新人教版八年级数学下册期中知识点汇总Word下载.docx
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若,则,如:
,.
例1.计算
1.()22.(3)23.()24.()2
例2.在实数范围内分解下列因式:
(1)x2-3
(2)x4-4(3)2x2-3
知识点五:
二次根式的性质
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,
即;
若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
例1化简
(1)
(2)(3)(4)
例2填空:
当a≥0时,=_____;
当a<
0时,=_______,并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?
(2)若=-a,则a是什么数?
(3)>
a,则a是什么数?
例3当x>
2,化简-.
知识点六:
与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;
在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,
,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;
时,无意义,而.
知识点七:
二次根式的乘除
1、乘法·
=(a≥0,b≥0)反过来:
=·
(a≥0,b≥0)
2、除法=(a≥0,b>
0)反过来,=(a≥0,b>
0)
(思考:
b的取值与a相同吗?
为什么?
不相同,因为b在分母,所以不能为0)
例1.计算
(1)4×
(2)×
(3)×
(4)×
例2化简
(1)
(2)(3)(4)
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1)
=4×
×
=4=8
例4.计算:
(1)
(2)(3)(4)
例5.化简:
(1)
(2)(3)(4)
例6.已知,且x为偶数,求(1+x)的值.
3、最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(熟记20以内数的平方;
因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)
例1.把下列二次根式化为最简二次根式
(1);
(2);
(3)
4、化简最简二次根式的方法:
(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;
(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;
(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:
开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)
5.有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与;
②与;
③与;
④与.
说明:
利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式:
被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如与
知识点八:
二次根式的加减
1、二次根式的加减法:
先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。
(合并方法为:
将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。
例1.计算
(1)+
(2)+
第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;
第二步,将相同的最简二次根式进行合并.
解:
(1)+=2+3=(2+3)=5
(2)+=4+8=(4+8)=12
例2.计算
(1)3-9+3
(2)(+)+(-)
例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.
2、二次根式的混合运算:
先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减
3、二次根式的比较:
(1)若,则有;
(2)若,则有.
(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小
例4.比较3与4的大小
【勾股定理】
勾股定理:
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即:
。
常见勾股数:
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;
8、15、17;
7、24、25。
这个一定要牢记于心。
考点一:
勾股定理的直接应用
例1.正方形的面积是2,它的对角线长为()
A、1B、2C、D、
例2.如图,由Rt△ABC的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为
考点二:
求第三条边的长
例1.若中,且c=37,a=12,则b=()
A、50B、35C、34D、26
例2.已知两线段的长为6cm和8cm,当第三条线段取时,这三条线段能组成一个直角三角形。
(提示:
所给的两条变长不一定都为直角边。
)
例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c,,则()
A、169B、119C、169或119D、13或25
考点三:
与高、面积有关
例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是
例2.等腰三角形的底边为10cm,周长为36cm,则它的面积是
◆勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。
判断步骤:
(1)比较a、b、c大小,找最长边;
(2)计算两条短边的平方和,看是否与最长边的平方相等。
例1.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面。
(填“合格”或“不合格”)
例2.试判断:
三边长分别是的三角形是不是直角三角形?
【习题】
一、选择题
1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的几倍?
()
A、2B、4C、3D、5
2、等腰△ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为()
A.10B.12C.15D.20
3、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如右图所示,设筷子露在杯子外面的长度hcm,则h的取值范围是()
A、h≤17cmB、h≥8cmC、15cm≤h≤16cmD、7cm≤h≤16cm
二、填空题
1、如果梯子底端离建筑物5m,那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。
2、如图,一圆柱高,底面半径,一只蚂蚁从点爬到点处吃食,要爬行的最短路程是cm
3.、如右图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的
和为。
4.一个零件的形状如图,按规定这个零件的与都要是直角,工人师傅量得零件各边尺寸:
AD=4,AB=3,DC=12,BC=13,BD=5。
这个零件符合要求吗?
5.如图,南北方向MN为我国领海线,即MN以西是我国领海,以东为公海,上午9时50分,我国反走私艇A发现正东方向有一走私船C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切关注。
反走私艇A和走私船C的距离是13海里,A、B两艇的距离为5海里,反走私艇B测得距离C船12海里,若走私船C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
(精确到分)
A
B
C
M
N
四边形知识点总结:
1.四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于360°
;
(2)四边形的外角和等于360°
.
2.多边形的内角和与外角和定理:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°
(2)任意多边形的外角和等于360°
3.平行四边形的性质:
因为ABCD是平行四边形Þ
4.平行四边形的判定:
5.矩形的性质:
因为ABCD是矩形Þ
6.矩形的判定:
Þ
四边形ABCD是矩形.
7.菱形的性质:
因为ABCD是菱形
8.菱形的判定:
四边形四边形ABCD是菱形.
9.正方形的性质:
因为ABCD是正方形
(1)
(2)(3)
10.正方形的判定:
四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
例1:
如图1,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F.求证:
∠BAE=∠DCF.
(图1)
D
E
F
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABE=∠CDF,AB=CD.
又∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°
,
∴△ABE≌△CDF.
∴∠BAE=∠DCF.
O
(图2)
例2:
如图2,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:
BE=CF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OC.
又∵BE⊥AC,CF⊥BD,∴∠BEO=∠CFO=90º
∵∠BOE=∠COF.
∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.
评注:
本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.
(图3)
例3如图6,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若M、N分别是BE、DF的中点,连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
(1)证明:
∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.
(2)解析:
四边形MFNE是平行四边形.
∵△ABE≌△CDF,∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M、N分别是BE、DF的中点,∴ME=FN.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
本题是一道猜想型问题.先猜想结论,再证明其结论.
图4
例4如图4,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:
四边形AFCE是菱形.
∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,∠EOA=∠FOC,EA=EC.
∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
图5
又∵EA=EC,
∴四边形AFCE是菱形.
例5如图5,四边形ABCD是矩形,O是它的中心,E、F是对角线AC上的点.
(1)如果,则△DEC≌△BFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件);
(2)证明你的结论.
解析:
本题是一道条件开放型问题,答案不唯一.
(1)①AE=CF;
②OE=OF;
③DE⊥AC,BF⊥AC;
④DE∥BF等.
(2)①证明:
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.
∵AE=CF,∴AC-AE=AC-CF,即AF=CE.
∴△DEC≌△BFA.
例6如图6,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C.
四边形EFOG的周长等于2OB;
(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC”改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明.
∵在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,
图7
G
∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.
又∵BC=CB,AB=DC,
∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.
又∵EG∥AC,∠ACB=∠GEB.
∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.
∵EG∥OC,EF∥OG,
∴四边形EGOF是平行四边形.
∴OE=OF,EF=OG.
∴四边形EGOF的周长=2(OG+GE)=2(OG+GB)=2OB.
图6
(2)如图7,已知在矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点E不与B、C两点重合),EF∥BD交AC于点F,EG∥AC交BD于点C.
求证:
四边形EFOG的周长等于2OB
注意:
若将矩形改为正方形,原结论成立吗?
课堂练习:
(一)精心选一选
1.下列命题正确的是()
A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B.对角线相等的四边形一定是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()
A.6<
AC<
10;
B.6<
16;
C.10<
D.4<
16
3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,若∠DAB=120°
,∠CFE=135°
,AB=1,则AC的长为()
(A)1 (B)1.2 (C) (D)1.5
5.若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BD的长是()
(A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)4cm
6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线( )
(A)互相垂直 (B)相等 (C)互相平分(D)互相垂直且相等
7.如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE∥AC,DF∥AB,AB=5
那么四边形AFDE的周长是 ()
(A)5(B)10(C)15 (D)20
8.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是().
(A)3cm(B)4cm(C)5cm(D)6cm
9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°
,AC将梯形分成两个三角形,其中△ACD是周长为18cm的等边三角形,则该梯形的中位线的长是().
(A)9cm(B)12cm(c)cm(D)18cm
10.如图,在周长为20cm的□ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )
(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm
二.细心填一填
1.如果四边形四个内角之比1:
2:
3:
4,则这四边形为____形。
2.若正方形的对角线长为2cm,则正方形的面积为___。
3.若矩形一个内角的平分线,把另一边分为4cm,5cm两部分,则这个矩形周长是___
4.已知:
平行四边形ABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长长5cm,则这个平行四边形的各边长为_____。
5.已知:
平行四边形ABCD中,AE⊥BC交CB的延长线于点E,AF⊥CD交CD的延长线于点F,AB+BC+CD+DA=32cm,BC=AB,∠EAF=2∠C,则BE长为___,则∠C___.
图8
6.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别是A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD是平行四边形,那么点D的坐标是.
7.已知:
如图8,正方形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,E、F分别是
边AB、BC上的点,若AE=4cm,DF=3cm,且OE⊥OF,则EF的长为。
(三)认真答一答
1.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°
∠B=∠D=90°
BC=2,CD=3,求AB的长。
2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°
对角线AC平分∠BCD,求等腰梯形ABCD的周长。
3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
△ABE≌△AD′F;
D′
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论
4.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD相交于点E,
∠ADB=60°
,BD=10,BE∶ED=4∶1,求梯形ABCD的腰长.
5.如图,菱形ABCD,E,F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF=60°
∠BAE=18°
求∠CEF的度数。
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