高考数学常考题型的总结(必修五).doc
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高考数学常考题型的总结(必修五).doc
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高考数学常考题型的总结(必修五)
对高三理科来说,必修五是高考的必考内容,它不仅要考查基础知识点,而且还要考查解题方法和解题思路的问题。
同学们在复习过程中,一定要明白什么是重要,什么是难点,什么是常考知识点。
对重难点要了如指掌,能做到有的放矢。
同学们不仅要掌握课本上的知识点,更重要的要对知识点理解的有深度,对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。
人们常说,只有你多于一桶水的能力,在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来,否则,基本不可能考出相对理想的成绩来。
必修五主要包括三大部分内容:
解三角形、数列、不等式。
高考具体要考查那些内容呢?
这是我们师生共同研究的问题。
虽然高考题不能面面俱到,但是我们在复习的时候,一定要不留死角,对常考题型的知识点和方法能倒背如流。
下面具体对必修五常考的型作一分解:
解三角形
解三角形是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为5-12分。
考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与三角函数,平面向量等知识点进行综合考查,难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第17题,属于拿分题。
知识点:
正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。
正弦定理:
(为的外接圆半径)
余弦定理:
,,
(变形后),,
三角形的面积的公式:
。
知识点分解:
(1)两边一角,求另外两角一边,可以用正弦定理,也可以用余弦定理,特别注意两种三角形的情况。
(2)两角一边,求另外一角和两边,肯定是正弦定理。
(3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边,用正弦定理。
(4)知道三边的关系用余弦定理。
(5)求三角形的面积,或和向量结合用向量的余弦公式。
(6)正余弦定理与其他知识的综合。
必须具备的知识点:
三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。
可能综合的知识点:
三角函数以及正余弦定理的模块内部综合;和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。
解三角形常考的题型有:
考点一正弦定理的应用
例:
在中,,则
答案:
知识点:
正弦定理和三角同角关系
思路:
(方法不唯一)利用正弦定理先求出,然后利用同角三角函数的关系可求出。
考点二余弦定理的应用
例:
在ABC中,已知,,,求的值
答案:
知识点:
余弦定理
思路:
直接利用余弦定理,即可求出的值。
考点三正、余弦定理的混合应用
例:
设的内角所对边的长分别为。
若,则则角_____.
答案:
知识点:
正余弦定理
思路:
(方法不唯一)先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角。
考点四三角形的面积问题
例:
在中,角所对应的边分别为,若,且求的值
答案:
知识点:
三角形的面积
思路:
先求出,然后由三角形面积公式即可。
考点五最值问题
例:
在中,,则的最大值为
答案:
知识点:
正弦定理和三角恒等变换
思路:
(方法不唯一)先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题。
考点六三角形形状的判断
例:
已知中,,判断三角形的形状
答案:
等腰三角形或直角三角形
知识点:
正弦定理和二倍角公式
思路:
先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式讨论即可。
考点七三角形个数的判断
例:
在中,角所对应的边分别为,若,且求的值
答案:
1或2
知识点:
正余弦定理
思路:
分类讨论或两种情况。
考点八基本不等式在解三角形上的应用
例:
在中,角所对应的边分别为,若,求的面积的最大值。
答案:
知识点:
三角形面积公式、余弦定理和基本不等式
思路:
先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最后基本不等式求最值。
例:
设的内角所对的边长分别为,且,求的最大值。
答案:
知识点:
正弦定理、正切差公式和基本不等式
思路:
先通过正弦定理,得到,然后正切差公式,最后应用基本不等式。
考点九平面向量在解三角形上的应用
例:
在中,的面积,求
答案:
知识点:
三角形面积公式和平面向量中的余弦公式
思路:
先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。
例:
在中,边所对的角为,向量,且向量与的夹角是。
求角的大小
答案:
知识点:
向量中的坐标运算和余弦公式
思路:
先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解。
考点十数列在解三角形上的应用
例:
设的内角所对的边长分别为,若依次成等比数列,角的取值范围.
答案:
知识点:
余弦定理、等比数列和基本不等式
思路:
先用等比数列,然后余弦定理,最后用基本不等式求最值。
考点十一解三角形的实际应用
例:
如图,都在同一个与水平面垂直的平面内,为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面处测得点和点的仰角分别为,,于水面处测得点和点的仰角均为,。
试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等,然后求的距离(计算结果精确到,,)
答案:
0.33km
知识点:
正弦定理和三角形的相关知识
思路:
先通过三角形的相关知识进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度。
考点十二解三角形的综合题型
例:
已知分别为三个内角的对边,
(1)求
(2)若,的面积为;求。
答案:
(1)
(2)
知识点:
正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式
思路:
(1)先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出。
(2)利用角,再通过余弦定理,就可以求出的值。
数列
数列是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为10-17分。
考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与不等式,函数等知识点进行综合考查。
以前考题比较难一些,现在多数比较简单,但是常用的方法还是比较经典的。
知识点:
数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列
知识点分解:
(1)递推公式:
建立前项和和的关系。
(2)等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。
(3)等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题。
(4)数列求通项公式的几种方法。
(5)数列求和的几种方法。
(6)数列的综合问题
必须具备的知识点:
函数、导数、不等式,平面向量、三角函数等相关知识。
可能综合的知识点:
数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。
数列的常见题型:
考点一和的关系
例:
数列的前项和为已知,求的值,以及数列的表达式。
答案:
,
知识点:
递推公式
思路:
已知项数,求具体值;未知项数,求表达式。
考点二等差数列
1等差数列的公差和通项公式
,(等差数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式)
(等差数列通项公式的变形公式)
例:
已知等差数列中,,求数列的公差以及数列的通项公式;
答案:
,
知识点:
等差的公差和通项公式
思路:
利用数列的通项公式先求出公差,然后求数列的通项公式。
2等差数列的性质
(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等差中项。
例:
已知等差数列中,,求以及的值
答案:
,
知识点:
等差数列的性质
思路:
等差数列的性质和等差中项可得到。
3等差数列的求和
(知三求一,如果已知,那么求的是的表达式),
(为奇数)或。
例:
设等差数列的前项和为,若,则的值
答案:
63
知识点:
等差数列的求和
思路:
(方法不唯一)通过等差数列前项和为,先求出和,然后再利用等差数列前项和,求。
4等差数列求和中的最值问题
类似于二次函数,当时,有最小值;当时,有最大值。
例:
设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最大值
答案:
49.
知识点:
等差数列的和或二次函数的知识
思路:
先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最大值。
例:
设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最小值
答案:
-36
知识点:
等差数列的和或二次函数的知识
思路:
先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最小值
5等差数列的证明
(等差数列的定义表达式)
例:
设数列的前n项和为,,求证:
是等差数列。
答案:
首项为1,公差也为1的等差数列
知识点:
对数函数的知识和等差数列
思路:
先求出,然后利用等差数列的定义表达式,证明等差数列。
6已知等差数列{}中,求数列{}前n项和。
答案:
或
知识点:
解方程和等差数列的和
思路:
先利用等差数列的知识求出首项和公差,然后再求前n项和
考点三等比数列
1等比数列的公比和通项公式
(等比数列的通项公式,知三求一;如果已知,那么求的是数列的通项公式)
(等比数列通项公式的变形公式)
例:
已知等比数列中,,求等比数列的公比和数列的通项公式;
答案:
,
知识点:
等比数列的公比和通项公式
思路:
利用等比数列的通项公式即可求出。
2等比数列的性质
(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等比中项。
例:
设等比数列{},已知,求值
答案:
知识点:
等比中项
思路:
利用等比中项即可。
例:
设等比数列{},已知,求值
答案:
216
知识点:
等比数列的性质
思路:
利用等比的性质即可。
3等比数列求和
(用错位相减法推导)
例:
设等比数列的公比,前项和为,则
答案:
15
知识点:
等比数列的求和
思路:
利用等比数列的求和和通项公式即可。
4等比数列的证明
(等比数列的定义表达式)
例:
在数列中,,,设,证明:
数列是等比数列。
答案:
数列是公比2,首项-2的等比数列
知识点:
等比数列的定义
思路:
先化解,再利用等比数列的定义来证明。
5等比数列的综合
例:
设为数列的前项和,,,其中是常数,若对于任意的,,,成等比数列,求的值。
答案:
或
知识点:
等比数列的等比中项和递推公式
思路:
先通过递推公式化解,然后再利用等比数列的等比中项,即可求出。
考点四等差和等比数列的综合问题
例:
已知实数列是等比数列,其中成等差数列,求数列的通项公式。
答案:
知识点:
等比数列的通项公式和等差中项
思路:
先利用等比数列的知识,然后再利用等差数列的等差中项,即可求出。
例:
等比数列中,已知,若分别为等差数列的第3项和第5项,求数列的通项公式及前项和。
答案:
知识点:
等比数列的通项公式和等差的通项公式
思路:
通过等比数列的知识来转化为等差数列,即可。
考点五求数列的通项公式
1观察法、等差数列和等比数列的通项公式(上述已有)
2累加法形式为:
,利用累加法求通项,
例:
已知数列满足,求数列的通项公式。
答案:
知识点:
累加法求数列的通项公式
思路:
由得则,即可。
3累乘法形式为:
,利用累乘法求数列通项,。
答案:
知识点:
累加法求数列的通项公式
思路:
由条件知,,即可。
4待定系数法
(1)(其中p,q均为常数,),把原递推公式转化为:
,其中,再转化为等比数列求通项公式。
(2)(其中均为常数,)。
(或,其中均为常数)等式两边同除以得,,若,再利用上述的方法,转化为等比数列的形式,利用等比数列通项公式;若,将转化为等差数列的形式,再利用等差数列求通项公式。
例:
已知数列中,,,求.
答案:
知识点:
待定系数法求数列的通项公式
思路:
设递推公式可以转化为,然后利用等比数列求通项公式。
例:
已知数列中,,,求。
答案:
知识点:
待定系数法求数列的通项公式
思路:
(方法不唯一)根据,两边除以得:
,令,转化成上面例题的形式,然后再利用上面例题的方法求解。
5配凑法(构造法):
建立等差数列或等比数列的形式
例:
已知数列满足求数列的通项公式;
答案:
知识点:
构造成等比数列
思路:
(方法不唯一,还可以利用特征根的方法求解)构造等比数列,或利用特征根的方法,求出两根,,然后利用等比数列的知识求解。
6递推法
,解决既有又有的问题。
例:
设数列的前项和为已知,求数列的通项公式。
答案:
知识点:
利用递推公式,再利用等比数列的通项公式
思路:
先利用递推公式化解,然后等比数列求通项公式。
7不动点法、换元法,数学归纳法等求通项公式(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)
考点六数列求和
1公式法、等差数列和等比数列求和(略)
2裂项相消法裂项相消的常见形式:
,,
。
例:
已知数列满足求数列的求和。
答案:
知识点:
利用裂项相消求数列的和
思路:
利用求和即可。
例:
已知数列满足:
,求数列的求和
答案:
知识点:
分母有理化,利用裂项相消求数列的和
思路:
进行分母有理化得,,然后裂项相消求和。
3错位相减法:
(课本上推导等比数列求和公式的方法)由等差数列和等比数列构成的新数列,用错位相减。
例:
已知数列满足:
,求数列的求和
答案:
知识点:
错位相减法求和
思路:
错位相减法求和。
例:
设数列满足,,设,求数列的前项和。
答案:
知识点:
错位相减法求和
思路:
错位相减法求和。
4分组求和法(将新数列分成已学过的数列,然后求和)
例:
设数列的前n项和为,且,求的表达式
答案:
知识点:
利用等差数列和等比数列求和
思路:
根据数列的特点,等差数列和等比数列的求和公式可以得到。
5相加求和法、数学归纳法求和(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)
考点七数列中的不等式问题
例:
设数列的前项和为.已知,,,若,,求的取值范围。
答案:
知识点:
递推公式,构造法求的通项公式,数列的单调性。
思路:
通过递推公式,构造法求的通项公式,再利用数列的单调性求的取值范围。
考点八数列中的放缩法
例:
已知数列,满足,证明
答案:
如下
知识点:
发缩放证明数列中的不等式
思路:
由构造法求的通项公式,然后利用放缩法,转化为等比数列求和,最后证明不等式。
考点九数列中的不等式问题(最值问题,是正整数)
例:
已知等差数列的前项和为,若,则的最小值为
答案:
-49
知识点:
等差数列的求和,导数
思路:
通过等差数列的知识求出,然后再通过导数求出。
不等式
不等式是高考的重要知识点,但是它会和其他知识融合在一起考查,有时是一道小题,有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现,分数范围为(5-10分)。
现在线性规划,几乎每年必考,虽然不是很难,但是大家一定要掌握好,不等式小题一般不会很难,综合题重点主要是汇入其他知识点进行,对数是取值范围或值域问题。
知识点:
不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。
不等关系:
1.不等关系与不等式
比差法:
。
问题的关键是判定差的符号(正,负,零),方法通常是配方或因式分解。
2.不等式的性质
基本性质有:
(1)(对称性)
(2)(传递性)(3)
(4)时,;时,。
运算性质有:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6).
3基本不等式
(同号,当且仅当时成立等号);
(同号,等号成立);(当且仅当时成立等号)。
(当且仅当时成立等号)。
必须具备的知识点:
函数、导数、三角函数、数列等相关知识。
可能综合的知识点:
不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。
不等式的常见题型:
考点一解一元二次不等式
解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究
(讨论的情况)
两不等实根
两相等实根
无实根
(讨论的情况,只需将不等式两边同乘以-1,改变不等式方向加以研究)
1最基本的一元二次不等式(略)
2含参数的一元二次不等式(需要分类讨论)
例:
解不等式()
答案:
当或时,解集为;当时,解集为;
知识点:
解含参数的一元二次不等式
思路:
用分类讨论法解一元二次不等式。
3高次不等式(数轴标根法,已不再是高考的重点)
4分式不等式
(1)().
(2)(剩下的同上)注意,如果已经确定,即有。
5单绝对值不等式
(1);
(2)
6双绝对值不等式
可分解为:
当时,;当时,;当时,。
具体解根据实际情况即可。
注意:
;含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论,或根据实际情况看是哪一类问题具体确定;含参数的双绝对值不等式恒成立问题,会涉及到最值问题,需要根据函数的单调性求取值。
例:
已知函数,求不等式的解集。
答案:
知识点:
双绝对值不等式
思路:
分类讨论解双绝对值不等式。
例:
函数,若的解集包含,求的取值范围。
答案:
知识点:
双绝对值不等式中含参数的问题
思路:
由给出的解集,可去双绝对值,然后确定的取值范围。
例:
关于的不等式在上恒成立,则实数的最大值是
答案:
知识点:
双绝对值不等式中含参数的问题
思路:
(方法不唯一)分类讨论可以解出不等式的取值范围,然后求出的最大值。
考点二不等式的证明
常用的方法:
做差法,分析法,综合法,放缩法,数学归纳法。
柯西不等式:
例:
已知,求证
答案:
如下
知识点:
柯西不等式
思路:
由,然后构造柯西不等式。
例:
已知,求证。
答案:
如下
知识点:
绝对值不等式,作差法
思路:
作差,讨论的正负。
例:
若,求证
答案:
如下
知识点:
绝对值不等式,不等式的性质
思路:
通过解绝对值不等式,和不等式的性质即可。
考点三不等式组的线性规划
不等式组的线性规划的解题思路是:
所取的点是否在约束的范围内。
1最大值和最小值
例:
设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为
答案:
3,-11
知识点:
不等式组的线性规划(最大值和最小值)
思路:
三条直线的交点(构成三角形区域)代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。
2最值范围
例:
设满足约束条件:
;则的取值范围为
答案:
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
画图,找出区域,求出的交点代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。
3面积问题
例:
不等式组表示的平面区域的面积为
答案:
1
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出三角形区域,然后用三角形面积公式求面积。
4目标函数中含参数
例:
已知满足以下约束条件,使取得最小值的最优解有无数个,则的值为
答案:
1
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出可行域,做目标函数的平行线,即可。
5求非线性目标函数的最值
例:
已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是
答案:
13,
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。
6约束条件中含函数的最值范围
例:
已知>0,满足约束条件,若的最小值是1,则=
答案:
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。
7比值问题
例:
已知变量满足约束条件,则的取值范围是()。
答案:
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。
8双边约束条件
例:
若变量满足约束条件,则的最小值是。
答案:
-6
知识点:
不等式组的线性规划
思路:
找出可行域,是平行四边形区域,求出四个交点的坐标代入目标函数中,即可。
考点四基本不等式
1直接法
例:
求函数的最小值
答案:
2
知识点:
基本不等式
思路:
直接用基本不等式。
2构造法
例:
已知,求函数的最大值
答案:
1
知识点:
基本不等式
思路:
上述表达式可转化为,,应用基本不等式。
例:
求的最小值
答案:
5
知识点:
基本不等式
思路:
上式转化为:
,然后用基本不等式。
3换元法
例:
求函数的值域。
答案:
知识点:
基本不等式
思路:
令,则,应用基本不等式(函数的单调性)。
4“1”的活用
例:
已知则的最小值是
答案:
知识点:
基本不等式
思路:
可根据进行转化,然后利用基本不等式。
5的应用
例:
若实数满足,则的最大值是
答案:
知识点:
基本不等式
思路:
上式可转化为:
,即可。
6基本不等式的证明
例:
设均为正数,且,证明:
。
答案:
如下
知识点:
基本不等式
思路:
利用即可。
考点五不等式的综合问题
例:
函数的值域是
答案:
知识点:
函数的值域,基本不等式
思路:
需要先对函数两边平方,然后构造基本不等式,最后用基本不等式。
例:
不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为
答案:
知识点:
恒成立问题,解不等式
思路:
先求双绝对值的最大值,然后解实数的取值范围。
例:
设满足约束条件若目标函数的最大值为12,则的最小值为
答案:
知识点:
线性规划,基本不等式
思路:
先画可行域,然后确定最大值,最后用基本不等式求最小值。
例:
已知函数的图像在点处的切线方程为。
(1)用表示出,;
(2)若在上恒成立,求的取值范围;
(3)证明:
。
答案:
(2)
知识点:
导数,函数,不等式
思路:
(2)分类讨论,恒成立问题。
(3)在第二问的基础上,令,然后化解就行。
上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结,题型不是很全,但重要的方法或常考的方法基本上都有了,同学们不仅要理解它,更重要的是灵活应用它。
希望同学们在学习过程中,要多总结,多练习,多思考,将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度,只有这样才能取得理解的成绩。
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