安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三.doc
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安徽省168中学自主招生考试数学模拟试卷三.doc
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2014年安徽省168中学自主招生考试
数学模拟试卷三
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(4分)若实数n满足(n﹣2011)2+(2012﹣n)2=1,则(2012﹣n)(n﹣2011)等于( )
A.
﹣1
B.
0
C.
D.
1
2.(4分)如图,正方形ABCD及正方形AEFG,连接BE、CF、DG.则BE:
CF:
DG等于( )
A.
1:
1:
1
B.
1:
:
1
C.
1:
:
1
D.
1:
2:
1
3.(4分)如图,已知∠AOM=60°,在射线OM上有点B,使得AB与OB的长度都是整数,由此称B是“完美点”,若OA=8,则图中完美点B的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
4.(4分)有10条不同的直线y=knx+bn(n=1,2,3,…,10),其中k3=k6=k9,b4=b7=b10=0,则这10条直线的交点个数最多有( )
A.
45个
B.
40个
C.
39个
D.
31个
5.(4分)设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x2+6x+c中,若x取0,1,2,3,…,100,则y的值能被6整除的个数是( )
A.
33
B.
34
C.
65
D.
67
6.(4分)若二次函数y=x2﹣(2p+1)x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立,则p的取值范围是( )
A.
p>2
B.
p>0
C.
p≤0
D.
0<p≤2
7.(4分)观察图
(1),容易发现图
(2)中的∠1=∠2+∠3.把图
(2)推广到图(3),其中有8个角:
∠1,∠2,…,∠8.可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立.除此之外,恰好还有一组正整数x,y,z,满足2≤x≤y≤z≤8,使得∠1=∠x+∠y+∠z,那么这组正整数(x,y,z)=( )
A.
(3,4,7)
B.
(3,5,7)
C.
(3,3,7)
D.
(4,6,7)
8.(4分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC⊥BD于点E,若AB=4,CD=3,则⊙O的半径为( )
A.
3
B.
C.
2.5
D.
9.(4分)如图,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.(4分)若对于所有的实数x,恒为负数,且,则M的值为( )
A.
﹣3
B.
3
C.
﹣2a+2b﹣3
D.
4b+7
二、填空题:
(每小题4分,共32分)
11.(4分)若关于x的方程=3的解是非负数,则b的取值范围是
_________ .
12.(4分)如图,在正九边形ABCDEFGHI中,若AB+AC=3,则对角线AE= _________ .
13.(4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E为CD的中点,BE=6.5,梯形ABCD的面积为30,那么AB+BC+DA= _________ .
14.(4分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=6,点E,F分别在边AB,BC上,AE=3,CF=1,P是斜边AC上的一个动点,则△PEF周长的最小值为 _________ .
15.(4分)一个圆内接八边形相邻四条边长为1,另四条边长是2,则其面积为 _________ .
16.(4分)如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在200个小伙子中,如果某人不亚于其他199人,就称他为棒小伙子,那么,200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________ .
17.(4分)如图,在△ABC中,已知D是边BC上一点,满足AD=AC,E是边AD的中点,满足∠BAD=∠ACE,若S△BDE=2,则S△ABC为 _________ .
18.(4分)已知关于x的不等式组只有5个整数解,则t的取值范围是 _________ .
三、解答题:
(每题12分,共48分)
19.(12分)如图,将▱OABC放置在平面直角坐标系xOy内,已知AB边所在直线的解析为:
y=﹣x+4.
(1)点C的坐标是( _________ , _________ );
(2)若将▱OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE,BD交OC于点P,求△OBP的面积;
(3)在
(2)的情形下,若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移,设平移的距离为x(0≤x≤8),与▱OABC重叠部分面积为S,试写出S关于x的函数关系式,并求出S的最大值.
20.(12分)(2013•滨湖区一模)如图,AB为⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F,
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,⊙O的半径为5,求BF的长.
21.(12分)某种乐器有10个孔,依次记作第1孔,第2孔,…,第10孔,演奏时,第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n2+kn+90,该乐器的最低动听指数为4k+106,求常数k的取值范围.
22.(12分)若干个工人装卸一批货物,每个工人的装卸速度相同.如果这些工人同时工作,则需10小时装卸完毕.现改变装卸方式,开始一个人干,以后每隔t(整数)小时增加一个人干,每个参加装卸的人都一直干到装卸结束,且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的.
问:
(1)按改变后的装卸方式,自始至终需要多长时间?
(2)参加装卸的有多少名工人?
2014年安徽省168中学自主招生考试
数学模拟试卷三
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.(4分)若实数n满足(n﹣2011)2+(2012﹣n)2=1,则(2012﹣n)(n﹣2011)等于( )
A.
﹣1
B.
0
C.
D.
1
考点:
完全平方公式.菁优网版权所有
分析:
利用完全平方公式的变形得到a2+b2=(a+b)2﹣2ab.所以,根据该变形公式可以化简已知等式为(n﹣2011)2+(2012﹣n)2=1﹣2(2012﹣n)(n﹣2011)=1,由此易求所求代数式的值.
解答:
解:
∵(n﹣2011)2+(2012﹣n)2
=(n﹣2011+2012﹣n)2﹣2(2012﹣n)(n﹣2011)
=(﹣2011+2012)2﹣2(2012﹣n)(n﹣2011)
=1﹣2(2012﹣n)(n﹣2011)
=1,即1﹣2(2012﹣n)(n﹣2011)=1
则(2012﹣n)(n﹣2011)=0.
故选B.
点评:
本题主要考查完全平方公式,熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.
2.(4分)如图,正方形ABCD及正方形AEFG,连接BE、CF、DG.则BE:
CF:
DG等于( )
A.
1:
1:
1
B.
1:
:
1
C.
1:
:
1
D.
1:
2:
1
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据正方形的性质,即可得AG=AE,AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°推出∠DAG=∠EAB,由边角边判定方法即可证得△ABE≌△ADG,即BE=DG,连接AC,AF可证得△ABE∽△ACF,根据相似三角形的性质即可求得.
解答:
解:
∵正方形ABCD和AEFG,
∴AG=AE,AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,
∴∠DAG=∠EAB,
∴△ADG≌△ABE,
∴DG=BE,
∵正方形ABCD和AEFG,
∴∠DAC=∠GAF=×90°=45°,
∴∠DAG=∠FAC=∠EAB,
由勾股定理得:
==,
∴△ABE∽△ACF,
∴===,
∴BE:
CF:
DG=1:
:
1,
故选B.
点评:
本题主要考查对正方形的性质,全等三角形的性质和判定,勾股定理等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,题型较好,难度适中.
3.(4分)如图,已知∠AOM=60°,在射线OM上有点B,使得AB与OB的长度都是整数,由此称B是“完美点”,若OA=8,则图中完美点B的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
三角形边角关系.菁优网版权所有
分析:
首先过点B作BC⊥OA,交OA于点C,连接AB,可能有两种情况,垂足在OA上或者垂足在OA延长线上,然后设OB=y,AB=x,由勾股定理即可求得:
y2﹣(y)2=x2﹣(8﹣y)2或x2﹣(y﹣4)2=y2﹣(y)2,整理可得x2﹣(y﹣4)2=48,然后将原方程转为X2﹣Y2=48,先求(X+Y)(X﹣Y)=48的正整数解,继而可求得答案.
解答:
解,过点B作BC⊥OA,交OA于点C,连接AB,可能有两种情况,垂足在OA上或者垂足在OA延长线上.
设OB=y,AB=x,
∵∠AOM=60°,
∴OC=OB•cos60°=y,
∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8,
∵BC2=OB2﹣OC2,BC2=AB2﹣AC2,
∴y2﹣(y)2=x2﹣(8﹣y)2或x2﹣(y﹣4)2=y2﹣(y)2,
∴x2﹣(y﹣4)2=48,
∵x与y是正整数,且y必为正整数,x﹣4为大于等于﹣4的整数,
将原方程转为X2﹣Y2=48,先求(X+Y)(X﹣Y)=48的正整数解,
∵(X+Y)和(X﹣Y)同奇同偶,
∴(X+Y)和(X﹣Y)同为偶数;
∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解:
,,,
解得:
,,,
∴x的可能值有3个:
x=7,x=8或x=13,
当x=7时,y﹣4=±1,y=3或y=5;
当x=8时,y﹣4=±4,y=8或y=0(舍去);
当x=13时,y﹣4=±11,y=15或y=﹣7(舍去);
∴共有4组解:
或或或.
故选D.
点评:
此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题.此题难度较大,注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.
4.(4分)有10条不同的直线y=knx+bn(n=1,2,3,…,10),其中k3=k6=k9,b4=b7=b10=0,则这10条直线的交点个数最多有( )
A.
45个
B.
40个
C.
39个
D.
31个
考点:
两条直线相交或平行问题.菁优网版权所有
专题:
规律型.
分析:
因为题中已知k3=k6=k9,b4=b7=b10=0,可知:
直线3,6,9相互平行没有交点,直线4,7,10交于一点,由此即可求解此题.
解答:
解:
由直线y=knx+bn且k3=k6=k9,b4=b7=b10=0可得:
直线3,6,9相互平行没有交点,直线4,7,10交于原点,
则直线1,2,3,4,5,7,8,10的交点数量为:
8×7÷2﹣2=26,
再加上6,9两条直线增加的交点数量为2×7=14,
所以得出交点最多就是26+14=40条,
故选B.
点评:
本题考查了两条直线相交或平行问题,难度较大,做题关键在于分析得出三条平行三条相交.
5.(4分)设一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98,99,在二次函数y=x2+6x+c中,若x取0,1,2,3,…,100,则y的值能被6整除的个数是( )
A.
33
B.
34
C.
65
D.
67
考点:
抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
分析:
根据题意列出该一元二次方程为y=(x﹣98)(x﹣99).当x为整数时,y一定是偶数.故(x﹣98)和(x﹣99)当中,有一个能被3整除,那么y就可以被6整除;当x除以3余1时,(x﹣98)和(x﹣99)都不能被3整除,此时y不能被6整除,其余的时候,y可以被6整除,等于当x=1,4,7,10…94,97,100时,y不能被6整除(x一共有34个值)
x为其余的值,y可以被6整除.
解答:
解:
∵一元二次方程x2+6x+c=0的两根为98,99,
∴该一元二次方程是:
y=(x﹣98)(x﹣99).
当x为整数时,y一定是偶数,
∴(x﹣98)和(x﹣99)当中,有一个能被3整除,那么y就可以被6整除;当x除以3余1时,(x﹣98)和(x﹣99)都不能被3整除,此时y不能被6整除,其余的时候,y可以被6整除,
∴当x=1,4,7,10…94,97,100时,y不能被6整除(x一共有34个值),
x为其余的值,y可以被6整除,
所以,能被6整除的个数有101﹣34=67,
故选D.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点.解题的关键是弄清楚能被6整除的数的特点.
6.(4分)若二次函数y=x2﹣(2p+1)x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立,则p的取值范围是( )
A.
p>2
B.
p>0
C.
p≤0
D.
0<p≤2
考点:
二次函数的性质.菁优网版权所有
分析:
在自变量的取值范围内取两个值,代入函数确定不等式组求解即可;
解答:
解:
∵二次函数y=x2﹣(2p+1)x﹣3p在﹣1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立,
∴
解得:
p≤0.
故选C.
点评:
本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,解题的关键是根据题意得到一元一次不等式组;
7.(4分)观察图
(1),容易发现图
(2)中的∠1=∠2+∠3.把图
(2)推广到图(3),其中有8个角:
∠1,∠2,…,∠8.可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立.除此之外,恰好还有一组正整数x,y,z,满足2≤x≤y≤z≤8,使得∠1=∠x+∠y+∠z,那么这组正整数(x,y,z)=( )
A.
(3,4,7)
B.
(3,5,7)
C.
(3,3,7)
D.
(4,6,7)
考点:
三角形边角关系.菁优网版权所有
分析:
利用三角形外角的性质及边长为1的正方形网格的性质得到和等于45°的3个角的即可得到答案.
解答:
解:
∵小正方形的边长为1,
∴∠1=45°,
∵∠1=∠x+∠y+∠z,
∴∠x+∠y+∠z=45,
∵一组正整数x,y,z,满足2≤x≤y≤z≤8,
∴∠1=∠3+∠4+∠7=45°,
∴这组正整数(x,y,z)=3,4,7;
故选A.
点评:
本题考查了图形规律类题目,解题的关键是仔细地观察题目提供的例子并从中找到正确的规律,并利用此规律解题.
8.(4分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AC⊥BD于点E,若AB=4,CD=3,则⊙O的半径为( )
A.
3
B.
C.
2.5
D.
考点:
垂径定理;勾股定理.菁优网版权所有
分析:
作直径CM,连接AM,DM,求出DM=AB=4,根据勾股定理求出CM即可.
解答:
解:
作直径CM,连接AM,DM,
则∠MAC=90°,
∵BD⊥AC,
∴AM∥BD,
∴弧AD=弧BM,
∴弧AMB=弧MAD,
∴DM=AB=4,
∵CM是直径,
∴∠MDC=90°,
∴由勾股定理得:
CM==5,
∴⊙O的半径是2.5,
故选C.
点评:
本题考查了圆周角定理,勾股定理的应用,主要考查学生的推理能力.
9.(4分)如图,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
梯形中位线定理;勾股定理;正方形的性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
因为题目没有确定正方形EFGH的位置,所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化,使点H与点A重合,重新作出图形,这样有利于我们解题,过点M作MO⊥ED与O,则可得出OM是梯形FEDC的中位线,从而可求出ON、OM,然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN.
解答:
解:
如图,将正方形EFGH的位置特殊化,使点H与点A重合,过点M作MO⊥ED与O,则MO是梯形FEDC的中位线,
∴EO=OD=2,MO=(EF+CD)=2.
∵点N、M分别是AD、FC的中点,
∴AN=ND=,
∴ON=OD﹣ND=2﹣=.
在RT△MON中,MN2=MO2+ON2,即MN==.
故选B.
点评:
本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识,属于综合性题目,对待这样既有动态因素又不确定位置的题目,一定要将位置特殊化,这样不影响结果且解题过程简单,同学们要学会在以后的解题中利用这种思想.
10.(4分)若对于所有的实数x,恒为负数,且,则M的值为( )
A.
﹣3
B.
3
C.
﹣2a+2b﹣3
D.
4b+7
考点:
二次根式的性质与化简;非负数的性质:
偶次方;配方法的应用.菁优网版权所有
分析:
首先将配方,进而利用此式恒为负数,得出a,b以及a﹣b的符号,进而化简M得出即可.
解答:
解:
∵
=﹣(x2﹣2x)﹣b,
=﹣[(x﹣)2﹣a]﹣b,
=﹣(x﹣)2+a﹣b恒为负数,
则a﹣b<0,a>0,
∴b>0,a+b>0,
∴
=2﹣(a+b+2)+(a﹣b﹣3)
=2(b+1)﹣a﹣b﹣2+a﹣b﹣3
=﹣3.
故选;A.
点评:
此题主要考查了二次根式的化简求值,利用已知得出a,b,a﹣b的符号是解题关键.
二、填空题:
(每小题4分,共32分)
11.(4分)若关于x的方程=3的解是非负数,则b的取值范围是
b≤3且b≠2 .
考点:
分式方程的解.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围.
解答:
解:
去分母得,2x﹣b=3x﹣3∴x=3﹣b
∵x≥0
∴3﹣b≥0
解得,b≤3
又∵x﹣1≠0
∴x≠1
即3﹣b≠1,b≠2
则b的取值范围是b≤3且b≠2.
点评:
由于我们的目的是求b的取值范围,根据方程的解列出关于b的不等式,另外,解答本题时,易漏掉分母不等于0这个隐含的条件,这应引起足够重视.
12.(4分)如图,在正九边形ABCDEFGHI中,若AB+AC=3,则对角线AE= 3 .
考点:
正多边形和圆.菁优网版权所有
分析:
先由多边形的内角和定理,求出正九边形内角的度数,由圆周角定理可求出∠CAB=20°,连接AH,作HM,GN分别垂直AE于M,N,再求出△AHM中各角的度数,由正方形的性质及直角三角形的性质即可解答.
解答:
解:
∵正九边形内角和为(9﹣2)×180°=1260°,
∴每个内角为140°,
又∵AB=BC,∠B=140°,
∴∠CAB=(180°﹣140°)÷2=20°,
连接AH,作HM,GN分别垂直AE于M,N.
∵∠CAE=2∠CAB=2×20°=40°.
∴∠HAM=140°﹣2×20°﹣40°=60°,
∴∠AHM=30°,
设AM=EN=x,MN=y,
四边形HGNM是矩形,所以HG=y,即正九边形边长为y,
在Rt△AHM中,∠AHM=30°,
∴AC=AH=2AM=2x,
∴AB+AC=y+2x,
∵AE=AM+MN+EN=2x+y,
∴AE=AB+AC=3.
故答案为:
3.
点评:
本题考查的是正多边形和圆及直角三角形的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
13.(4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E为CD的中点,BE=6.5,梯形ABCD的面积为30,那么AB+BC+DA= 17 .
考点:
梯形;勾股定理;三角形中位线定理.菁优网版权所有
分析:
首先延长BE与AD,交于F点,设AB=h,AD=a,BC=b,易得△BCE≌△FDE,然后可得h2+(a+b)2=132,(a+b)•h=30,继而求得a+b+h的值,即可求得答案.
解答:
解:
延长BE与AD,交于F点,
设AB=h,AD=a,BC=b,
∵梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E为CD的中点,
∴∠F=∠CBE,DE=CE,
在△BCE和△FDE中,
,
∴△BCE≌△FDE(AAS),
∴DF=BC=b,EF=BE=6.5,
∴BF=13,AF=AD+BF=a+b,
∵AB2+AF2=BF2,
∴h2+(a+b)2=132,
∵梯形ABCD的面积为30,
∴(a+b)•h=30,
∴[h+(a+b)]2=h2+(a+b)2+2(a+b)•h=169+120=289,
∴h+a+b=17.
故AB+BC+DA=17.
故答案为17.
点评:
此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
14.(4分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=6,点E,F分别在边AB,BC上,AE=3,CF=1,P是斜边AC上的一个动点,则△PEF周长的最小值为 +2 .
考点:
轴对称-最短路线问题.菁优网版权所有
分析:
由于△PEF的周长=EF+PF+PE,而EF为定值,所以当PF+PE取最小值时,△PEF的周长最小.为此,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P,此时PF+PE=E′F,值最小,然后在Rt△E′FG中利用勾股定理求解即可.
解答:
解:
如图,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,则AC垂直平分BD,
又∵AB=BC,
∴BD平分AC,且AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P.
∵E,E′关于AC对称,
∴PE=PE′,
此时PF+PE=PF+PE′=E′F,值最小.
过点F作FG⊥AD于G.
在Rt△E′FG中,∠E′GF=90°,FG=AB=6,GE′=3﹣1=2,
∴E′F===2,
∵EF===,
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=+2.
故答案为+2.
点评:
本题考查了正方形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,轴对称的性质,勾股定理,综合性较强,有一定难度,准确作出辅助线,确定P点的位置是解题的关键.
15.(4分)一个圆内接八边形相邻四条边长为1,另四条边长是2,则其面积为 .
考点:
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分析:
根据题意由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边长排列顺序无关,不妨设八边形ABCDEFGH(如图),且有AB=CD=EF=GH=2,BC=DE=FG=HA=1,双向延长AH、BC、DE、FG得正方形KLMN,进而得出S八边形ABCDEFGH=S正方形KLMN﹣4S△ABK求出即可.
解答:
解:
由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边长排列顺序无关,不妨设八边形ABCDEFGH(如图),
且有AB=CD=EF=GH=2,BC=DE=FG=HA=1,双向延长AH、BC、DE、FG得正方形KLM
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- 安徽省 168 中学 自主 招生 考试 数学模拟 试卷