高等数学公式定理整理.docx
- 文档编号:6120560
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:91.98KB
高等数学公式定理整理.docx
《高等数学公式定理整理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学公式定理整理.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高等数学公式定理整理
1.01版
本定理,公式整理仅用于参考,具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。
蓝色为定理红色为公式
三角函数恒等公式:
两角和差
和差化积
积化和差
倍角公式(部分):
很重要!
一、函数
函数的特性:
1.有界性:
假设函数在D上有定义,如果存在正数M,使得对于任何的x∈D都满足|f(x)|≤M。
则称f(x)是D的有界函数。
如果正数M不存在,则称这个函数是D上的无界函数。
2.单调性
设f(x)的定义域为D,区间ID。
X1,x2∈I,那么,如果x1
3.奇偶性
如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数,如果f(-x)=-f(x),那就是奇函数。
4.周期性
设函数的定义域为D,若存在不为零的数T,使得任一x∈D有(x±T)∈D,且f(x±T)=f(x)总是成立,就称该函数为周期函数,如sinx,cosx,它们就是以2π为周期的周期函数。
反函数:
就是用自变量X来表示原函数Y,如下列式子:
原函数f(x)=x+5,它的反函数为x=f(x)-5,也就是f(x)=x-5;
复合函数和初等函数:
重要!
:
六个基本初等函数是:
幂函数(xa),指数函数(ax),对数函数(logax,lgx【log10x】,lnx【logex】),三角函数(sinx,cosx,tanx,ctnx,secx,cscx),反三角函数(常见反三角函数为arcsinx,arccosx,arctanx)
复合函数就是初等函数,初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的,分段函数不是初等函数。
二、极限与连续
极限就是一个数无限趋近于一个值,函数极限就是函数无限趋近于一个值,用limx→x0f(x)=A
如何得知一个函数有极限?
算出左极限和右极限。
并且左右极限相等。
极限运算法则
limx→x0[f(x)±g(x)]=limx→x0f(x)±limx→x0g(x)=A±B
limx→x0[cf(x)]=climx→x0f(x)=cA
limx→x0f(x)·limx→x0g(x)=limx→x0f(x)·g(x)=A·B
=(B≠0)
重要!
:
两个重要极限
1.夹逼准则
如果xn,yn,zn满足xn≤yn≤zn
那么这就是夹逼准则。
2.
图1
如图1,∠AOC=x(0 化简 两边同时除以sinx 根据夹逼准则得出 所以 3.(这是标准公式,题目有类似的把它转换成标准公式即可) 4.无穷大量和无穷小量 (1)性质1,无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量 (2)性质2,两个无穷小量之积仍为无穷小量 (3)性质3,两个无穷小量的代数和仍为无穷小量 定理1,在自变量变化过程中,函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。 定理2,b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a) 定理3,设a~a’,b~b’,且limb’/a’存在,则lima/b=lima’/b’。 无穷小量的比较: 其中等价无穷小可运用到极限运算中(加减关系不能用,乘除关系可以用,且x趋于0) 等价公式: 当x→0时,sinx~x,tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1, (a^x)-1~x*lna((a^x-1)/x~lna),(e^x)-1~x,ln(1+x)~x,(1+Bx)a-1~aBx,[(1+x)1/n]-1~(1/n)*x,loga(1+x)~x/lna,(1+x)a-1~ax(a≠0), 5.连续 定义设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义,若lim(△x→0)△y=0,则称函数f(x)在x0这个点连续。 条件: (1)f(x0)有定义,有数值; (2)lim(x→x0)有极限,(3)且左右极限相等;才连续。 左右连续和左右极限相同,如图: 就是说只有左右连续相等,且有定义,那么才连续。 (1)间断点 根据函数连续的定义,可以分成四个间断点。 可去间断点: 左右极限存在且相等,但是却没有定义。 跳跃间断点: 左右极限存在却不相等,在该点有(无)定义。 震荡间断点: 极限不存在,函数值在几个数之间摇摆。 无穷间断点: 在区间内极限区域无穷大。 闭区间连续函数的性质: 1、[a,b]区间里连续函数,必定存在最小值和最大值; 2、函数f(x)在[a,b]区间连续,则在[a,b]必定有界; 3、若函数f(x)在[a,b]连续,且f(a)=A,f(b)=B,又A≠B,C是介于A,B的一个值,则必定存在一个点ξ,使得f(ξ)=C; 4、若函数f(x)在[a,b]连续,且f(a),f(b)异号,则一定存在一个x0∈(a,b),使得f(x0)=0; 三、导数 导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率; 求某一点的导数 连续不一定可导,可导一定连续; 导数的求导公式: 1.y=c(c为常数)y'=0 2.y=xny'=nx(n-1) 3.y=axy'=axlna y=exy'=ex y=lnxy'=1/x 5.y=sinxy'=cosx 6.y=cosxy'=-sinx 7.y=tanxy'=1/cos2x 8.y=cotxy'=-1/sin2x 9.y=arcsinxy'=1/√1-x2 10.y=arccosxy'=-1/√1-x2 11.y=arctanxy'=1/1+x2 12.y=arccotxy'=-1/1+x2 函数的求导法则: 复合函数求导法则: 链式法则: 例: 隐函数求导法: (1)两端同时求导 (2)等式两端取对数 1.先将等式两边取自然对数;2.对等式两边求导; 参数方程求导法: 罗尔定理: [a,b]连续,(a,b)可导,且f(a)=f(b),则有一个数ξ,使得f’(ξ)=0。 拉格朗日定理: [a,b]连续,(a,b)可导,则(a,b)至少有一点ξ,使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a) 即 罗必塔法则,求极限,如果函数的关系诸如或者的未定式,可以直接对分子分母求导运算。 如果是0·∞时可通过来求。 如果是0-0或∞-∞可以通分来求。 函数的单调性和极值: 四步走: 1.求定义域;2.求导;3.在定义域中求一阶导数为0的点(驻点);4.列表说明单调增减 函数的凹凸率,1.求定义域;2.求二阶导;3.求定义域中二阶导为0的点(拐点);4.根据拐点和定义域列表。 二阶导为正数则是凹,为负数则是凸; 四、不定积分 不定积分和导数是逆运算关系; 不定积分求法分三种: 直接积分(直接使用基本公式求);第一类换元积分(用一个字母代替变量,如: );第二类换元积分法(当被积函数中有诸如这样的根式,可令根式为u,然后依次往下,带入原式);分部积分法: 五、定积分 1.求定积分上限函数和下限函数 2.牛顿拉布尼茨公式(用不定积分的公式求,最后不加常数c) 3.广义积分(积分上(下)限无穷和瑕积分) (1)积分区间的无穷区间 即求广义积分的敛散性,如果 (2)瑕积分(在无穷间断点的广义积分) 这题可别被外表蒙蔽,因为函数极限在f(0)外连续,在f(0)处无定义,所以x=0是被积函数的无穷间断点;于是: 六、微分方程 1.可分离变量的通解,直接计算 2.齐次方程通解,用u代替 3.一阶线性非齐次方程的通解 形如 附: 一阶线性齐次方程的通解 4.可降解二阶微分方程通解 5.二阶线性齐次方程通解 形如 参数方程求法 如果r1,r2是不相同的两个实数根(单根),那么 如果r1,r2是两个相同的实数根(重根),那么 如果r1,r2是两个非实数根(共轭复数根),那么 二阶线性非齐次微分方程的通解 二阶线性非齐次方程的通解等于对应二阶线性齐次方程的通解加上二阶线性废非弃次方程的特解 二阶线性非齐次方程的特解: 自由项的特解 Pn*(x)=xkQ(x)eλx Q(x): 看他是多少次的,例如二次就是Ax2+Bx+C,一次就是Ax+B; Λ的数值和参数方程的根r对应,如果只有一个数对应(单根),那么k取1,,如果是重根(两个数都对应,即r1=r2),则k取2;如果没有相同的,则k取1;
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 公式 定理 整理