高中数学必修五第二章数列测试题.doc
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高中数学必修5第二章数列测试题
一、选择题(每题5分,共50分)
1、{an}是首项a1=1,公差为d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于().
A、667B、668C、669D、670
2、在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=().
A、33B、72C、84D、189
3、如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则()
A、a1a8>a4a5B、a1a8<a4a5C、a1+a8<a4+a5D、a1a8=a4a5
4、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|等于()
A、1B、C、D、
5、等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为().
A、81B、120C、168D、192
6、若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()
A、4005B、4006C、4007D、4008
7、已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=().
A、-4B、-6C、-8D、-10
8、设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=().
A、1B、-1C、2D、
9、已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则的值是().
A、B、-C、-或D、
10、在等差数列{an}中,an≠0,an-1-+an+1=0(n≥2),若S2n-1=38,则n=().
A、38B、20C、10D、9
二、填空题(每题6分,12题15分,16题10分,共49分)
11、设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.
12、已知等比数列{an}中,
(1)若a3·a4·a5=8,则a2·a3·a4·a5·a6=.
(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=.
(3)若S4=2,S8=6,则a17+a18+a19+a20=.
13、在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为.
14、在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项之和为.
15、在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10=.
16、设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=.
三、解答题(本大题共4小题,满分51分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17、(满分12分)
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列.
(2)已知,,成等差数列,求证,,也成等差数列.
18、(满分13分)
设{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(1)求q的值;
(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
19、满分13分
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3…).求证:
数列{}是等比数列.
20、满分13分
已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列,求证:
12S3,S6,S12-S6成等比数列.
高中数学必修5第二章数列测试题参考答案
一、选择题(每题5分,共50分)
1、C
解析:
由题设,代入通项公式an=a1+(n-1)d,即2005=1+3(n-1),∴n=699.
2、C
解析:
本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.
设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得a1+a2+a3=21,
即a1(1+q+q2)=21,又a1=3,∴1+q+q2=7.
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去),
∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84.
3、B.
解析:
由a1+a8=a4+a5,∴排除C.
又a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d,
∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d+12d2>a1·a8.
4、C
解析:
解法1:
设a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2-2x+m=0中两根之和为2,x2-2x+n=0中两根之和也为2,
∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4,
∴d=,a1=,a4=是一个方程的两个根,a1=,a3=是另一个方程的两个根.
∴,分别为m或n,
∴|m-n|=,故选C.
解法2:
设方程的四个根为x1,x2,x3,x4,且x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n.
由等差数列的性质:
若g+s=p+q,则ag+as=ap+aq,若设x1为第一项,x2必为第四项,则x2=,于是可得等差数列为,,,,
∴m=,n=,
∴|m-n|=.
5、B
解析:
∵a2=9,a5=243,=q3==27,
∴q=3,a1q=9,a1=3,
∴S4===120.
6、B
解析:
解法1:
由a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,又a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即a2003>0,a2004<0.
∴S4006==>0,
∴S4007=·(a1+a4007)=·2a2004<0,
(第6题)
故4006为Sn>0的最大自然数.选B.
解法2:
由a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,
同解法1的分析得a2003>0,a2004<0,
∴S2003为Sn中的最大值.
∵Sn是关于n的二次函数,如草图所示,
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小,
∴在对称轴的右侧.
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧,4007,4008都在其右侧,Sn>0的最大自然数是4006.
7、B
解析:
∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列,
∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,
∴a2=-8+2=-6.
8、A
解析:
∵===·=1,∴选A.
9、A
解析:
设d和q分别为公差和公比,则-4=-1+3d且-4=(-1)q4,
∴d=-1,q2=2,
∴==.
10、C
解析:
∵{an}为等差数列,∴=an-1+an+1,∴=2an,
又an≠0,∴an=2,{an}为常数数列,
而an=,即2n-1==19,
∴n=10.
二、填空题(每题6分,12题15分,16题10分,共49分)
11、.
解析:
∵f(x)=,
∴f(1-x)===,
∴f(x)+f(1-x)=+===.
设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),
则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),
∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6,
∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3.
12、
(1)32;
(2)4;(3)32.
解析:
(1)由a3·a5=,得a4=2,
∴a2·a3·a4·a5·a6==32.
(2),
∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.
(3),
∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32.
13、216.
解析:
本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与,同号,由等比中项的中间数为=6,插入的三个数之积为××6=216.
14、26.
解析:
∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,
∴S13====26.
15、-49.
解析:
∵d=a6-a5=-5,
∴a4+a5+…+a10
=
=
=7(a5+2d)
=-49.
16、5,(n+1)(n-2).
解析:
同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴f(k)=f(k-1)+(k-1).
由f(3)=2,
f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(5)=f(4)+4=2+3+4=9,
……
f(n)=f(n-1)+(n-1),
相加得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n+1)(n-2).
三、解答题(本大题共4小题,满分51分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17、分析:
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数.
证明:
(1)n=1时,a1=S1=3-2=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
n=1时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*).
首项a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*),
∴数列{an}成等差数列且a1=1,公差为6.
(2)∵,,成等差数列,
∴=+化简得2ac=b(a+c).
+=====2·,
∴,,也成等差数列.
18、解:
(1)由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,
∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,
∴q=1或-.
(2)若q=1,则Sn=2n+=.
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=>0,故Sn>bn.
若q=-,则Sn=2n+(-)=.
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=,
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Sn<bn.
19、证明:
∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)Sn,
所以=.
故{}是以2为公比的等比数列.
20、证明:
由a1,2a7,3a4成等差数列,得4a7=a1+3a4,即4a1q6=a1+3a1q3,
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,
∴q3=-或q3=1(舍).
由===;
=-1=-1=1+q6-1=;
得=.
∴12S3,S6,S12-S6成等比数列.
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