抽象函数学案.doc
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抽象函数学案.doc
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抽象函数是指只给出函数的一些性质,而未给出函数解析式的一类函数,抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活。
因此。
,抽象函数在近几年的各种考试中成为考查重点。
一. 求定义域
例1.若函数y=f(x)的定义域是[-2,2],则函数y=f(x+1)+f(x-1)的定义域为
例2.已知函数f(x-1)的定义域是[-1,1],则函数f(x+1)的定义域是。
。
二、求函数解析式
例3:
是否存在这样的函数f(x),使下面3个条件:
(1)
(2)
(3)
同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,若不成立,说明理由。
二. 周期性问题与求函数值
例4:
.若f(x+2)=-f(x)对一切x恒成立,则周期为4
变题1:
若对一切x恒成立,则周期为4
变题2:
若,则f(x)的周期是5
变题3:
若,则f(x)的周期是10
练习:
设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足:
f(x+2)=-f(x),
当0≤x≤1时f(x)=x则f(7.5)等于()
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
例5:
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,]都有
(Ⅰ)
(Ⅱ)证明是周期函数;
三. 判断函数奇偶性对称性
例6:
.已知函数y=f(x),(x∈R),若f(2+x)=f(2-x)则函数y=f(x)图象关于直线X=2对称。
变题1:
若将条件f(2+x)=f(2-x)改成f(x)=f(4-x)呢?
改成f(1+x)=f(3-x)呢?
变题2:
已知函数y=f(x),(x∈R),则y=f(2+x)与y=f(2-x)的图象关于直线X=0对称。
变题3:
设a是常数,函数f(x)对一切,都满足
求证:
函数f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形
x
x3
y
2
x1
x2
x4
练习:
函数y=f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(-x),
若方程f(x)=0恰好有4个不同的实根、则这些
实根之和为()。
(A)0;(B)2;(C)4;(D)8。
例8:
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0.
(1)求证f(0)=1;
(2)求证:
y=f(x)为偶函数
四.单调性问题
例9.已知函数f(x)定义域为R,且满足任意x∈R,f(x+2)=-f(x),又x∈[4,6]时,f(x)单调递增,试比较f(ln4)与f(ln2)的大小。
例10.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在[0,1)上是增函数,又f(a-2)-f(4-a2)<0,求实数a的范围。
例11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a,b,当a+b≠0,
都有
(1).若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2)若对一切x∈[-1,1]恒成立,
求实数k的取值范围
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