第一轮复习自己整理绝对经典2016直线与圆的方程--第一轮.doc
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直线与圆的方程题型总结(2016版)
题型一:
直线的倾斜角及斜率
1.倾斜角定义:
把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为,就叫做直线的倾斜角。
当直线与轴重合或平行时,规定倾斜角为0。
2.倾斜角的范围
3.每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.
4.斜率的定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,即:
=tan(≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;
5.斜率公式:
经过两点、的直线的斜率为;
6.斜率的应用:
证明三点共线:
例1.直线的倾斜角是()
A.B.C.D.
例2.直线的倾斜角的范围是__________.
例3.直线经过,两点,那么直线的倾斜角的取值范围是()
A.B.C.D.
例4.直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ的中点是(1,-1),则直线l的斜率是___________.
例5.已知两条直线,,其中a为实数,当这两条直线的夹角在内变动时,的取值范围是__________.
例6.直线y=绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆的位置关系是_______.
例7.过已知经过的直线的倾斜角为,且,则的取值范围___.
例8.点的直线的倾斜角的范围,那么m值的范围是_________.
例9.两条直线斜率相等是这两条直线平行的___________条件.
例10.曲线与直线有两个公共点时,实数k的取值范围是___.
例11.实数满足,则的最大值、最小值分别为____________.
例12.在平面直角坐标系中,点的坐标分别为.如果是围成的区域(含边界)上的点,则的取值范围是.
例13.若三点共线则的值为________.
例14.若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为________.
题型二:
直线的方程
直线方程的形式:
名称
已知条件
方程
说明
斜截式
斜率
轴上的截距
不包括垂直于轴的直线
点斜式
点P(x,y),斜率
=k()
不包括垂直于轴的直线
两点式
不包括坐标轴和平行于
坐标轴的直线
截距式
轴上的截距a
轴上的截距b
不包括坐标轴,平行于
坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
A、B不同时为0
设直线方程的一些常用技巧:
1.知直线纵截距,常设其方程为;
2.知直线过点,当斜率存在时,常设其方程为,当斜率不存在时,则其方程为;
3.与直线平行的直线可表示为;
4.与直线垂直的直线可表示为.
注:
求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。
例15.已知l过点,且它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,则l为_________.
例16.过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点,当最小时,直线的方程是________.
例17.直线的倾斜角为,满足,并且在轴上的截距为1,则直线方程为________.
例18.直线经过P(2,3),且在两坐标轴上的截距相等,则该直线方程为.
例19.已知直线过点P(-2,1),倾斜角与直线的倾斜角互补,则直线的方程是.例20.过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是.
例21.已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则三角形面积的最小值为_________.
例22.已知,则直线不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例23.直线,不管m怎样变化恒过点_________.
例24.,直线过定点_________.
例25.函数-1()的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为.
∶
∶
∶x+y+=0
∶x+y+=0
与组成的方程组
平行
且
或
无解
重合
且
有无数多解
相交
有唯一解
垂直
题型三:
直线与直线的位置关系
例26.设aR,则“a=1”是“直线l1:
与直线l2:
平行”的______条件.
例27.“”是“直线与直线互相垂直”的条件.
例28.已知直线的方程为,则与平行,且过点(—1,3)的直线方程是______.例29.已知△三边的方程为:
,,;
(1)判断三角形的形状;
(2)当边上的高为1时,求的值。
例30.设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线与的位置关系是________.
真题:
【2015高考陕西,理15】设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点处的切线垂直,则的坐标为.
【2014辽宁理】已知定义在上的函数满足:
①;②对所有,且,有.若对所有,,则k的最小值为()
A.B.C.D.
【2013新标2理】已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1) B.C. D.
【2012江西理】在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=
【2013四川文】在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.
【2014四川】设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值是____________,的取值范围是__________,
【2013辽宁】已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0
题型四:
点与直线及平行线间的距离问题
点到直线的距离及两平行直线间的距离:
1.点到直线的距离;
2.两平行线间的距离为
例31.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.
例32.已知P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为1,则P点坐标为.
例33.若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,则a的值______.
例34.过点P(1,2)作直线l,使直线l与点M(2,3)和点N(4,-5)距离相等,则直线l的方程为__________.
例35.已知直线及点
(1)证明直线过某定点,并求该定点的坐标
(2)当点到直线的距离最大时,求直线的方程
题型五:
对称(中心对称和轴对称)问题——代入法:
1.点关于轴的对称点的坐标为;关于轴的对称点的坐标为;
关于的对称点的坐标为;关于的对称点的坐标为.
2.点关于直线的对称点的坐标的求法:
(1)设所求的对称点的坐标为,则的中点一定在直线上.
(2)直线与直线的斜率互为负倒数,即
3.直线关于直线的对称直线方程的求法:
①在已知直线上去两点(其中一点可以是交点,若相交)求这两点关于对称轴的对称点,再求过这两点的直线方程;
②轨迹法(相关点法);
③待定系数法,利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等,…
4.点关于定点的对称点为,曲线:
关于定点的对称曲线方程为.
5.直线系方程:
①与直线平行的直线系方程为()
②与直线垂直的直线系方程为
③过直线和的交点的直线系的方程为:
(不含)
例36.点关于直线的对称点为______.点关于直线的对称点为___.
例37.直线关于直线对称的直线的方程为__________.
例38.点关于点的对称点坐标是__________.
例39.直线关于点对称的直线方程__________.
例40.直线关于直线对称的直线方程为__________.
例41.一条光线从点射到直线后,再反射到一点,这条光线从A到B的长度为__________.
例42.直线与的夹角平分线为,若的方程为,那么的方程是_______.
例43.已知、,从点射出的光线经直线反向后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程是____________.
例44.已知ΔABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在的方程为x-4y+10=0,则BC边所在的直线方程为__________.
例45.已知点,在直线上求一点P,使最小.
例46.直线2x―y―4=0上有一点,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标是_.
真题:
【2015高考山东,理9】一条光线从点射出,经轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为()
(A)或(B)或(C)或(D)或
【2013湖南文】在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的中心,则等于()
A.B.C.D.
题型六:
圆的标准方程及一般方程
1.圆的定义:
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
2.圆的标准方程:
圆心为,半径为,
若圆心在坐标原点上,这时,则圆的方程就是
3.圆的一般方程:
只有当时,①表示的曲线才是圆,把形如①的方程称为圆的一般方程
当时,①表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;
4.圆的参数方程:
(1)圆心为原点半径为r的圆的参数方程为参数
例47.设方程
(1)当且仅当m在什么范围内,该方程表示一个圆。
(2)当m在以上范围内变化时,求半径最大的圆的方程。
(3)求圆心的轨迹方程
例48.求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系.
例49.已知圆和点,点P在圆上,求面积的最小值
例50.求经过点,且与直线和都相切的圆的方程.
例51.如果直线将圆:
x2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么的斜率的取值范围是.
例52.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,那么点的轨迹方程为()
A.B.C.D.
真题:
【2015高考北京,文2】圆心为且过原点的圆的方程是()
A.B.
C.D.
【2015高考新课标2,理7】过三点,,的圆交y轴于M,N两点,则()
A.2B.8C.4D.10
【2014山东文】圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切,圆截轴所得弦的长为,则圆的标准方程为
题型七:
点与圆、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
直线与圆的位置关系:
直线和圆有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面判断:
(1)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):
设圆心到直线的距离为,则相交;相离;相切。
(2)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):
相交;相离;相切;
1.切线方程、切点弦方程
例53.已知圆,求过点与圆相切的切线.
例54.过圆外一点,作这个圆的两条切线、,切点分别是、,则直线的方程为.
例55.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为()
A.B.
C.D.
真题:
【2013山东理】过点(3,1)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为
(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0
【2014福建理】设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
(A)B.C.D.
【2015高考广东,理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是()
A.或B.或
C.或D.或
【2015江苏高考,10】在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
【2014湖南文】若圆与圆外切,则()
【2013陕西文】已知点M(a,b)在圆外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()
(A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不确定
【2012江西文】过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是__________
2.弦长、弧长问题
例56.直线被圆截得的弦的长为.
例57.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为..
例58.若直线与圆切于点,则的值.
例59.已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点
(1)若点的坐标为(1,0),求切线、的方程
(2)求四边形的面积的最小值
(3)若,求直线的方程
例60.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.
真题:
【2014江西理】在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为()
A.B.C.D.
【2012天津理】设,,若直线与圆相切,则的取值范围是()
(A)(B)
(C) (D)
【2012·杭州模拟】直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A. B.C.[-,] D.
3.直线与圆的位置关系
例61.已知直线和圆,则此直线与已知圆的位置关系是.
例62.已知圆和直线,
(1)若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;
(2)若圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;
(3)若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;
例63.圆上到直线的距离为1的点有几个?
例64.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
例65.若直线与曲线有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
例66.已知圆与直线相交于、两点,为原点,且,求实数的值.
例67.在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若圆与直线交与两点,且,求的值.
例68.已知圆,过点的直线,则与的位置关系为.
例69.圆与直线的位置关系为.
例70.已知圆的方程为.是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列是等差数列,则数列的公差的最大值为.
真题:
【2013·兰州模拟】若圆x2+y2=r2(r>0)上仅有4个点到直线x-y-2=0的距离为1,则实数r的取值范围为( )
A.(+1,+∞) B.(-1,+1)C.(0,-1) D.(0,+1)
【2015高考重庆,理8】已知直线l:
x+ay-1=0(aR)是圆C:
的对称轴.
过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2B.C.6D.
【2015高考广东,理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点:
若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
【2014北京文】已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为()
A.B.C.D.
【2014浙江文】已知圆截直线所得弦的长度为4,则实数的值为A.B.C.D.
【2014年四川卷(理14)】设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是。
【2014年全国新课标Ⅱ(理16)】设点M(,1),若在圆O:
上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.
题型八:
圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与半径之间的关系判断:
已知两圆的圆心分别为,半径分别为,则:
(1)当时,两圆外离;
(2)当时,两圆外切;(3)当时,两圆相交;
(4)当时,两圆内切;(5)当时,两圆内含。
例71.两圆和的公共弦长为.
例72.已知平面区域,恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖.
(Ⅰ)试求圆的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.
例73.若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是()
A.B.
C.D.
例74.两圆与相交于、两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.
例75.已知两圆和相交于A、B两点。
(1)求弦AB所在直线方程;
(2)求A、B两点坐标;
(3)求弦长AB。
例76.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值.
例77.已知方程
(1)若此方程表示圆,求实数a的范围;
(2)求此方程表示的圆的面积最大时a的值及此时圆的方程。
例78.由动点向圆引两条切线,切点分别为,,则动点的轨迹方程为.
例79.已知两圆C1:
x2+y2-2x+10y-24=0,C2:
x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________
例80.圆与圆的位置关系为.
例81.圆和圆的公切线共有条.
例82.已知圆C:
,是否存在斜率为1的直线,使被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由。
例83.直线与圆交于、两点,且、关于直线对称,则弦的长为.
例84.已知圆:
相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为.
例85.已知圆满足:
①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线的距离为,求该圆的方程.
.
题型八:
圆的参数方程及最值问题
例86.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例87.已知实数、满足关系式:
,则的最小值为.
例88.若点在直线上运动,则的最小值是.
例89.圆C:
点,点P在圆上运动,求的最值及相应的点P的坐标.
例90.对于圆上任意一点,不等式恒成立,则实数的取值范围.
例91.已知圆,为圆上的动点,求的最大、最小值.
例92.已知圆,为圆上任一点.求的最大、最小值,求的最大、最小值.
真题:
【2014新标1文】已知点,圆:
,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.
(I)求的轨迹方程;
(II)当时,求的方程及的面积
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