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生活中的排列组合
生活中的排列組合
研究目錄
壹.研究動機
貳.研究目的
參.資料分析
一.排列和組合的定義
二.排列和組合的比較
三.排列和組合的實例
四.題目設計
肆.活動設計
一.研究設計-排列組合
二.研究設計-純粹組合
伍.結果
1.感想
陸.參考資料
壹.研究動機
我最喜歡玩撲克牌。
只要一拿到撲克牌,我就會將他們由小排到大,由大排到小。
因為這樣的排列方式可以讓我方便掌握手中的每一張牌。
而且,只要將撲克牌「排列」好,就算是拿到不理想的組合點數,經由巧妙「排列」後,有時候還能反敗為勝呢!
這就是「排列」的奧秘。
而學校生活中的社團也時常見到運用組合的方式,以籃球校隊來說,有時候只要選出少數的幾個人分成兩組,就可以打全場。
這是生活中的「組合」實例。
既然生活中到處都有「排列」與「組合」的例子。
我想利用這次資優班的專題研究,進一步去探究甚麼是「排列」?
甚麼是「組合」?
排列與組合有甚麼不同?
生活上還有哪些例子應用到排列與組合?
貳.研究目的
藉由這次的專題研究,我想深入探討排列與組合內容與規則,比較排列與組合的不同,並嘗試去尋找、設計有關排列與組合的題目,證明生活上的確有排列與組合的例子。
参.文獻探討
一.名詞定義
在介紹排列與組合的定義之前,我們先來探討幾個重要的名詞:
(1)代數m、n:
1.m
2.
n【m<n】
※在26個英文單字中,我選擇m跟n,因為我的參考書籍上也選擇m、n,但其他網頁也有用其他的英文字,所以我認為所有的英文字母都可以用,但是其中一個數小於或等於另一個數。
(2)排列與組合的代詞:
1.排列:
Permutations,簡稱P
2.組合:
Combination,簡稱C
接下來就讓我們一起進入排列與組合的世界吧!
〈1〉排列:
從n件事情中,任選m件事物〈但不可重複〉後,排成一列,就叫做從n中取m的排列,例如:
在日常生活中,把一些事物排在一起,計算有多少種排法,就是「排列」問題。
公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現:
p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-3)、、、(n-m+1)
〈2〉組合:
從n個不同物中,每次取m個不同物為一組,且同一的物件不計前後順序,就叫做n中取m的組合,例如:
在籃球比賽中,把參賽隊分為幾個組,這種分組問題就是「組合」問題,此外,它還有重複組合這種組合方式,公式由法國數學家帕斯卡﹝1623-1662﹞發現:
c(n,m)=p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)
p(m,m)m!
※複雜吧!
在每個()跟()之間,因為為了快速,而略寫了乘號。
而「m!
」代表m階層也就是m(m-1)(m-2)(m-3)……1
2.排列組合的比較
或許你已經看過我之前的排列與組合的定義介紹,但你可能還想不出排列與組合有甚麼不同,所以我就做了下列的表格,希望你能夠更了解它們的不同。
排列
組合
英文名字
Permutations
Combination
可否重複
不可重複
不計較前後順序
發現公式者
法國數學家帕斯卡
法國數學家帕斯卡
有多少種排列或組合的方式
4種,一般排列、不完全相異的排列、重複排列及環狀排列
2種,一般組合和重複組合
三.排列和組合實例
排列.
1.一兔穴有進出口4處,問由不同進出口進出的方法有幾種?
解答:
可將此問題分為進與出2個步驟來完成。
進的方法有4種,對每一種進的方法有3個出口可以出去,故由乘法原理可知,由不同一口出入的方法有4×3=12種。
2.某商店販賣5家廠商出品的牙膏,而每一家廠商出品的牙膏都有3種大小不同的包裝,又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的2種,今某人欲在此商店選購一支牙膏,問方法有幾種?
解答:
可將此問題分為3個步驟來完成。
第一步驟是從5家廠商中選擇一家,共有5種選法。
第二步驟是從3種包裝中選擇一種,共有3種選法。
第三步驟是從有無氟化物中選擇一種,共有2種選法。
故由乘法原理可知選購一支牙膏的方法共有5×3×2=30種。
3.甲、乙二人在排成一列的5個座位中選坐相連的兩個座位,共有多少種坐法?
解答:
可將此問題分為3個步驟來完成。
第一步驟是從5個座位中選出相鄰的2個座位,共有4種選法。
第二步驟是選定2個座位後,由甲先選坐,甲可任選其一,故有2種選法。
第三步驟是甲坐定後,由乙選坐,因甲已坐好,乙毫無選擇,故僅有1種選法。
由乘法原理知完成此件事,總共有4×2×1=8種方法。
4.將ABCD排成一列,試問共有多少排法?
解答:
將四個不同的字母排成一列,共有4×3×2×1=24種排法。
5.有男生5人,女生3人要排成一列,其中女生3人要相鄰並排,請問共有多種排法?
解答:
由於女生要相鄰並排,因此可先將3位女生視為一體,再與5位男生排成一列,因此共有6!
種排法,而在每一種排法中,女生的排法又有3!
種,因此共有6!
×3!
=720×6=4320種排法。
組合.
1.若要從A,B,C,D,E五個人之中不考慮順序選出三個人作為一組,參加三對三籃球賽,將會有多少種選法?
解答:
從此5個人當中選3個人出來排列,若考慮選擇的順序,則共有5×4×3種情形,因題意是不考慮順序所以要再除以3×2×1,就是有10種選法。
即C(5,3)=10
2.從6個男生,5個女生當中選出一個五人的童子軍,但規定男女生至少各有2人,問有多少種選法?
解答:
我們分2種情形來討論:
選出2個女童軍,3個男童軍的方法數為:
C(5,2)×C(6,3)=10×20=200
選出3個女童軍,2個男童軍的方法數為:
C(5,3)×C(6,2)=10×15=150
所以,總共有200+150=350種選法。
3.6種不同的玩具分給甲乙丙三人,如果甲得1種,乙得2種,丙得3種,有幾種分法?
解答:
C(6,3)×C(3,2)=20×3=60
4.從六男五女中任選四人,其中至少二男且至少一女的選法有多少種?
解答:
我們分2種情形來討論:
三男一女C(6,3)×C(5,1)=20×5=100
二男二女C(6,2)×C(5,2)=15×10=150
所以,總共有100+150=250種選法。
5.一列火車有七節車廂,今有二男二女同時上火車,
(1)同性選坐同一車廂的選法有多少種?
(2)此四人剛好選坐兩節車廂且每節車廂恰坐一男一女的選法有多少種?
解答:
(1)C(7,1)×C(7,1)=7×7=49
(2)C(7,2)×C(2,1)×C(2,1)=21×2×2=84
3.我來做一做
生活中有許多排列組合的實例,就讓我來一一介紹我所創作的題目吧!
記得,這是排列組合的混合喔!
1.同花色的13張撲克牌中,若把J,Q,K,A等四張表示的牌稱為大牌,試求自此13張牌中任意抽出3張,其中恰含有二張大牌的組合數?
解答:
先從4張大牌中選出2張,再從不是大牌的9張選出1張,
共有C(4,2)×C(9,1)=54種組合。
2.六年乙班有男生18人,女生15人,學期開始要選班長、副班長,老師說:
「班長、副班長由男女各一人搭配」請問,有幾種搭配方式?
解答:
有兩種情形
(1)班長是男生,副班長是女生。
因此C(18,1)×C(15,1)=18×15=270
(2)班長是女生,副班長是男生
因此C(15,1)×C(18,1)=15×18=270
270+270=540(種)
3.有甲、乙、丙、丁四人去旅行,他們在旅館定了A、B兩種房間,每間住兩人,請問有幾種住法?
解答:
用組合公式:
C(4,2)=6種方式
4.有4份點心,最少只吃一份,請問,有幾種吃法?
解答:
有四種情形
(1)吃一份點心,C(4,1)=4
(2)吃二份點心,C(4,2)=6
(3)吃三份點心,C(4,3)=4
(4)吃四份點心,C(4,4)=14+6+4+1=15種方法
肆.活動設計
排列與組合的運用
活動一
活動名稱:
機器人拼圖
活動主題:
排列與組合
活動說明:
很多人也許不曉得連拼圖也有排列與組合,因為拼圖在排同一種花色時所用的圖片並沒有一定的規則,而且可以重複,就是組合。
活動材料:
大張珍珠板1張、6公分×6公分的厚色紙80張〈十種顏色,黑、淺黃、深藍、棕、深綠、淺綠、鮮黃、紅、紫、橘,每種顏色有8張〉。
活動方法:
1.請同學先想一個題目,我的機器人總共需要43張卡,,可以重複且不計較排在哪裡,可以有幾種排法?
只要寫出公式就有小禮物。
活動二
活動名稱:
地板中的世界
活動主題:
排列
活動說明:
由於我覺得我們校門口前的地板十分單調,希望藉由這個活動來腦力激盪,想像自己心目中的校門口。
並且在遊戲中找出自己排列的規律。
活動材料:
1公尺*2.5公尺的厚紙板5張、50公分*50公分的方形紙〈各種顏色都要有〉。
活動方法:
請同學先想想看總共有10格,而我有12種顏色,如果不能重複,有幾種排法?
那,可以重複呢?
答對就有小禮物,在發揮創意排出想像中的地板,排出來在說出規律就有小禮物。
陸.研究結果
1.感想
對於這次的研究主題,可能因為升上六年級功課太多而一直改來改去,一下要做密碼,一下要做方程式……,正當我猶豫不決時,忽然撇見書上的一行字「排列」「組合」,我想到:
奇怪,「排列」「組合」不是同一樣事情嗎?
為甚麼要分開講呢?
一看之下,產生濃厚的興趣,這就是我研究的動機之一。
而在研究的過程中也遭遇到許多困難,像是,有時資料在蒐集時,為了搞懂,常常花了好久的時間,但卻甚麼都沒做,但幸好有老師、家長、同學的鼎力相助,才能使這個作品得以完成。
這次的研究報告,不僅使我更懂得查資料,還學會活用word,更進一步了解排列與組合,運用在生活中。
而在研究的過程中,我也發現了我的缺點,希望我能夠將他們一一改進,下一次會更好!
柒.參考資料
網頁:
排列與組合
www.edp.ust.hk/math/history/5/5_8/5_8_2.htm
排列與組合
www2.emath.pu.edu.tw/s8605171/數學應用專題/4.htm
排列組合
http:
//eprob.math.nsysu.edu.tw/PerComb.htm
排列組合應用題http:
//www.schoolnet.edu.mo/sltbase/sb11/sb11fb/sb11fb.htm
書:
與愛麗絲同遊奇妙的數學世界作者:
釣浩康譯者:
簡瑞宏出版社:
時報文化出版
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