第六届华杯赛参考答案Word文档下载推荐.docx
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因此,用慢表测速度,这辆汽车的速度是:
50×
5÷
≈50.3(千米/小时)
即每小时约50.3千米
8.【解】个位数字是1的两位质数有:
11,31,41,61,71
其中168-11=157,168-31=137,168-41=127168-61=107,都不是两位数,只有168-71=97
是两位数.而且是质数.所以168=71+97是唯一的解
9.【解】如图,设相应方格中的数为x1,x2,x3,x4。
由已知条件:
行、列及对角线的三个数的和都相等,可以列出下面的等式
(方程):
?
十x1十x2=?
+x3+x4=x1+x3+13=x2十19+x4,
这样,前面两个式子的和就等于后面两个式子的和,
即有2×
?
+x1十x2+x3+x4=13+19+x1十x2+x3+x4
所以2×
?
=13+19=
=16,
左上角的数是16
10.【解】将此铁皮沿长4米的边卷起成圆柱面圆柱底面的圆周长为4米,因而半径为
,由于高为1米, 圆柱体积为:
V=
≈1.274(立方米)
现在(圆柱)的体积和原来(正方体)的体积之比是:
≈1.274=127.4%
即体积增加了127.4%-100%=27.4%
所以,现在产量增加了27%,仍能装下.
11.【解】乙管注水速度是甲管两倍,所以甲管单独注水需
12×
3=36(小时),将水池注满,乙管注水9小时,相当于甲管注水9×
2=18(小时)
因此,甲管已经注水的时间是36-18=18(小时)
答:
甲菅注水的时间是18小时。
12.【解】这立体的上(顶)表面积之和就等于底层的底面积,各层的侧面积为:
第l层4,
第2层4+8=12,
第3层(3+4)×
2=14,
所以,这立体图形的表面积是
4+12+14+12×
2=54(平方厘米)
13.【解】装洗衣物的圆桶体积为:
×
36,洗衣机的体积为:
36÷
25%
所以,洗衣机的高为:
25%÷
(52×
50)
=3.14×
400×
36×
4×
≈69.56,即高是70厘米.
14.【解】
分母n小于12的最简分数
,如果比
大,那么:
≥
分母大于12的分数
与
-
所以答案是
15.【解】甲、乙二人第一次相遇时,一共走过的路程是
=100(米).
所需要的时间是
(秒)
以后,两人每隔
(秒)相遇一次因为
=53.3,
所以,16分钟内二人相遇53次.
16.
【解】由于AD=
AC,所以
.
又
+
且
所以
从而
于是有
第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛复赛答案(小学组)
1.【解】由于(1+
)×
(1-
)=
=1
(1+
=1
……
所以原式=1+
=1.1
2.【解】A顺时针转一周时,c顺时针转
周,同轴的B也顺时针转
周,从而绳索被拉动的距离等于B的半个圆周长即π×
20=62.8厘米.这时的重物应该上升
62.8厘米,即31.4厘米.
3.【解】原式=2÷
1998×
(1998+1+
1999
=2×
(1999+1+
)
=4000+2×
(
=4002+2×
=4002+
=4002.001
4.【解】有四种可能:
①两个6面体;
②一个5面体及一个7面体;
③两个5面体;
④一个5面体及一个6面体
5.【解】将这卷纸展开后,它的侧面可以近似地看作一个长方形,它的长度就等于面积除以宽.这里宽就是纸的厚度,而面积就是一个圆环的面积.因此
纸的长度≈
≈
=7143.5(厘米)
因此,这卷纸展开后大约有71.4米长
6.【解】每天做60个,到原定日期多做:
60×
5=300(个),
每天做50个,到原定日期少做:
8=400(个),
因此原定天数是:
(400+300)÷
(60-50)=70(天),
这批零件共有:
70+400=3900(个)
7.【解】
100%=9.91329%
约为9.91%
8.【解】
更大
将乘积
=A
与乘积
=B
相比较,由于
,1>
所以A>B,而A×
B=
,因此A>
9.【解】设甲、丙在C点相遇,这时乙到达D,又设甲、乙在E处相遇。
因为甲、乙步行的速度相同,所以AC=BD,丙步行的长度是AC,乙步行的长度是BE,甲步行的长度是AC+BE,由于BE>BD=AC,所以丙最先到达目的地,甲最后到达目的地。
【注】本题骑车速度与步行速度的比并不重要,不必考虑
10.【解】设A、B、C为业余选手,D、E、F为专业选手如果A胜4场,这时有两种情况:
(1)A胜B、C及两名专业选手这时4其增加1+1+2+2-1=5分。
负于A的专业选手至多增加1+1-2+2+2=4分。
设B,C中B胜C,则C也至多增加2+2+2-1-1=4分.所以A必定进入前三名。
(2)A胜三名专业选手及一名业余选手,这时A共增加2+2+2+1-1=6分,每名专业选手至多增加2+2-2+1+1=4分,所以A必定进入前三名
如果A胜3场,A不一定能进入前三名。
上图用A→B表示A胜B,等等.而A、B、C、D都胜E及F这时A增加2+2+1-1-1=3分,B增加2+2+2-1-l=4分,C增加2+2+1+1+1=5分,D增加2+2+1+1-2=4分,所以A只能是第四名。
因此业余选手至少胜4场,才能保证进入前三名。
注:
本题原来的标准解答有错,误以为胜3场就够了。
11.【解】①填表
②由该表可以看出,所给四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系:
4+3-6=1
8+5-12=1
6+4-9=1
10+6-15=1
所以,我们可以推断:
任何平面图的顶点数、边数及区域数之间,都有下述关系:
顶点数+区域数-边数=1。
③由上面所给的关系,可知所求平面图的边数:
边数=顶点数+区域数-1=999+999-1=1997
12.【解】设起点到终点路程为S,慢车车速为1,慢车行驶的时间为S÷
1=S(分),用于停靠的时间为30分,由题意可得
S+30=40+
+3,于是得S=78
可见快车从起点到终点共需78+30-40=68{分钟)
13.【解】第二行起,每行都包含一个数字0,而且一行在左边,一行在右边,确切地说,偶数行的第一个数字为0,奇数行(第一行除外)的最后一个数字为0.
偶数行,每一个数等于它左边的数加上它左上方的数。
奇数行,每一个数等于它右边的数加上它右上方的数。
这样第8行应当是0,61,122,178,…,所以x=178。
14.【解】最大堆与最小堆共22×
2=44个苹果较大的2堆与较小的2堆共44×
2+7-5=90个苹果所以中间的一堆有:
(18×
3+26×
3-90)÷
2=21
个苹果较大的2堆有:
26×
3-21=57
个苹果,最大的一堆有:
(57+5)÷
2=31
个苹果,次大的2堆有:
57-31=26
个苹果较小的2堆有:
18×
3-21=33
个苹果次小的一堆有:
(33+7)÷
2=20
个苹果最小的一堆有:
20-7=13个苹果
15.【解】注意到
1-
=0,
,
所以,如果能在下面的方框中填入加减号,使不等式0<
□
口……口
<
成立,
则原来的问题就一定有肯定的答案,再注意
,
因此,只要在下面的方框中填入加减号,使不等式
0<
口
成立.
令X=
,则
X=(
)+(
)+
>0
而且,X=
-(
)-(
)<
将以上的算式倒推回去,具体写下来,就得
0<1-
16.【解】设20+11m,30+10n,50+9k为甲、乙、丙三班捐书总数,则
(20+11m)=(30+10n)+28
(30+1On)=(50+9k)+101
即11m=10n+38,10n=9k+121,从而11m=9k+159,
已知550≥20+11m,50+9k≥400,
所以530≥11m=9k+159≥350+159=509,
从而49>m>47,m=48,于是,n=49.k=41
甲、乙、丙班人数依次为51(=48十3),53(=49+4),49(=41+8)人
17.【解】不妨设平原地区耕地为0.69亿公顷到2030年产量为4000×
0.69×
1.7=4692(亿千克)
山地、丘陵地区的产量为(4500-4000×
0.69)×
1.2=2088(亿千克)
粮食总产量为4692+2088=6780(亿千克)
而人口不超过12.7×
1.13=16.9(亿)
按年人均400千克计算,共需400×
16.9=6760(亿千克)
所以,完全可以自给自足。
第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛决赛一试答案(小学组)
1.【解】因为210=1024,211=2048>1997,每一个不大于1997的自然数表示为质因子相乘,其中2的个数不多于10个,而1024=210,所以,N等于10个2与某个奇数的积
2.【解】如果全铺化纤地毯,少用22455—35×
122
元每平方米少用(250—35)元,所以纯毛地毽的面积为(22455—35×
122)÷
(250—35)=81(平方米).
从而纯毛地毯的边长为9米
因此,外围化纤地毯宽度是(12—9)÷
2=1.5(米)
3.【解】设10个“居中数”从小到大是
,…,
,它们所代表的那组数分别为第一组,第二组…,第十组.
比第一组中两个数大,所以
≥3.
比第二组中两个数大,又比第一组的前3个数大,所以
≥6,依次类推,
比第十组中两个数大,又比前九组中,每一组的前3个数大,所以
≥30,因此,居中和
S≥3+6+…十30=165
(1)
另一方面,
比第十组中两个数小,所以
≤50-2=48.
比第九组中两个数小,又比第十组的后3个数小,所以
≤50-5=45.依此类推:
比第一组中两个数小,又比后九组中,每一组的后3个数小,所以
≤50-9×
3-2=21.因此。
居中和S≤48+45+…+21=345
(2)
(1)
(2)中的等号都可以成立,例如分组
(1,2,3,49,50),(4,5,6,47,48),(7,8,9,45,46),(10,11,12,43,44),(13,14,15,41,42),(16,17,18,39,40),(19,20,21,37,38),(22,23,24,35,36),(25,26,27,33,34),(28,29,30,31,32)
使得S=165,这是最小的居中和,又如分组
(1,2,21,22,23),(3,4,24.25,26),(5,6,27,28,29);
(7,8,30,31,32),(9,10,33,34,35),(11,12,36,37,38),(13,14,39,40,41),(15,16,42,43,44),(17,18,45,4647),(19,20,48,49,50)
使得S=345,这是最大的居中和。
最大的居中和是345,最小的居中和是165。
4.【解】设红、黄、白和蓝色卡片的数字分别是a3,a2,a1和a0,
这四位数可以写成1000a3+100a2+10a1+a0,
数字和的1O倍是10(a3+a2+a1+a0)=10a3+10a2+10a1+10a0,
四位数与数字和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998,即110a3+10a2-a0=222,
比较等式(*)两边个位、十位和百位,a0=8,a2=1,a3=2
于是,红卡上的数字是2,黄卡上的是1,蓝卡上的是8。
5.【解】设最初有N个球,N=
≠0,
≠0.
第一次添加(10一
)个,分成10堆,拿走9堆后留下的球数是:
若
=9,不必添加,就可以分成10堆.若
<9,则添加10-(
十1)个,再分成lO堆.
无论
=9还是
<9,两次“均分”,共需要添加(10-
)+(9-
)个球,
余下小堆的球数是:
同样道理,第三次“均分”,需添加10-(
+1)个球,
连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了(10-
个球.并且,“均分”一次,k位数N就少一位.经过k一1次均分,余下
+1>1个球.所以,经过k次“均分”后,就余下1个球.总共添加的球数是:
10+9(k一1)一(
十…十
)(个)
当N=1234…19961997时.N的位数k
=1×
9+2×
90+3×
900+4×
(1997—999)
=9+180+2700+4000-8=6881
N的数字和也就是:
1,2,…1996,1997
中所有数字的和,如果在后面再添上1998,1999,那么l在千位出现1000次;
0,l,2…9在百位、十位、个位都各出现200次,所以N的数字和为:
1×
1000+3×
200×
(1+2+…+9)-(1十9十9+8+1+9+9+9)=27945
因此所加的球数是:
10+9×
6880-27945=33985(个).
“均分”6881次,添加了33985个球.
6.【解】将机器当成点,连结的电缆当成线,我们就得到一个图.如果从图上一个点出发,可以沿着线跑到图上任一个其它的点,这样的图就称为连通的图,条件③表明图是连通图
我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈(如果有圈,就在圈上去掉一条线),从一点出发.沿线前进,已走过的点不再重复,那么走若干步后,必然走到一个点,不能再继续前进,将这一点与连结这点的线去掉.考虑剩下的n-1个点的图,它仍然是连通的。
用同样的办法又可去掉一个点及一条线.这样继续下去,最后只剩下一个点。
因此n个点的连通图至少有n-1条线(如果有圈,线的条数就会增加),并且从一点A向其它n-1个点各连一条线,这样的图恰好有n-1条线
因此,
(1)的答案是n=79+1=80,并且将一台计算机与其它79台各用一条线相连,就得到符合要求的联网
下面看看最多连多少条线。
在这80个点(80台计算机)中,设从A.引出的线最多,有K条,与
相连的点是
,由于条件②,
、
、…、
之间没有线相连
设与
不相连的点是
,则m+k=80
而
每一点至多引出K条线,图中至多有mK条线,因为
m×
k=
≤
=6400.
所以m×
k≤1600即连线不超过1600条
另一方面,设80个点分为两组:
;
,第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连,这样的图符合题目要求,共有40×
40=1600条线,因此,最多可连1600条线。
我们只用到图是连通的,而没有利用强得多的条件③,因此结论更有一般性。
第六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛决赛二试答案(小学组)
1.【解】b只能在3、4中取,c只能在1,2中取
b、c取定后,a、d不难选取,共有5个满足要求的,即1324;
1423;
2314;
2413;
3412。
2.【解】当一盏灯经奇数次变换后是亮的,经偶数次变换后是灭的.所以只需将某一行(或某一列)的按钮均变换一次,这样,非此行(或列)的格子均变换1次,而该行(或列)的格子均变换了1997次,所以每盏灯均经过奇数次变换,结果都亮了。
这也是最少的变换次数,因为如果减少一次变换,就会造成被减少变换的格子所在的列(或行)的灯不亮.
3.【解】设当甲以40千米/小时骑车与丙在N地相遇时,乙位于P地,如上图
当甲以40千米/小时的速度骑车与乙在M地相遇时.
甲骑车的路程:
AM=40×
=70(千米),乙骑车的路程:
BM=105-70=35(千米),
则乙的速度是:
35÷
=20(千米/小时)
3分钟后,丙乙相距:
PN=(40+20)×
=3(千米),
乙骑车到P的路程:
BP=35+20×
=36(千米),
乙从P骑车到c的路程:
PC=
22-36=19(千米),
乙从P到C所用的时间:
19÷
20=
(小时)
乙从P到C所用的时间也是丙从N到C所用的时间,所以,丙的车速是:
3÷
+20=
(千米/小时)
丙的车速是
千米/小时.
4.【解】设圆周上余a枚棋子,从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时,小洪拿走了2a枚棋子,所以在第9次将要越过A处棋子时,圆周上有3a枚棋子.依此类推,在第8次将要越过A处棋子时,圆周上有
a枚棋子,…,在第1次将要越过A处棋子时,圆周上有
a枚棋子,在第1次将要越过A处棋子之前,小洪拿走了2(
a-1)+1枚棋子,所以N=2(
a-1)+1+
a=
a-1.
N=
a-1=59049a-1是14的倍数。
N就是2和7的公倍数,所以a必须是奇数;
又N=(7×
8435+4)a-1=7×
8435a+4a-1,所以4a-1必须是7的倍数.当a=21,25,27,29时,4a-1不是7的倍数,当a=23时,4a-1=91=7×
13,是7的倍数.
圆周上还有23枚棋子.
5.【解】
(a)设解题最多的人解出d道题.将解出的题数相加,八个人至多解出8d道,另一方面,每题至少被5个人解出,八个人至少解出8×
5道题。
所以8d≥8×
5,d≥5d=8时,结论成立d=7时,必有人解出剩下的一道题,这两人为所求,d=6时,剩下的两道题,各有5人解出,5+5>7。
所以至少有一人同时解出这两道题,他与解题最多的人为所求,d=5时。
另三道题每道各有5人解出,设这三道题是6,7,8,解出6的人数与解出7的人数之和为10,而除解题最多的人外只有7人,所以,有三人同时解出6,7二题,又解出8的人数为5,3+5=8>7,所以必有一人同时解出6,7,8这三道题,他与解题最多的人为所求。
(b)如表,表中如果*位于第i行,第j列,则表示第i个学生正确解答第j题.
6.【解】共有16组解答,它们是
(1,2,2,5,5,7,25);
(1,2,2,5,5,14,5);
(1,2,2,25,2,5,3,625);
(1,2,2.25,2.5,7.25);
(1,2,5,5.5,6);
(1,2,5,6,11);
(1,2.2.5,4.5,7);
(1,2,2.5,4.5,14);
(1,2,2.5,4.5,7);
(1,2,5,12,14.5);
(1,2,5,12,29);
(1,2,2.25,2.5,4.5);
(1,2,5,6,12);
(1,
,2,
);
(1,2,
,5);
).
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