b必修5数列求和方法技巧ok.doc
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数列求和的基本方法和技巧
1.自从文科不考数学归纳法以来,数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。
而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起,能力要求较高。
因此要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
2.纵观近几年的高考,每年都有求极限的题目。
常以选择题、填空题的形式命题,有时也作为某一大题的某一问出现,难度不大。
3.数列的应用极其广泛,因此尽管现在的应用题多为概率统计,但不排除考数列应用题的可能,也有可能是数列与概率交汇。
4.数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起,以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。
一、利用常用求和公式求和
1.等差数列求和:
2、等比数列求和:
3.4、5.
[例1]已知数列,(x≠0),数列的前n项和,求.
解:
当x=1时,;当x≠1时,为等比数列,公比为x;
由等比数列求和公式得=(利用常用公式)
练习1.已知数列的通项公式为,为的前n项和,
(1)求;
(2)求的前20项和。
二、错位相减法求和:
该方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例2]求和:
………()
解:
当x=1时,
当x≠1时,……………….①
①式两边同乘以x得……②(设制错位)
①②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
练习2.求数列前n项的和.
三、反序相加法求和:
即将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
[例3]求证:
证明:
设…………………………..①
把①式右边倒转过来得(反序)
又由可得…………..②
①+②得(反序相加)
∴
练习3.求的值
四、分组法求和:
用于既非等差数列,也非等比数列,其数列可分为几个等差、等比或常见的数列,形如:
的形式,其中{an}、{bn}是等差数列、等比数列或常见的数列.
[例4]求数列的前n项和:
,…
解:
设
将其每一项拆开再重新组合得(分组)
当a=1时,=(分组求和)
当时,=
练习4.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
五、裂项法求和:
实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)(4)=-
(5)(6)
(7)(8)
(9)
[例5]求数列的前n项和.
解:
设(裂项)
则
==列项求和
练习5.①在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
①求证:
六、合并法求和:
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质.
[例6]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解:
设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∵(找特殊性质项)
∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)
+···+(cos89°+cos91°)+cos90°=0(合并求和)
练习6.在各项均为正数的等比数列中,若的值.
七、利用数列的通项求和:
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.
[例7]求之和.
解:
由于(找通项及特征)
∴
=(分组求和)
=
==
【巩固练习】7.已知数列{an}:
的值.
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