导数(题型完美版).doc
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高中数学选修2-2资料
第一章导数及其应用
第一节导数的定义
知识点一导数的概念
定义:
函数在处瞬时变化率是,我们称它为函数在处的导数,记作
要点诠释:
①增量可以是正数,也可以是负,但是不可以等于0。
的意义:
与0之间距离要多近有
多近,即可以小于给定的任意小的正数。
②时,Δy在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在一个常数与无限接近。
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。
如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率。
知识点二求导数的方法
求导数值的一般步骤:
①求函数的增量:
;
②求平均变化率:
;
③求极限,得导数:
。
也可称为三步法求导数。
【例1】已知函数在处可导,则:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)
【例2】求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【变式1】求下列函数导数:
(1)y=3x2+xcosx
(2)y=
(3)y=lgx-ex
(4)y=tanx.
【变式2】求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
【例3】求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
【变式3】求下列函数的导数:
(1)
(2)y=
(3).
【例4】已知,则_______.
【例5】(逆用求导公式)
设,是上的可导函数,且,则当时,比较与的大小.
【变式4】是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意的正数,若,比较与的大小.
【变式5】是定义在上的非负可导函数,且满足,对任意的正数,若,比较与的大小.
第二节导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_________,即k=f′(x0).函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为_____________________.
2.导数的物理意义
物体的运动方程s=s(t)在t=t0处的导数,就是物体在t0时刻的______________.
3.由导数的几何意义,求切线的斜率,即是求切点处所对应的导数.因此,求曲线在某点处的切线方程,可以先求函数在该点的导数,即为曲线在该点的切线的斜率,再用直线的点斜式形式,写出切线的方程,其步骤为:
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
4.求曲线的切线方程需注意两点
(1)当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0;
(2)当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
注意:
若在点(x0,f(x0))处切线l的倾斜角为,此时切线垂直于x轴,导数不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为x=x0.
5.导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:
k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
【例1】已知曲线y=x3上一点P,求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
【变式1】已知:
曲线上一点,求:
点处的切线方程。
【例2】求曲线经过点的切线方程.
【变式2】已知:
函数,经过点作函数图象的切线,求:
切线的方程。
【变式3】已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程;
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.
【例3】1.函数f(x)=的图象在点(1,-2)处的切线方程为( )
A.2x-y-4=0 B.2x+y=0
C.x-y-3=0 D.x+y+1=0
2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.
【变式4】1.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
2.已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
【例3】已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足f(x)=2xf′
(1)+lnx,则f′
(1)=( )
A.-eB.-1C.1D.e
【变式5】设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0B.1C.2D.3
【变式6】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标为________.
【例4】若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为________.
【例5】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:
y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值;
(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?
如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
【变式7】已知aÎR,函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程.
【变式8】已知函数,.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值.
第三节导数的应用
利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间(a,b)内可导,
(1)如果恒有,则函数在(a,b)内为增函数;
(2)如果恒有,则函数在(a,b)内为减函数;
(3)如果恒有,则函数在(a,b)内为常数函数。
要点诠释:
(1)若函数在区间(a,b)内单调递增,则,若函数在(a,b)内单调递减,
则。
(2)或恒成立,求参数值的范围的方法——分离参数法:
或。
题型一求函数的单调区间
【例1】思维辨析
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法.( )
【例2】确定函数的单调区间.
【例3】
【变式1】求下列函数的单调区间:
(1)
(2)
【例4】已知函数,求函数的单调区间并说明其单调性。
【变式2】求函数(a∈R)的单调区间。
【变式3】(a>0且a≠1)。
题型二函数单调性的证明
【例5】当时,求证:
函数是单调递减函数.
【变式4】当时,求证:
函数是单调递减函数.
题型三含参的函数单调性的讨论(高考重要考点)
【例6】,求函数的单调性.
【变式5】求函数的单调性.
【变式6】(2015•西宁校级模拟)已知函数,若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.
【例7】(2015•宿州三模)已知,g(x)=x3+ax2-x+2.如果函数g(x)的单调递减区间为(,1),求函数g(x)的解析式.
【变式7】已知实数a>0,函数f(x)=a(x-2)2+2lnx.
(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间[1,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
【变式8】已知函数,讨论函数的单调性.
题型四函数与导函数的图像
【例8】设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是()
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A.
B.
C.
D.
【例9】已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
【变式9】()如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )
A.在(-2,1)上f(x)是增函数B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取极大值D.当x=4时,f(x)取极大值
【变式10】设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象有可能是( )
1.函数的极值
一般地,设函数在点及其附近有定义,
(1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值,记作
;
(2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值,记作
.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
要点诠释:
由函数的极值定义可知:
(1)在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较.
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
2.函数的最值
函数的最大值与最小值定理:
若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释:
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得;
②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。
3.函数极值与最值的简单应用
(1)不等式恒成立,求参数范围问题。
一些含参不等式,一般形如,
若能隔离参数,即可化为:
的形式。
若其恒成立,则可转化成,从而转化为求函数的最值问题。
若不能隔离参数,就是求含参函数的最小值,使。
所以仍为求函数的最值问题,只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
(2)证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时,一般形式为,则可化为,一般设,然后求的最小值,证即可。
所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
(3)两曲线的交点个数问题(方程解的个数问题)
一般可转化为方程的问题,即的解的个数问题,
我们可以设,然后求出的极大值、极小值,根据解的个数讨论极大值、
极小值与0的大小关系即可。
所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
题型一求函数的极值
【例1】思维辨析
(1)导数为零的点不一定是极值点.( )
(2)三次函数在R上必有极大值和极小值.( )
(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( )
(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )
(6)函数f(x)=xsinx有无数个极值点.( )
【例2】下列函数的极值。
(1);
(2)
·
【变式1】下列函数的极值。
(1);
(2)
【例3】讨论函数()的单调性并求极值.
【变式2】求下列函数的极值:
(1);
(2)
【例4】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
【变式3】函数的定义域为区间(a,b),导函数在(a,b)内的图如图所示,则函数在(a,b)内的极小值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例5】()已知函数f(x)=+-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【变式4】设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为2.
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【例6】设a∈R,函数f(x)=x2e1-x-a(x-1).当a=1时,求f(x)在内的极大值;
【例7】设函数,则()
A.为的极大值点B.为的极小值点
C.为的极大值点D.为的极小值点
【例8】若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-,1)B.[-,1)
C.[-2,1)D.(-2,1)
【变式5】设函数f(x)=(x-1)kcosx(k∈N*),则( )
A.当k=2013时,f(x)在x=1处取得极小值
B.当k=2013时,f(x)在x=1处取得极大值
C.当k=2014时,f(x)在x=1处取得极小值
D.当k=2014时,f(x)在x=1处取得极大值
题型二函数极值的逆向应用
【例1】已知函数在点x0处取得极大值5,其导函数的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示。
求:
(1)x0的值;
(2)a,b,c的值。
【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a,b的值.
【例2】已知函数,当且仅当x=-1,x=1时取得极值,且极大值比极小值大4。
(1)求a、b的值;
(2)求的极大值和极小值。
【变式2】函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( )
A.1,-3B.1,3C.-1,3D.-1,-3
题型三导数法研究函数的最值问题
【例1】求函数在区间[-1,2]上的最大值与最小值。
【变式1】求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值。
【例2】求函数,x∈[0,2]的最值。
【变式2】求函数,x∈[-3,2]的最值。
【例3】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
【变式3】设函数。
(1)当a=1时,求的单调区间;
(2)若中(0,1]上的最大值为,求a的值。
【例4】已知函数f(x)=ax2+2,g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,1]上的最大值.
【变式4】设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数y=f(x)的图象在x=1处与直线y=-相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在上的最大值.
【变式5】()已知函数f(x)=x2++1,其中a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与直线y=1平行,求a的值;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
题型三利用导数研究函数的零点问题
【例1】已知函数,
(1)若函数在为增函数,求的取值范围;
(2)讨论方程解的个数,并说明理由.
【例2】若问是否存在实数m,使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点?
若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
【变式2】已知函数f(x)=ex,x∈R.
(1)求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:
曲线y=f(x)与直线y=ex有唯一公共点.
【例3】已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不相等的实数解,求a的取值范围.
【变式3】已知函数
(1)求的单调区间;
(2)若在处取得极值,直线y=my与的图象有三个不同的交点,求m的取值范围
题型四导数法证明不等式
【例1】已知函数f(x)=ex,当x∈[0,1]时,求证:
(1)f(x)≥1+x;
(2)(1-x)f(x)≤1+x.
【例2】()已知f(x)=lnx-x+a+1.
(1)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≥0成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:
当x>1时,在
(1)的条件下,x2+ax-a>xlnx+成立.
【变式1】设函数,证明:
当时,.
【变式2】(2017•江门一模)设函数f(x)=ex-ax,a是常数.
(Ⅰ)若a=1,且曲线y=f(x)的切线l经过坐标原点(0,0),求该切线的方程;
(Ⅱ)讨论f(x)的零点的个数.
【例3】(2017•清新区校级一模)设函数.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若f(x)的图象与x轴有三个交点,求实数a的取值范围.
【变式2】(2017•桂林一模)设函数f(x)=ex-x,h(x)=f(x)+x-alnx.
(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的值域;
(2)证明:
当a>0时,h(x)≥2a-alna.
题型五不等式恒成立问题
【例1】设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
【变式1】已知函数.
(1)若图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围;
(2)若在x=1处取得极值,且x∈[―1,2]时,恒成立,求c的取值范围。
【例2】(2017•广东一模)已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【变式2】(2017•乐山一模)已知f(x)=2ln(x+2)-(x+1)2,g(x)=k(x+1).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当k=2时,求证:
对于∀x>-1,f(x)<g(x)恒成立.
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