北京市东城区学年度高三二模文科数学试题及答案word版 1.docx
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北京市东城区学年度高三二模文科数学试题及答案word版 1.docx
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北京市东城区学年度高三二模文科数学试题及答案word版1
度第二学期高三综合练习
(二)
数学(文科)
学校班级姓名考号本试卷共5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷
上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)
32
7.日晷,是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具,又称“日规”.其原理就是利用
太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明,这项发明被人类沿用达几千年之久.下图是故宫中的一个日晷,则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为
AB
CD
8.已知甲、乙两个容器,甲容器容量为x,装满纯酒精,乙容器容量为z,其中装有体积
为y的水(x,yz,单位:
L).现将甲容器中的液体倒入乙容器中,直至甲容器中液体倒
*
完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积
变化忽略不计.设经过n(n
N)次操作之后,乙容器中含有纯酒精
an(单位:
L),下列
关于数,列
an的说法正确的是
A.当xya时,数列
a
an有最大值
2
B.设
baanN*,则数列b为递减数列
nn1nn
C.对任意的
nN*
xy
,始终有an
z
D.对任意的
nN*
xy
,都有an
xy
第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.已知ABC三内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,且B
那么
sinC.
2
,又边长b
3
3c,
11
10.已知
1i2
ni,其中n是实数,i是虚数单位,那么
n=.
11.右面茎叶图记录了甲,乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位:
小时),已知甲班数据的平均数
为13,乙班数据的中位数为17,那么x的位置应填
;y的位置应填.
kk1
12.已知函数
f(x)lnx
2x6的零点在区间
(,)
22
(kZ)内,那么k.
13.已知双曲线G以原点O为中心,过(5,4)点,且以抛物线C:
y24x的焦点为右顶点,那么双曲线G的方程为.
14.如图,在棱长为2的正方体
B1C1
ABCDA1B1C1D1中,E
A1D1
为对角线
B1D上的一点,
M,N为对角线AC上的两个
动点,且线段MN的长度为1.E
BC
(1)当N为对角线AC的中点且DE
锥EDMN的体积是;
2时,则三棱MN
AD
(2)当三棱锥EDMN的体积为1时,则
3
DE=.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题13分)
在等差数列
an中,
a12,
a1220.
(Ⅰ)求通项
an;
a1a2anb
(Ⅱ)若bn
,求数列3n
n
的前n项和.
16.(本小题13分)
函数f
(x)
Asin(x
)(A
6
0,0)的最大值为2,它的最小正周期为2.
(Ⅰ)求函数
f(x)的解析式;
(Ⅱ)若
g(x)cosxf(x),求
g(x)在区间[-
]上的最大值和最小值.
64
17.(本小题13分)
某单位附近只有甲,乙两个临时停车场,它们各有50个车位,为了方便市民停车,某
互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录,如下表:
时间
8点
10点
12点
14点
16点
18点
停车场甲
10
3
12
6
12
17
停车场乙
13
4
3
2
6
19
如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%,那么当车主驱车抵达单位附近时,该公司将会向车主发出停车场饱和警报.
(Ⅰ)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同,求他收到甲停车场饱和警报的概率;
(Ⅱ)从这六个时刻中任选一个时刻,求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率;
(Ⅲ)当停车场乙发出饱和警报时,求停车场甲也发出饱和警报的概率.
18.(本小题14分)
如图,在四棱柱
ABCDA1B1C1D1
中,侧面
ADD1A1和侧面
CDD1C1都是矩形,
BC//AD,ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,
A1D1
A1
B1C1
的中点.
F
D1
(Ⅰ)求证:
DD1
平面ABCD;
(Ⅱ)求证:
平面
A1BE平面
ADD1A1;
BC
(Ⅲ)若
CF//平面
A1BE,求棱BC的长度.
AED
x
19.(本小题13分)
设函数
f(x)
(xa)
e,aR.
(Ⅰ)当a
1时,试求
f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)试求
f(x)在[1,2]上的最大值;
(Ⅲ)当a
1时,求证:
对于
x[5,),
f(x)x5
6
5恒成立.
e
20.(本小题14分)
已知椭圆
E:
mx2
y21(m
0).
(Ⅰ)若椭圆E的右焦点坐标为(3,0),求m的值;
(Ⅱ)由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个,求m的取值范围.
B(0,1)为直角顶
北京市东城区2016-2017学年第二学期高三综合练习
(二)数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D2.C3.C4.A5.A6.B7.D8.D
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
13分
分
所以g(x)
cosx
f(x)=
3sin
xcosx
2
cosx=
3sin2x1cos2x
22
=sin(2x)1
62
2
因为x
6
所以2x.
4663
3
于是,当2x
6
即x
2
时,g(x)取得最大值;
62
当2x
6
即x时,g(x)66
取得最小值0.-------------13分
17.(本小题13分)
解:
(Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况,
该车主抵达单位共有六种情况,
所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为
1
P.,,,,,,,,,4分
6
(Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况,
一共有六个时刻,
所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为
31
P=.,,,,,,,,,9分
62
(Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况,
事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况,
所以当停车场乙发出饱和警报时,停车场甲也发出饱和警报的概率为
18.(本小题14分)
1
P.,,,,13分
3
解:
(Ⅰ)因为侧面
ADD1A1和侧面
CDDC11都是矩形,
所以DD1
AD,且
DD1
CD.
因为ADCDD,
所以DD1
平面ABCD.,,,,,,,,,,,4分
(Ⅱ)因为ABD是正三角形,且E为AD中点,所以BEAD.
因为DD1
平面ABCD,
而BE平面ABCD,
所以BEDD1.
因为ADDD1D,
所以BE平面因为BE平面
ADD1A1.
A1BE,
所以平面
A1BE平面
ADD1A1.,,,,,,,,,,,10分
(Ⅲ)因为
BC//
AD,
而F为
A1D1的中点,
所以BC//A1F.
所以B,C,F,A1四点共面.
因为CF
//平面
A1BE,
而平面
BCFA1
平面A1BE=A1B,
所以CF
//A1B.
所以四边形
BCFA1是平行四边形.
1
所以BC=FA1=AD
2
1.,,,,,,,,,,,,14分
19.(本小题13分)
解:
(Ⅰ)由
f(x)
(xa)
ex得
f'(x)
(xa
1)ex.
当a1时,
f'(x)
xex,令
f'(x)
0,得x0,
所以f(x)的单调增区间为(0,).,,,,,,,,,4分
(Ⅱ)令
f'(x)
0得x
a1.
所以当a
11时,x
[1,2]时
f'(x)
0恒成立,
f(x)单调递增;
当a1
2时,x
[1,2]时
f'(x)
1
恒成立,
f(x)单调递减;
当1a
2
2时,x
[1,a
1)时
f'(x)
0,f
(x)单调递减;
x(a
1,2)时
f'(x)
0,f(x)单调递增.
综上,无论a为何值,当x
[1,2]时,
f(x)最大值都为
f
(1)或
f
(2).
f
(1)
(1a)e,
f
(2)
(2a)e2,
f
(1)
f
(2)(1
2e2e
a)
e(2
2e1
a)
e2
(e2
e)a
(2e2
e).
所以当a
e2ee
时,f
1
(1)
f
(2)
0,f(x)max
f
(1)
(1a)e.
2e2e
2
当a2
2e1时,
f
(1)
f
(2)
0,f(x)max
f
(2)
(2a)e
.,,,,10分
eee1
(Ⅲ)令
h(x)
f(x)
x,所以
h'(x)
xex1.
所以h''(x)(x
1)
ex.
令h''(x)(x
1)ex=0,解得x1,
所以当x
[5,1),
h''(x)0,
h'(x)单调递减;
当x[1,),h''(x)0,h'(x)
单调递增.
所以当x
1时,
h'(x)
min
1
h'
(1)10.
e
所以函数
h(x)
在[5,)单调递增.
所以h(x)
h(5)
65.
e5
所以x
[5,),
f(x)x5
6
5恒成立.,,,,,,,,13分
e
20.(本小题14分)
2
2
解:
(Ⅰ)椭圆E的方程可以写成x
1
m
y1,焦点(3,0)在x轴上,所以a2
1
2
,b1
m
c2a2
b21132
m
3,求得m
1
.,,,,,,,,4分
4
(Ⅱ)设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA,BC,设A(x1,y1),C(x2,y2)
显然BA与BC不与坐标轴平行,且
kBA
kBC10
可设直线BA的方程为
ykx
1(k
0),则直线BC的方程为y
1x1,k
mx2
由
ykx
y21
1
消去y得到
22
(mk)x
2kx
0,所以2kmk
求得|BA|
2
k1|x0|
k1|2k|2kk1
122
mkmk
|2(
1)|
同理可求
|BC|(
1)2
k
1|x2
0|(
1)21
km
k
(1)2
k
2k21
2
mk1
因为ABC为以B(0,1)为直角顶点的等腰直角三角形,所以|BA||BC|,
22
所以2kk21
2k1,
2
mkmk1
整理得
mk3k2
km0(mk3
m)(k2
k)0
m(k3
1)(k2
k)0
m(k
1)(k2
k1)
k(k
1)0(k
1)[mk2
(m1)km]0
所以k
1或mk2(m
1)km
0,设
f(k)
mk2
(m1)km
因为以
B(0,1)为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个,
所以关于k的方程
mk2(m
1)km
0有两个不同的正实根
x1,
x2,且都不为1
f
(1)0
m(m1)m0
m1,
3
x1x20
m100
m
m1,
x1x2010,恒成立
2
0(m1)
21
4m01m
3
1
所以实数m的取值范围是
(0,).,,,,,,,,14分
3
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