又，面，所以面，12分PQD（第18题图）AxOyCBDA
8、（第17题图）HEC1A1CBAO（第16题图）因为平面，所以14分17解：（1）过作于点，则（）， ， 设，则，3分因为S=，则 ；5分则 ()； 7分（2）， 8分令，得. 9分11分减极小值增所以， . 12分答：（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为. 14分18解：（1）由题所以，. 2分所以椭圆C的方程为 4分（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意； 5分当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，6分代入 得， 8分设，则：， 9分所以， 11分又=1.所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1. 16分19解：（1），. 1分 因在上单调递增，则，恒成立. 令，
9、则， 2分x分减极小值增 因此，即.6分（2）当时，由（1）知，当时，单调递增. 7分又，当，；当时，. 9分故不等式恒成立 10分若，设，令，则. 12分当时，单调递减，则，则，所以当时，单调递减， 14分则当时，此时，矛盾. 15分因此，.16分20解：（1）由题意得，因为数列各项均正，得，所以，2分因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.4分（2）由（1）得，5分如果数列是等差数列，则， 6分得：，即，则，解得 ，.7分当时，数列是等差数列，符合题意；8分当=12时，数列不是等差数列，=12不符合题意；9分综上，如果数列是等差数列，. 10分（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使
10、，则，所以.12分当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；14分当，N*，当时，. 不合题意. 15分综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.16分（第卷 理科附加卷）ABCDO（第21A题图）E21【选做题】本题包括，四小题，每小题10分.A（选修41几何证明选讲）.解：连结OC，由于l是圆的切线，故，因为，所以， 2分因为是圆O的直径，所以,则=. 4分，. 7分由切割线定理知，9分所以，则. 10分B（选修42：矩阵与变换）解：设M=，M，M， 3分解得 即M=.5分（2）则令特征多项式，8分解得.矩阵M的另一个特征值为. 10分C（选修44：坐标系与参数方程）解：（1）圆的直角坐标
11、方程为，3分由，得，4分，故圆的直角坐标方程为， 6分（2）-得经过两圆交点的直线为， 8分该直线的极坐标方程为. 10分D（选修45：不等式选讲）解：因为：, 7分由于，故，当且仅当时, 取到最大值6.10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22解：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. 又，所以. 以为坐标原点，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 1分则， DNMABCP（第22题图）Oxyz故， 3分所以，所以与所成角的大小为. 5分（2）， ，.设是平面的一个法向量，则,，可得 令，即， 7分设是平面的一个法向量，则，可得 令，即， 9分，则二面角的余弦值为.10分23证明：（1）因为.当n为偶数时，设，.1分当n为奇数时，设，. 当时， 此时 ，.2分 当时， 此时， . 综上，当n为偶数时，；当n为奇数时，. 3分（2）当时，由（1）得：，=.故时，命题成立5分假设时命题成立，即.当时，由（1）得：=6分=即当时命题成立. 9分综上所述，对正整数命题成立. 10分第 15 页 共 15 页
