基本不等式试题.docx
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基本不等式试题.docx
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基本不等式题
一、选择题
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D.+≥2
2.若a>1,则a+的最小值是( )
A.0B.2C.D.3
3.若x>0,f(x)=+3x的最小值为( )
A.12B.-12C.6D.-6
4.函数y=x(0<x<2)的最大值是( )
A.B.C.1D.2
5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.60件B.80件C.100件D.120件
6.点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,z=3x+27y+3的最小值为( )
A.B.3+2C.6D.9
7.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
A.x=B.x≤C.x>D.x≥
8.已知正数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值的实数对(a,b)是( )
A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)
9.不等式≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16B.25C.9D.36
11.若x,y是正数,则+的最小值是( )
A.2B.C.4D.
12.给出下列语句:
①若a,b为正实数,a≠b,则a3+b3>a2b+ab2;
②若a,b,m为正实数,a<b,则<;
③若>,则a>b;
④当x∈时,sinx+的最小值为2,其中结论正确的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
13.已知x>0,y>0,lgx+lgy=1,则z=+的最小值为________.
14.函数f(x)=lgx+(0<x<1)的最大值是________,当且仅当x=________时取等号.
15.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
16.已知a>b>0,则a2+取最小值时b的值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
(1)已知x>0,求y=2-x-的最大值;
(2)已知x>2,求y=x+的最小值;
(3)已知0<x<,求y=x(1-2x)的最大值.
18.(本小题满分12分)过点P(2,1)的直线l分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,求△AOB的面积S的最小值.
19.(本小题满分12分)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为8.
(1)求+的最小值;
(2)求a2+16b2-4ab的最小值.
20.(本小题满分12分)是否存在常数c,使得不等式+≤c≤+对任意正实数x,y恒成立?
证明你的结论.
参考答案与解析
1. 【解析】选D.特值法:
取a=b=-1可排除A、B、C选项.
2.【解析】选D.因为a>1,所以a-1>0,a+=(a-1)++1≥2+1=3,当且仅当a-1=,即a=2时,等号成立,故选D.
3.【解析】选A.因为x>0,
所以f(x)=+3x≥2=12,
当且仅当=3x,即x=2时取等号.
4.【解析】选B.因为0<x<2,所以0<1-<1,
所以y=x=2·≤
2=,当且仅当=1-,即x=1时,等号成立,故选B.
5. 【解析】选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800+·x,
所以平均每件费用y=
=+≥20,
当且仅当=,即当x=80件时,ymin=20.
6.【解析】选D.因为x+3y=2,
所以z=3x+33y+3≥2×+3
=2+3=9.
当且仅当x=3y即x=1,y=时取等号.
7.【解析】选B.A(1+x)2=A(1+a)(1+b),从而(1+x)2=(1+a)·(1+b)≤=,所以x≤.
8.【解析】选A.+=(4a+b)=≥
=,
当且仅当即时等号成立.故选A.
9. 【解析】选B.==a+1+≥a+1+2=(+1)2,当且仅当x=y时等号成立,所以的最小值为(+1)2,于是(+1)2≥9恒成立,所以a≥4,故选B.
10.【解析】选B.(1+x)(1+y)≤===25,
因此当且仅当1+x=1+y即x=y=4时,(1+x)(1+y)取最大值25,故选B.
11.【解析】选C.+=++≥1+1+2=4.
当且仅当x=y=时,式子取得最小值4.
12.【解析】选C.本题①中作差变形后可得:
a3+b3-a2b-ab2=(a-b)2(a+b),由于a,b为正实数,a≠b,所以(a-b)2(a+b)>0,即①正确;对于②用赋值法很容易判断其错误,如a=1,b=2,m=1,符合条件但结论不正确;对于③,利用不等式的性质,在不等式两边同时乘c2,不等号的方向不改变,故正确;对于④,利用基本不等式成立的条件“一正,二定,三相等”的第三点不成立,取不到“=”,故④错误.综合得正确的有①,③两个,从而选C.
13. 【解析】由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.
则+≥2=2,
故=2,
当且仅当2y=5x时取等号.
又xy=10,即x=2,y=5时等号成立.
【答案】2
14.【解析】因为0<x<1,所以lgx<0,
所以-lgx>0,
f(x)=lgx+=-
≤-2=-4.
当且仅当-lgx=,
即lgx=±2时,取“=”.
又因为lgx<0,所以lgx=-2,此时x=.
【答案】-4
15.【解析】因为x>0,所以x+≥2(当且仅当x=1时,等号成立),所以
=≤=,
即的最大值为,故a≥.
【答案】
16.【解析】因为a>b>0,所以0<b(a-b)≤=,当且仅当b=a-b,即b=时等号成立,所以≥=,所以a2+≥a2+≥2=32,当且仅当a2=,即a=4时等号成立,此时b==2.
【答案】2
17.【解】
(1)因为x>0,所以x+≥4,
所以y=2-≤2-4=-2,
所以当且仅当x=(x>0),
即x=2时,ymax=-2.
(2)因为x>2,所以x-2>0,所以y=x+=x-2++2≥2+2=4.所以当且仅当x-2=(x>2),即x=3时,ymin=4.
(3)因为0<x<,所以1-2x>0,所以y=×2x·(1-2x)≤=,所以当且仅当2x=1-2x,
即x=时,ymax=.
18.【解】设直线l的方程为y-1=k(x-2)(显然k存在,且k≠0).
令y=0,可得A;
令x=0,可得B(0,1-2k).
因为A,B都在正半轴上,
所以2->0且1-2k>0,可得k<0.
所以S△AOB=|OA|·|OB|=
(1-2k)
==-2k++2
≥2+2=4,
当且仅当k2=,即k=-时,S△AOB取得最小值4.
19.【解】
作出不等式组表示的平面区域,如图,作直线l0:
ax+by=0,
平移l0,由图可知,当直线经过点A(1,4)时,zmax=ax+by=a+4b=8.
(1)因为a>0,b>0,则+=(a+4b)·=≥=(5+4)=,
当且仅当==2,即a=,b=时取等号,
所以+的最小值为.
(2)因为a+4b=8,a>0,b>0,
所以a+4b≥2=4,
所以ab≤4.
又因为a2+16b2≥=32,
所以a2+16b2-4ab≥32-16=16,当且仅当a=4b=4,即a=4,b=1时取等号,
所以a2+16b2-4ab的最小值为16.
20【解】当x=y时,由已知不等式得c=.下面分两部分给出证明:
(1)先证+≤,此不等式⇔
3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y)
⇔2xy≤x2+y2,此式显然成立.
(2)再证+≥,此不等式⇔3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)
⇔x2+y2≥2xy,此式显然成立.
综上可知,存在常数c=,使得不等式+≤c≤+对任意正实数x,y恒成立.
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