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条件概率范本模板
2.2.1条件概率
聊城二中魏清泉
学习目标
1.了解条件概率的意义与计算公式。
2.掌握乘法公式及其应用。
学习重点与难点:
乘法公式的内涵及其应用。
(乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率)
教学过程设计
一、回顾与引入
将一质地均匀的硬币掷两次,观察出现正面的情况,令A={至少出现一次正面},B={两次出现同一面},则知样本S={HH,HT,TH,TT},而A={HH,HT,TH},B={HH,TT}。
由古典概型计算公式可得P(A)=3/4,P(B)=1/2,那么在事件A发生条件下,B事件发生的条件概率P(B|A)是多少呢?
可以肯定,P(B|A)应为1/3,即A已发生,{TT}已不可能出现,样本空间缩减为{HH,HT,TH},此时只当{HH}发生时,B事件才发生,故有P(B|A)=1/3
而分析P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4)=P(AB)/P(A),再检查,对古典概型而言,上式均成立,故上式可作为条件概率的具体描述公式.
二、条件概率的定义
设A,B为两事件,且P(A)〉0,称:
为在事件A发生条件下B事件发生的条件概率。
既然P(B|A)谓之条件概率,则P(B|A)必须满足概率的三条公理:
三、乘法公式
设P(A)〉0,则有P(AB)=P(A)P(B|A)
四、例题讲析
例1一盒子装5只产品,其中3只一等品,2只二等品从中取产品两次,每次取一只,作不放回抽样,设事件A={第一次取到一等品},事件B={第二次取到一等品},试求条件概率P(B|A).
解:
先将产品编号,1,2,3号为一等品,4,5号为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号,第j号产品,则试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间S,全部基本事件如下,总数为20。
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,1)(2,3)(2,4)(2,5)(3,1)(3,2)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)
事件A包含的基本事件为上三行,AB包含的基本事件为左上角的6个,则由条件概率公式(4.1)得
若按条件概率的直观意义来求P(B|A),则可认为发生之后,试验E的所有可能的集合就为A,而其中6个元素属于B,由古典概型公式得:
P(B|A)=6/12=0。
5
例2(课本60页例2)
例3设A,B为两事件,,已知P(A)=0。
5,P(B)=0.6,,试求
例4设某种动物活到20岁以上的概率为0。
7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20的这种动物能活到25岁以上的概率?
解:
设这种动物活到20岁以上的事件为A,活到25岁以上的事件为B,则P(A)=0。
7,而B×A,故AB=B即P(AB)=P(B)=0。
4故事件A发生条件下B发生的条件概率解:
设这种动物活到20岁以上的事件为A,活到25岁以上的事件为B,则P(A)=0。
7,而B×A,故AB=B即P(AB)=P(B)=0。
4故事件A发生条件下B发生的条件概率
例5
四、练习与巩固
1。
课本61页练习
2.指导书35页1---9。
五、小结
注意公式性质和应用。
六、作业
预习下一节.
2。
2.2事件的相互独立性
聊城二中魏清泉
学习目标
1.掌握乘法公式及其应用.
2.掌握一般两个或n个事件独立的条件及其在概率计算中的应用
学习重点与难点:
1.乘法公式的内涵及其应用.(乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率)
2。
n个事件独立与两两独立之间的关系。
在独立的条件下,尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算.
教学过程设计
一、回顾与引入
条件概率公式及乘法公式
二、两个事件的相互独立性
1。
相互独立性定义
设A、B是两事件,如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立事件。
2、逆事件的相互独立性
定理若四对事件A与B,与B,A与和中有一对是独立的事件,则另外各对事件也是相互独立的事件。
3相互独立与互不相容的区别和关系
相互独立与互不相容是两个不同的概念。
两事件互不相容是指两事件A,B不能同时发生,即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。
一般地,若AB=φ,则有:
0=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
故若P(A)>0(或P(B)>0)则P(B|A)=0(或P(A|B)=0)
反之,若P(A)>0(或P(B)>0)且P(B|A)=0(或P(A|B)=0)则有P(AB)=0。
在古典概型(即样本点有限)下有AB=φ,即A与B互不相容.
若P(A)>0(或P(B)〉0)且P(B|A)>0(或P(A|B)〉0)则A、B两事件必能同时发生,而A、B必不是互不相容的。
三、三个事件间的两两独立性
设A、B、C为三事件,如果具有等式
P(AB)=P(A)P(B)
P(BC)=P(B)P(C)(5.2)
P(CA)=P(C)P(A)
则称三事件A、B、C为两两独立的事件。
三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件,若同时满足(5.2)与(5。
3)式,则称A,B,C为相互独立事件.
易见,A,B,C相互独立,则A,B,C必两两独立,反之不然。
比如:
某单身小伙子,他梦想的姑娘有一双明亮的大眼睛,有一头飘柔的长发,并有充分的概率知识,假定这三种品质是相互独立的,且对应的概率分别为0.1,0.1及0.0001,则他遇到的第一位年轻小姐(或随机地选一位)同时显示这三种品质的概率即为
p=0。
1×0.1×0。
0001=0。
000001即百万分之一.
四、例题讲析
例1设n件产品中有k(〈n)件次品,每次任取一件,试验证放回抽样的两次抽取是独立的,而不放回抽样的两次抽取是不独立的。
例2(课本例3)
例3,设事件A与B相互独立,已知P(A)=0。
4,P(AYB)=0.7,试求P(
|A)。
解0.7=P(AYB)=P(A)+P(B)—P(AB)=P(A)+P(B)—P(A)P(B)=0.4+P(B)-0.4×P(B)=0.4+0。
6P(B)
解得:
P(B)=0.3/0.6=0。
5
又由A,B相互独立,故A与
也相互独立,所以有P(
|A)=P(
)=1-P(B)=0.5
例4若有一均匀正八面体,其第1、2、3、4面染上红色,第1、2、3、5面染上白色,第1、6、7、8面染上黑色。
现令:
A={抛一次正八面体朝下的一面出现红色};B={抛一次正八面体朝下的一面出现白色};C={抛一次正八面体朝下的一面出现黑色};试验证(5.3)式成立,但P(AB)≠P(A)P(B).
验:
由古典概型计算得:
P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2故P(A)P(B)P(C)=(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8而P(ABC)=1/8,故有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)又P(AB)=3/8≠P(A)P(B)(1/2)×(1/2)=1/4
例4例5.8设有电路如图所示,其中1,2,3,4为继电器接点.
设各继电器接点闭合与否相互独立,且每一继电器接点
闭合的概率均为p,求L至R为通路的概率。
解:
设事件Ai(i为1、2、3、4)为:
“第i个继电器接点闭合”于是A=A1A2∪A3A4故由概率加法公式及A1A2 A3A4的相互独立性知P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)—P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=
例5设甲、乙、丙三人同时向一敌机射击,射中的概率分别为0。
4,0。
5,0。
7,且知若只有一人射中,飞机坠落的概率为0.2,若二人射中,飞机坠落的概率为0.6,若三人射中,飞机必坠落,求飞机坠落的概率.
解:
设A={飞机坠落},Bi={有i人射中},i=0、1、2、3。
显然,B0、B1、B2、B3为S={三人射击飞机时有若干人击中飞机}的一个划分,且有:
P(B0)={甲、乙、丙三人均未射中}=(1—0.4)(1-0。
5)(1-0。
7)=0.6×0。
5×0.3=0。
09
P(B1)=P{甲射中,而乙、丙未射中}+P(乙中,而甲、丙未中}+P(丙中,而甲、乙未中}=0。
4×(1-0。
5)×(1—0.7)+(1-0.4)×0。
5×(1-0.7)+(1—0.4)×(1—0。
5)×0.7=0.36
P(B2)=P(甲、乙射中,而丙未中}+P{乙、丙射中,而甲未中}+P{甲、丙射中,而乙未中}=0。
4×0。
5×(1-0。
7)+(1—0。
4)×0.5×0.7+0.4×(1-0.5)×0。
7=0。
41
P(B3)=P{甲、乙、丙三人均射中}=0.4×0。
5×0。
7=0.14而P(A|B0)=0,P(A|B1)=0。
2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1,故由全概率公式得:
=0。
09×0+0.36×0.2+0。
41×0.6+0。
41×1=0。
458
例6要验收一批(100件)乐器,验收方案如下:
自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接受。
设一件音色不纯的乐器经测试查出音色不纯的概率为0。
95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01,如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的,试问这批乐器被接受的概率是多少?
解:
五、小结:
注意公式的应用
六、练习与巩固
1.课本63页
2.指导书37页1—-10
六、作业
指导书38页10、11、12
2。
2。
3独立重复试验与二项分布
聊城二中魏清泉
学习目标:
1。
理解事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义,并会计算其概率。
2.理解二项分布的意义,并会求出服从二项分布的随机变量的分布列.
学习重点与难点:
1.事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的意义,计算其概率。
2.二项分布的意义,求服从二项分布的随机变量的分布列。
教学过程设计
一、回顾与引入
条件概率、相互独立
二、试验的相互独立性
若在同样条件下,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的。
例在同样条件下,抛掷一均匀硬币n次,易见每次投掷的结果,即不管出现“正面”或“反面",均不会影响其它各次投掷结果,即此为n次重复且相互独立试验.
例从一批灯泡中,任取n只作寿命试验,而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果,故此亦为n次重复且相互独立试验.
三、二项分布
进行一系列试验,如果
1。
在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;
2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;
3。
结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式,在此给出一般性的推导:
已知
是某随机试验中可能出现的事件,且
现在把这个试验独立地重复进行
次,要求事件
恰好发生
次的概率.首先,在
次试验的总结果中,有些试验结果是
,有些试验结果是
,所以总结果是几个
与几个
的一种搭配.要求总结果中事件
恰好发生
次,就是
个
与
个
的一种搭配.而合乎这个要求的搭配,又因
与
出现的先后次序不同而可能有许多种.在
次试验的总结果中,含
个
以及
个
的搭配的种数,相当于从
个号码中任取
个号码的不同取法的种数
种,而所有这些引起的搭配显然都是等可能的,并且均是互斥的.”
如果随机变量
有概率函数
(2。
1)
其中
,
则称
服从参数为
的二项分布.
公式(2.1)称为二项分布公式或贝努里公式。
在这里
的值恰好是二项式
展开式中第
项
的系数。
四、例题讲析
例1(课本例4)
例2 某工厂每天用水量保持正常的概率为
,求最近6天内用水量正常的天数的分布。
解:
设最近6天内用水量保持正常的天数为
。
它服从二项分布,其中
,
,用公式(4.1)计算其概率值,得到:
…
列成分布表如表4-1:
表41
0
1
2
3
4
5
6
0。
0002
0。
0044
0。
0330
0。
1318
0。
2966
0。
3560
0.1780
例3 10部机器各自独立工作,因修理调整等原因,每部机器停车的概率为0。
2。
求同时停车数目
的分布.
解:
服从二项分布,可用贝努里公式计算
。
现将计算结果
列成分布表如表4—2:
表4-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0。
11
0.27
0。
30
0。
20
0.09
0.03
0。
01
0。
00
0.00
0。
00
0.00
例4 一批产品的废品率
,进行20次重复抽样(每次抽一个,观察后放回去再抽下一个),求出现废品的频率为0.l的概率。
解:
令
表示20次重复抽取中废品出现的次数,它服从二项分布。
五、练习与巩固
1.课本67页练习
2.指导书40页1——-9.
六、小结
注意公式性质和应用。
六、作业
课本68页1、2、3、4.
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