必修一函数的单调性专题讲解(经典).doc
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高一升高二个辅资料第三课时第二次课
第一章函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1.定义:
对于函数,对于定义域内的自变量的任意两个值,当时,都有,那么就说函数在这个区间上是增(或减)函数。
重点2.证明方法和步骤:
(1)取值:
设是给定区间上任意两个值,且;
(2)作差:
;
(3)变形:
(如因式分解、配方等);
(4)定号:
即;
(5)根据定义下结论。
3.常见函数的单调性
时,在R上是增函数;k<0时,在R上是减函数
(2),在(—∞,0),(0,+∞)上是增函数,
(k<0时),在(—∞,0),(0,+∞)上是减函数,
(3)二次函数的单调性:
对函数,
当时函数在对称轴的左侧单调减小,右侧单调增加;
当时函数在对称轴的左侧单调增加,右侧单调减小;
4.复合函数的单调性:
复合函数在区间具有单调性的规律见下表:
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
减↘
增↗
以上规律还可总结为:
“同向得增,异向得减”或“同增异减”。
在函数、公共定义域内,
增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数.
5.函数的单调性的应用:
判断函数的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域)。
例题分析
例1:
证明函数f(x)=在(0,+∞)上是减函数。
例2:
证明在定义域上是增函数。
例3:
证明函数f(x)=x3的单调性。
例4:
讨论函数y=在[-1,1]上的单调性.
例5:
讨论函数f(x)=的单调性.
例6:
讨论函数的单调性
例7:
求函数的单调区间。
习题:
求函数的单调区间。
例8:
设f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内判断函数y=[f(x)]2.的单调性
例9:
若f(x)=,则f(x)的单调增区间是________,单调减区间是________.
例10:
对于任意x>0,不等式x2+2x-a>0恒成立,求实数a的取值范围。
例11:
若函数在上是增函数,在上是减函数,则实数m的值为
习题:
若函数,在上是增函数,则实数m的范围为;
例12:
若定义在R上的单调减函数f(x)满足,求a的取值范围。
习题:
若定义在上的单调减函数f(x)满足,求a的取值范围。
针对性训练
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.函数y=-x2的单调减区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)
2.若函数y=kx+b是R上的减函数,那么( )
A.k<0B.k>0C.k≠0D.无法确定
3.下列函数在指定区间上为单调函数的是( )
A.y=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)
B.y=,x∈(1,+∞)
C.y=x2,x∈R
D.y=|x|,x∈R
4.已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,则( )
A.f(-1) (1) (2)B.f (1) (2) C.f (2) (1)D.f (1) (2) 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.若f(x)是R上的增函数,且f(x1)>f(x2),则x1与x2的大小关系是________. 6.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则f(a2+1)与f(a)的大小是________. 三、解答题(每小题10分,共20分) 7.求函数f(x)=的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性. 8.定义在(-1,1)上的函数f(x)是减函数,且满足f(1-a)<f(a),求实数a的取值范围. 9.(10分)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求a的取值范围.
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