江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷.doc
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江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷.doc
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江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷
一、填空题:
(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.)
1.若,其中a、b∈R,i是虚数单位,则=▲.
2.已知集合,集合,集合,则▲.
3.某学校高中三个年级的学生人数分别为:
高一950人,髙二1000人,高三1050人.现要调查该校学生的视力状况,考虑采用分层抽样的方法,抽取容量为60的样本,则应从高三年级中抽取的人数为▲.
4.某国际体操比赛,我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参加,最终将有3人上场比赛,其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是
5.以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为▲.
6.如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且,=+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为▲.
(第6题)
7.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为31,则图中判断框内①处应填的整数为▲.
8.在中,若,则的外接圆半径,将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是:
在四面体中,若两两垂直,,则四面体的外接球半径▲.
9.若是与的等比中项,则的最大值为▲.
10.空间直角坐标系中,点,则A、B两点间距离的最大值为▲.
11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:
3
5
8
9
15
请将错误的一个改正为▲=▲.
12.如图,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角
形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC的边长是▲.
13.已知为直线上一动点,若在上存在一点使成立,则点的横坐标取值范围为▲.
14.若方程没有实数根,那么实数的取值范围是▲.
二、解答题:
(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15、(本小题满分15分)
已知函数,.其图象的两个相邻对称中心的距离为,且过点.(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)在△ABC中.a、b、c分别是角A、B、C的对边,,,角C为锐角且满足,求c的值.
16.(本小题满分15分)
如图,已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长为1的正方形,M、N两点分别在AF和CE上,且AM=EN.
(Ⅰ)求证:
平面ABCD平面ADE;(Ⅱ)求证:
MN//平面BCF;
(Ⅲ)若点N为EC的中点,点P为EF上的动点,试求PA+PN的最小值.
17.(本小题满分14分)
某化工企业2007年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.
(Ⅰ)求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用(万元);
(Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?
18.(本小题满分15分)
如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB。
点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点。
(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;
(Ⅱ)当点P变化时,求证:
以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
19.(本小题满分15分)设常数,函数.
(Ⅰ)令,求的最小值,并比较的最小值与零的大小;
(Ⅱ)求证:
在上是增函数;(Ⅲ)求证:
当时,恒有.
20.(本小题满分16分)
定义:
若数列满足,则称数列为“平方递推数列”。
已知数列中,,点在函数的图像上,其中为正整数。
(Ⅰ)证明:
数列是“平方递推数列”,且数列为等比数列。
(Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式。
(Ⅲ)记,求数列的前项之和,并求使的的最小值。
2013届高三数学综合检测卷参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.
2.
3.21
4.
5.
6.
7.4
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题:
(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ).(2分)
∵最高点与相邻对称中心的距离为,则,即,(3分)
∴,∵,∴,(4分)又过点,
∴,即,∴.(5分)
∵,∴,∴.(6分)
16.(本小题满分15分)
解:
(1)∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴又,∴平面,---------------2分
又∵,∴平面
∵平面ABCD,∴平面ABCD平面ADE-------------------------4分
(2)证法一:
过点M作交BF于,
过点N作交BF于,连结,------------5分
∵∴
又∵∴--------------------------------7分
∴四边形为平行四边形,---------------------------------------------8分
----------10分
[法二:
过点M作交EF于G,连结NG,则------------6分
,------------7分
同理可证得,又,∴平面MNG//平面BCF--------9分
∵MN平面MNG,.--------------------------------------------10分]
(3)如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内,则当点
A、P、N在同一直线上时,PA+PN最小,------------------------------------11分
在△AEN中,∵
由余弦定理得,------13分
∴即.-----------------------14分
17.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)即();---------------------7分
(不注明定义域不扣分,或将定义域写成也行)由均值不等式得:
(Ⅱ)(万元)-----------------------11分
当且仅当,即时取到等号.-------13分答:
该企业10年后需要重新更换新设备.---------14分
18.(本小题满分15分)
解:
建立如图所示的直角坐标系,⊙O的方程为,直线L的方程为。
(Ⅰ)∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为,
∴,。
将x=4代入,得。
∴MN的中点坐标为(4,0),MN=。
∴以MN为直径的圆的方程为。
同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是。
(Ⅱ)设点P的坐标为,∴(),∴。
∵,
将x=4代入,得,。
∴,MN=。
MN的中点坐标为。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O内定点。
19.(本小题满分15分)
解(Ⅰ)∵,
∴,……2分
∴,
∴,令,得,……4分
列表如下:
2
0
↘
极小值
↗
∴在处取得极小值,
即的最小值为.……6分
,
∵,∴,又,∴.……8分
证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知,的最小值是正数,
∴对一切,恒有,……10分
从而当时,恒有,……11分
故在上是增函数.……12分
证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
在上是增函数,
∴当时,,……13分
又,……14分
∴,即,
∴
故当时,恒有.……15分
20.(本小题满分16分)
(Ⅰ)由条件an+1=2an2+2an,得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列”.∴lgbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.∴{lg(2an+1)}为等比数列.
(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n-1×lg5,∴2an+1=5,∴an=(5-1).
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.
∴Tn=5.
(3)cn====2-,
∴Sn=2n-[1+++…+]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2.
由Sn>2008得2n-2+2>2008,n+>1005,
当n≤1004时,n+<1005,当n≥1005时,n+>1005,∴n的最小值为1005.
8
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