八年级坐标系知识点及习题.docx
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八年级坐标系知识点及习题
第三章位置与坐标
知识点1坐标确定位置
知识链接
平面内特殊位置的点的坐标特征
(1)各象限内点P(a,b)的坐标特征:
①第一象限:
a>0,b>0;②第二象限:
a<0,b>0;
③第三象限:
a<0,b<0;④第四象限:
a>0,b<0.
(2)坐标轴上点P(a,b)的坐标特征:
①x轴上:
a为任意实数,b=0;
②y轴上:
b为任意实数,a=0;
③坐标原点:
a=0,b=0.
(3)两坐标轴夹角平分线上点P(a,b)的坐标特征:
①一、三象限:
;②二、四象限:
.
同步练习
1.定义:
直线l1与l2相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线l1、l2的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
考点:
点到直线的距离;坐标确定位置;平行线之间的距离.
解答:
如图,
∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a
1、a2上,到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上,
∴“距离坐标”是(1,2)的点是M1、M2、M3、M4,一共4个.
故选C.
2.如图,是用围棋子摆出的图案(用棋子的位置用用有序数对表示,如A点在(5,1)),如果再摆一黑一白两枚棋子,使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,则下列摆放正确的是( )
A.黑(3,3),白(3,1)B.黑(3,1),白(3,3)
C.黑(1,5),白(5,5)D.黑(3,2),白(3,3)
考点:
利用旋转设计图案;坐标确定位置;利用轴对称设计图案.
解答:
A、当摆放黑(3,3),白(3,1)时,此时是轴对称图形但不是中心对称图形,故此选项错误;
B、当摆放黑(3,3),白(3,1)时,此时是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项正确;
C、当摆放黑(1,5),白(5,5)时,此时不是轴对称图形也不是中心对称图形,故此选项错误;
D、当摆放黑(3,2),白(3,3)时,此时是轴对称图形不是中心对称图形,故此选项错误.
故选:
B.
3.(2014•台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录.
根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何?
( )
A.向北直走700公尺,再向西直走100公尺B.向北直走100公尺,再向东直走700公尺
C.向北直走300公尺,再向西直走400公尺D.向北直走400公尺,再向东直走300公尺
考点:
坐标确定位置.
解答:
依题意,OA=OC=400=AE,AB=CD=300,DE=400-300=100,所以邮局出发走到小杰家的路径为,向北直走AB+AE=700公尺,再向西直走DE=100公尺.故选:
A.
4.如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图,如果用(0,0)表示新宁莨山的位置,用(1,5)表示隆回花瑶的位置,那么城市南山的位置可以表示为( )
A.(2,1)B.(0,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)
考点:
坐标确定位置.
解答:
建立平面直角坐标系如图,城市南山的位置为(-2,-1).故选C.
5.(2014•怀化模拟)小军从点O向东走了3千米后,再向西走了8千米,如果要使小军沿东西方向回到点O的位置,那么小明需要( )
A.向东走5千米B.向西走5千米C.向东走8千米D.向西走8千米
考点:
坐标确定位置.
解答:
小军从点O向东走了3千米,再向西走了8千米后在点O的西边5千米,所以,要回到点O的位置,小明需要向东走5千米.故选A.
6.(2014•遵义二模)在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(2,1)、B(4,-1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是
,则“宝藏”点的坐标是.
考点:
勾股定理的应用;坐标确定位置;线段垂直平分线的性质.
解答:
首先确定坐标轴,则“宝藏”点是C和D,坐标是:
(5,2)和(1,-2).故答案是:
(5,2)和(1,-2).
7.(2014•曲靖模拟)在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离都相等,则“宝藏”点的可能坐标是.
考点:
坐标确定位置.
解答:
如图,“宝藏”的可能坐标是(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5).故答案为:
(0,-1),(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5).
8.(2014•赤峰)如图所示,在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“马”位于点(2,2),“炮”位于点(-1,2),写出“兵”所在位置的坐标.
考点:
坐标确定位置.
解答:
建立平面直角坐标系如图,兵的坐标为(-2,3).故答案为:
(-2,3).
9.如图1,是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图.包括8个方向:
东、南、西、北、东南、东北、西南、西北,方向线交点为O,以O为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n.将点所处的圆和方向称作点的位置,例如M(2,西北),N(5,南),则P点位置为.如图2,若将(1,东)标记为点A1,在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A2、A3、…、A8;到A8后进入圆2,将(2,东)标记为A9,继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A
10、A11、…、A16;到A16后进入圆3,之后重复以上操作过程.则点A25的位置为,点A2013的位置为,点A16n+2(n为正整数)的位置为.
考点:
规律型:
点的坐标;坐标确定位置.
解答:
由题意得出:
P点在第3个圆上,且在东北方向,故P点位置为:
(3,东北),
由题意可得出每8个数A点向外移动一次,
∵25÷8=3…1,故点A25所在位置与A1方向相同,故点A25的位置为(4,东),
∵2013÷8=251…5,故点A2013所在位置与A5方向相同,故点A2013的位置为(252,西),
∵(16n+2)÷8=2n…2,故点A16n+2所在位置与A2方向相同,故点A16n+2的位置为(2n+1,东北),
故答案为:
(3,东北),(4,东),(252,西),(2n+1,东北).
10.有一张图纸被损坏,但上面有如图所示的两个标志点A(-3,1),B(-3,-3)可认,而主要建筑C(3,2)破损,请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置.
解:
C点的位置如图.
11.如图是某台阶的一部分,如果A点的坐标为(0,0),B点的坐标为(1,1).
(1)请建立适当的直角坐标系,并写出其余各点的坐标;
(2)说明B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标比较有什么变化?
(3)现要给台阶铺上地毯,单位长度为1,请你算算要多长的单位长度的地毯?
解:
以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,所以C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5);
B,C,D,E,F的坐标与点A的坐标相比较,横坐标与纵坐标分别加1,2,3,4,5;
现要给台阶铺上地毯,单位长度为1,要11个单位长度的地毯
12.常用的确定物体位置的方法有两种.如图,在4×4个边长为1的正方形组成的方格中,标有A,B两点.请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置.
解:
方法1,用有序实数对(a,b)表示,比如:
以点A为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,则B(3,3),
方法2,用方向和距离表示,比如:
B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可),距离A点
处.
知识点2平面直角坐标系
知识链接
1 点的坐标
(1)我们把有顺序的两个数a和b组成的数对,叫做有序数对,记作(a,b).
(2)平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法:
在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴.
②各部分名称:
水平数轴叫x轴(横轴),竖直数轴叫y轴(纵轴),x轴一般取向右为正方向,y轴一般取象上为正方向,两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴,又属于y轴.
(3)坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面,两轴把此平面分成四部分,分别叫第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.
(4)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.
2两点间的距离公式:
设有两点A(x1,y1),B(x2,y2),则这两点间的距离为AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2.
说明:
求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.
同步练习
1.(2014•台湾)如图的坐标平面上有P、Q两点,其坐标分别为(5,a)、(b,7).根据图中P、Q两点的位置,判断点(6-b,a-10)落在第几象限?
( )
A.一B.二C.三D.四
考点:
点的坐标.
解答:
∵(5,a)、(b,7),∴a<7,b<5,∴6-b>0,a-10<0,∴点(6-b,a-10)在第四象限.故选D.
2.(2014•萧山区模拟)已知点P(1-2m,m-1),则不论m取什么值,该P点必不在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
考点:
点的坐标.
分析:
分横坐标是正数和负数两种情况求出m的值,再求出纵坐标的正负情况,然后根据各象限内点的坐标特征解答.
解答:
①1-2m>0时,m<
,m-1<0,所以,点P在第四象限,一定不在第一象限;
②1-2m<0时,m>
,m-1既可以是正数,也可以是负数,点P可以在第二、三象限,
综上所述,P点必不在第一象限.故选A.
3.(2014•闵行区二模)如果点P(a,b)在第四象限,那么点Q(-a,b-4)所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
考点:
点的坐标.
分析:
根据第四象限的点的坐标特征确定出a、b的正负情况,再确定出点Q的横坐标与纵坐标的正负情况,然后根据各象限内点的坐标特征判断即可.
解答:
∵点P(a,b)在第四象限,∴a>0,b<0,∴-a<0,b-4<0,∴点Q(-a,b-4)在第三象限.故选C.
点评:
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:
第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).
4.(2014•北海)在平面直角坐标系中,点M(-2,1)在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解答:
选B.
5.(2014•赤峰样卷)如果m是任意实数,则点P(m,1-2m)一定不在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解答:
选C.
6.(2014•呼和浩特)已知线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为( )
A.(1,2)B.(2,9)C.(5,3)D.(-9,-4)
解答:
选A
7.(2014•杨浦区三模)如果将点(-b,-a)称为点(a,b)的“反称点”,那么点(a,b)也是点(-b,-a)的“反称点”,此时,称点(a,b)和点(-b,-a)是互为“反称点”.容易发现,互为“反称点”的两点有时是重合的,例如(0,0)的“反称点”还是(0,0).请再写出一个这样的点:
.
解答:
点(3,5)和点(-5,-3).(不唯一)
8.(2014•南京联合体二模)点P在第二象限内,且到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标可以为.(填一个即可)
解答:
点(-5,5).(不唯一)
9.(2014•玉林)在平面直角坐标系中,点(-4,4)在第象限.
解答:
二.
10.(2014•长沙一模)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,m-1)在第四象限,则m的取值范围为.
解答:
11.若x,y为实数,且满足|x-3|+
=0,
(1)如果实数x,y对应为直角坐标的点A(x,y),求点A在第几象限;
(2)求
的值?
解答:
(1)四
(2)-1
12.若点M(1+a,2b-1)在第二象限,则点N(a-1,1-2b)在第______象限.
解答:
三
13.在平面直角坐标系中,设坐标轴的单位长度为1cm,整数点P从原点O出发,速度为1cm/s,且点P只能向上或向右运动,请回答下列问题:
(1)填表:
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0,1)、(1,0)
2
2秒
3秒
(2)当P点从点O出发10秒,可得到的整数点的个数是______个.
(3)当P点从点O出发______秒时,可得到整数点(10,5)
考点:
点的坐标.
分析:
(1)在坐标系中全部标出即可;
(2)由
(1)可探索出规律,推出结果;(3)可将图向右移10各单位,用10秒;再向上移动5个单位用5秒.
解答:
(1)以1秒时达到的整数点为基准,向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点;再以2秒时得到的整数点为基准,向上或向右移动一格,得到3秒时可能得到的整数点.
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0,1)、(1,0)
2
2秒
(0,2),(2,0),(1,1)
3
3秒
(0,3),(3,0),(2,1),(1,2)
4
(2)1秒时,达到2个整数点;2秒时,达到3个整数点;3秒时,达到4个整数点,那么10秒时,应达到11个整数点;
(3)横坐标为10,需要从原点开始沿x轴向右移动10秒,纵坐标为5,需再向上移动5秒,所以需要的时间为15秒.
知识点3坐标与图形性质
知识链接
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:
①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.
2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.
同步练习
1.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0)、(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为.
考点:
勾股定理;坐标与图形性质.
分析:
首先利用勾股定理求出AB的长,进而得到AC的长,因为OC=AC-AO,所以OC求出,继而求出点C的坐标.
解答:
∵点A,B的坐标分别为(-6,0)、(0,8),
∴AO=6,BO=8,
∴AB=
=10,
∵以点A为圆心,以AB长为半径画弧,
∴AB=AC=10,
∴OC=AC-AO=4,
∵交x正半轴于点C,
∴点C的坐标为(4,0),
故答案为:
(4,0).
2.如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为 .
解答:
C(3,5)
3.如图,Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上,直角顶点B在第四象限内,S△OAB=20,OB:
AB=1:
2,求A、B两点的坐标.
解答:
A(10,0),B(2,-4)
4.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为( )
A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=1D.2a+b=1
考点:
作图—基本作图;坐标与图形性质;角平分线的性质.
分析:
根据作图过程可得P在第二象限角平分线上,有角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|,再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a与b的数量关系.
解答:
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上,则P点横纵坐标的和为0,故2a+b+1=0,整理得:
2a+b=-1,故选:
B.
5.如图,在平面直角坐标系中,有一矩形COAB,其中三个顶点的坐标分别为C(0,3),O(0,0)和A(4,0),点B在⊙O上.
(1)求点B的坐标;
(2)求⊙O的面积.
解答:
(1)B(4,3)
(2)25
6.(2014•南平模拟)如图,在平面直角坐标系中,OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点P在AB边上,且∠CPB=60°,将△CPB沿CP折叠,使得点B落在D处,则D的坐标为( )
A.(2,
)B.(
,
)C.(2,
)D.(
,
)
考点:
翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.
分析:
作DE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,根据正方形的性质∴OC=BC=4,∠B=90°,由∠BPC=60°得∠1=30°,再根据折叠的性质得到∠1=∠2=30°,CD=CB=4,所以∠3=30°,在Rt△CDE中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DE=
CD=2,CE=
DE=
,则OE=
,所DF=
,然后可写出D点坐标.
解答:
作DE⊥y轴于E,DF⊥x轴于F,如图,
∵四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),
∴OC=BC=4,∠B=90°,
∵∠BPC=60°,
∴∠1=30°,
∵△CPB沿CP折叠,使得点B落在D处,
∴∠1=∠2=30°,CD=CB=4,
∴∠3=30°,
在Rt△CDE中,DE=
CD=2,CE=
DE=2
,
∴OE=OC-CE=
,
∴DF=OE=
,
∴D点坐标为(2,
).
故选C.
7.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为(3,
),点C的坐标为(
,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为.
考点:
轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
分析:
作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,求出AM,求出AD,求出DN、CN,根据勾股定理求出CD,即可得出答案.
解答:
作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,
则此时PA+PC的值最小,
∵DP=PA,
∴PA+PC=PD+PC=CD,
∵B(3,
),
∴AB=
,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:
OB=
,
由三角形面积公式得:
×OA×AB=
×OB×AM,
∴AM=
,
∴AD=2×
=3,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,
∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,
∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,
∴∠NDA=30°,
∴AN=
AD=
,由勾股定理得:
DN=
,
∵C(
,0),
∴CN=3-
-
=1,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC=
,
即PA+PC的最小值是
,
8.在直角坐标系中,有四个点A(-8,3)、B(-4,5)、C(0,n)、D(m,0),当四边形ABCD的周长最短时,
的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
分析:
若四边形的周长最短,由于AB的值固定,则只要其余三边最短即可,根据对称性作出A关于x轴的对称点A′、B关于y轴的对称点B′,求出A′B′的解析式,利用解析式即可求出C、D坐标,得到
.
解答:
根据题意,作出如图所示的图象:
过点B作B关于y轴的对称点B′、过点A关于x轴的对称点A′,连接A′B′,直线A′B′与坐标轴交点即为所求.
设过A′与B′两点的直线的函数解析式为y=kx+b.
∵A(-8,3),B(-4,5),
∴A′(-8,-3),B′(4,5),
依题意得:
−3=−8k+b,5=4k+b,
联立解得k=
,b=
,
所以,C(0,n)为(0,
).
D(m,0)为(
,0)
所以,
=
.
故答案为
.
故选B
9.已知点A(0,0),B(0,4),C(3,t+4),D(3,t).记N(t)为▱ABCD内部(不含边界)整点的个数,其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点,则N(t)所有可能的值为( )
A.6、7B.7、8C.6、7、8D.6、8、9
考点:
平行四边形的性质;坐标与图形性质.
分析:
分别求出t=1,t=1.5,t=2,t=0时的整数点,根据答案即可求出答案.
解答:
当t=0时,A(0,0),B(0,4),C(3,4),D(3,0),此时整数点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6个点;
当t=1时,A(0,0),B(0,4),C(3,5),D(3,1),此时整数点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),共8个点;
当t=1.5时,A(0,0),B(0,4),C(3,5.5),D(3,1.5),此时整数点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),共7个点;
当t=2时,A(0,0),B(0,4),C(3,6),D(3,2),此时整数点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),共8个点;
故选项A错误,选项B错误;选项D错误,选项C正确;
故选C.
*10.如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,-3),△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且O′的坐标为(-1,0),则点B′的坐标为.
解答:
直线AB方程为y=3x-9,直线OB斜率为
.
过O‘点平行于直线OB的直线方程为:
y=
(x+1).
联立两方程,解得交点B′的坐标为(
,-4).
11.已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为7.
考点:
平行四边形的性质;坐标与图形性质.
分析:
①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD;
②CD是平行四边形的一条对角线,过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N,证△DBN≌△CAM,推出DN=CM=a,BN=AM=8-a,得出D((8-a,6+a),由勾股定理得:
CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-
)2+98,求出即可.
解答:
有两种情况:
①CD是平行四边形的一条边,那么有AB=CD=
=10
②CD是平行四边形的一条对角线,
过C作CM⊥AO于M,过D作DF⊥AO于F,交AC于Q,过B作BN⊥DF于N,
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°,
∠CAM+∠FQA=90°,∠BDN+∠DBN=90°,
∵四边形ACBD是平行四边形,
∴BD=AC,∠C=∠D,BD∥AC,
∴∠BDF=∠FQA,
∴∠DBN=∠CAM,
∵在△DBN和△CAM中,∠BND=∠AMC,∠DBN=∠CAM,BD=AC
∴△DBN≌△CAM(AAS),
∴DN=CM=a,BN=AM=8-a,
D((8-a,6+a),
由勾股定理得:
CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-
)2+98,
当a=
时,CD有最小值,是
∵
<10,
∴C
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