二次函数压轴题解题思路含答案Word文档下载推荐.docx
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y=-(x+1)(x-3)=-x+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
(3k+b=0
123解得严J
H二3
故直线BC的解析式:
y=-x+3.
已知点M的横坐标为mMN/y,贝UM(m-n+3)、N(m-m+2n+3);
22
•••故MN-m+2m+3-(-m+3)=-m+3m(0<
m<
3).
(3)如图;
■/bn(=S^mn<
+S\mn=mN(OBDB=MNOB
Sabnc=(-m+3n)?
3=-(m-)+(0<
n<
3);
8
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC勺外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC勺面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
转化思想.
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明厶ABC是直角三角形来推导出
直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC勺面积可由Samb=BOh表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M
到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a-x4-2,即:
a=;
抛物线的解析式为:
y=x2-x-2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(-1,0)、C(0,-2);
•••OA=1,OC2,OB=4,
即:
OC=OA?
OB又:
OCLAB
•••△OAC^AOCB得:
/OCA/OBC
•••/ACB/OCA/OCB/OBC/OCB90°
•△ABC为直角三角形,AB%AABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为:
y=x-2;
设直线I//BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,
可列方程:
x+b=x2-x-2,即:
x2-2x-2-b=0,且厶=0;
•4-4X(-2-b)=0,即卩b=-4;
•直线I:
y=x-4.
所以点M即直线I和抛物线的唯一交点,有:
(12_3_n
F■y2fx=2
一,解得:
*c即M(2,-3).
I”y=-3
过M点作MNLx轴于N,
bm=S梯形ocm+S^mnb—Saoc=X2x(2+3)+X2X3_X2X4=4.
(二)周长类
3.如图,Rt△ABO勺两直角边OAOB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,AB两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直
线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到厶DCE点AB、O的对应点分别是DCE,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD已知对称轴上存在一点P使得△PBD勺周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点OB不重合),过点M作//BD交x轴于点N,连接PMPN设OM勺长为t,△PMN勺面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;
压轴题.
(1)根据抛物线y=2J+b計匚经过点B(0,4),以及顶点在直线乂=上,得出b,c
即可;
(2)根据菱形的性质得出CD两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),禾U用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当乂=时,求出y即可;
(4)利用MNBD得出△OMNN△OBD进而得出翌f,得到ON丄十,进而表示出△PMNOB_OD2
的面积,禾U用二次函数最值求出即可.
解答:
•所求函数关系式为■•・.;
33
(2)在RtAABC中,OA=3,OB=4,「.AB=「十[—_匕••四边形ABCD1菱形,•BC=CD=DA=AB=5,
•CD两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=・「■■|,
当x=2时,牡_、、■二-,
•••点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则{囂1解得:
当X=时,y=‘
0乙
(4)•MN/BD
.••理=_0^即丄二得on丄十,
OB_ODr221
设对称轴交x于点F,
则隔曲(PF+OM?
°
=(+t)峠暑,
=f亠(Ovtv4),
a=-v0.抛物线开口向下,S存在最大值.
由&
pm=-冲=-(t「宀:
M的坐标为(。
,…).
•••当t=「时,s取最大值是■■:
'
1,此时,点
6144
y=x+mxnn经过点A(3,0)、B(0,-3),点P是
(三)平行四边形类
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AMBM当线段PM最长时,求△ABM勺面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、MBO为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;
若不存在,请说明理由.
Vi
1
\2
//
/
f
€
二次函数综合题;
解一元二次方程-因式分解法;
待定系数法求一次函数解析式;
待
定系数法求二次函数解析式;
三角形的面积;
平行四边形的判定.
存在型.
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,-3)分别代入y=x2+m)+n
与y=kx+b,得到关于mn的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t-3),贝UM(t,t2-2t-3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标
得到PM的长,即PM(t-3)-(t-2t-3)=-t+3t,然后根据二次函数的最值得到当t=-=时,PM最长为;
一=,再利用三角形的面积公式利用
2X(-1)4X(-1)
&
abi=Sabpi\+&
APM计算即可;
(3)由PM/OB根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、MBO为顶点的四边形
为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=O客3,PM最长时只有,所以不可能;
当P
在第一象限:
PM=O呼3,(t2-2t-3)-(t-3)=3;
当P在第三象限:
PMOB=3,t2-3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
(1)把A(3,0)B(0,-3)代入y=x2+mxnn,得
0=9+3irrFnfm=_22
r解得*,所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3.
-3=n~3
设直线AB的解析式是y=kx+b,
(0=3k+bfk=l
把A(3,0)B(0,-3)代入y=kx+b,得*,解得乂
-3=bb=-3
所以直线AB的解析式是y=x-3;
(2)设点P的坐标是(t,t-3),则M(t,t2-2t-3),因为p在第四象限,
所以PM=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t,
(3)存在,理由如下:
•/PM/OB
•••当PMtOB时,点PM、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
1当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.
2当P在第一象限:
PM=O^3,(t2-2t-3)-(t-3)=3,解得ti=,t2='
(舍
去),所以P点的横坐标是色姮;
3当P在第三象限:
PMtO咅3,t2-3t=3,解得ti=」‘(舍去),t2=二,所以P点
的横坐标是丄;
所以P点的横坐标是上二丄或二'
.
5.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,
0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°
得到△AB'
O.
(1)一抛物线经过点A'
、B'
、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PBAB的面积是厶AB'
O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形?
并写出四边形PBAB的两条性质.
二次函数综合题.•
(1)利用旋转的性质得出A(-1,0),B'
(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)利用S四边形pb,ab=Ssoa+S^pb,c+S"
ob再假设四边形PB'
AB的面积是厶AB'
O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;
(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PBAB为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.
(1)△AB'
O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°
得到的,
又A(0,1),B(2,0),0(0,0),
•••A'
(-1,0),B(0,2).
方法一:
设抛物线的解析式为:
y=ax+bx+c(az0),
•••抛物线经过点A'
、B,
2二-1
“b=l,•满足条件的抛物线的解析式为
c-2
方法二:
(-1,0),B'
(0,2),B(2,0),
y=a(x+1)(x-2)
将B'
(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0-2),
解得:
a=-1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2;
(2)TP为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>
0,y>
0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PBPOPB'
S四边形PB'
A'
B=S^B'
oa+S^PB‘o+Sapog
=X1X2+X2xx+X2xy,
=x+(-x+x+2)+1,=-x2+2x+3.
•/AO=1,B'
0=2,•••△ABO面积为:
X1X2=1,
假设四边形PBAB的面积是厶AB0面积的4倍,贝U
4=-x+2x+3,
即x2-2x+1=0,
X1=X2=1,
此时y=-12+1+2=2,即P(1,2).
4倍.
2个均可.
(10分)
AB;
④BA=PB.-
•存在点P(1,2),使四边形PBAB的面积是厶AB0面积的
(3)四边形PBAB为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;
④等腰梯形两腰相等.
或用符号表示:
①/BAB=ZPBA或/AB'
P=ZBPB;
②PA二B'
B;
③B'
P//
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点CD(C点在D点的左侧),试判断厶ABD勺形状;
(3)在直线I上是否存在一点P,使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
分类讨论.
(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线I的
解析式中即可求出点A的坐标.
(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标•则ABADBD三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.
(3)若以点P、AB、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论,即①A也PB②A』=PD然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标.
—2
(1)•••顶点A的横坐标为x=-=1,且顶点A在y=x-5上,
•••当x=1时,y=1-5=-4,
二A(1,-4).
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,-4)代入y=x-2x+c,可得,1-2+c=-4,「.c=-3,
•y=x-2x-3,「.B(0,-3)
当y=0时,x-2x-3=0,xi=-1,X2=3
•••C(-1,0),D(3,0),
bD=OB+OD=18,aB=(4-3)2+12=2,AD=(3-1)2+42=20,
bD+aB=aD,
•••/ABD90。
,即厶ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x-5交y轴于点E(0,-5),交x轴于点F(5,0)
•••0E=0F=5,
又•••0B=0D=3
oe^a0BD都是等腰直角三角形
•••BD//I,即PA//BD
则构成平行四边形只能是PADB^PABD如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P(X1,X1-5),则G(1,X1-5)
则P(=|1-X1|,AG|5-X1-4|=|1-X1|
PAfBD=3匚
由勾股定理得:
222
(1-X1)+(1-X1)=18,X1-2X1-8=0,X1=-2或4
•P(-2,-7)或P(4,-1),
存在点P(-2,-7)或P(4,-1)使以点A、BDP为顶点的四边形是平行四边形.
7•如图,点A在x轴上,0A4,将线段0A绕点0顺时针旋转120°
至0B的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、OB的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、OB为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;
二次函数综合题..
(1)首先根据OA勺旋转条件确定B点位置,然后过B做x轴的垂线,通过构建直角三角形和OB的长(即OA长)确定B点的坐标.
(2)已知QA、B三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
(3)根据
(2)的抛物线解析式,可得到抛物线的对称轴,然后先设出P点的坐标,而Q
B坐标已知,可先表示出△QPBE边的边长表达式,然后分①Qf=QB②QP=BP③Q酔BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的P点.
解:
(1)如图,过B点作Bdx轴,垂足为C,则/BCQ90。
,
•••/AOB120°
.・./BOC60。
又•••OAOB=4,.・.O(=OB=x4=2,BOORsin60°
=4X丄=2二,2
•••点B的坐标为(-2,-2二);
(2)•••抛物线过原点O和点AB,.••可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(-2.-2血)代入,得
16a+4b=0I6
y=
口门L,解得彳C厂,二此抛物线的解析式为
4a-2b=-2^3匚2V3
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP
则22+|y|2=42,解得y=±
2二,
当y=2£
j时,在RtAPOD中,ZPDO90°
sin/P0證丄OP2
•••ZPOD60°
•••ZPOBZPODZAOB60°
+120°
=180°
即P、OB三点在同一直线上,
•y=2二不符合题意,舍去,
•••点P的坐标为(2,-27)
2若OB=PB则42+|y+S|2=42,解得y=-2"
"
;
故点P的坐标为(2,-27),
3若OP=BR贝U22+|y|2=42+|y+27|2,
解得y=-2二,
故点P的坐标为(2,-2二),
综上所述,符合条件的点
在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax-2经过点B.
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使厶ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三
角形?
若存在,求所有点P的坐标;
(1)根据题意,过点B作BDLx轴,垂足为D;
根据角的互余的关系,易得B到x、y轴的距离,即B的坐标;
(2)根据抛物线过B点的坐标,可得a的值,进而可得其解析式;
(3)首先假设存在,分A、C是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案.解答:
(1)过点B作BDLx轴,垂足为D,
•••/BCD/ACO90。
,/ACO/CAO90。
:
丄BCD/CAO(1分)
又•••/BDC/COA90°
CBAC
•••△BCD^ACAO(2分)
•••BD=O(=1,CD=OA=2,(3分)
•••点B的坐标为(-3,1);
(4分)
(2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1),
则得到仁9a-3a-2,(5分)
解得a=,
所以抛物线的解析式为y=x+x-2;
(7分)
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形:
1若以点C为直角顶点;
则延长BC至点P,使得PC=BC得到等腰直角三角形△ACP,(8分)
过点P作RMhx轴,
•••CP=BC,/MCF=/BCD/PMC/BD(=90°
•••△MFC^ADBC(10分)
•••CM=CD=2,PM=BD=1,可求得点P(1,~1);
(11分)
2若以点A为直角顶点;
则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形△ACP,(12分)
过点F2作P2N丄y轴,同理可证△APN^ACAO(13分)
•NP=OA=2,ANhO(=1,可求得点F2(2,1),(14分)
经检验,点P(1,-1)与点F2(2,1)都在抛物线y=x2+x-2上.(16分)
\
■)
9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且
点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2-ax-2经过点B.
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使厶ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
V
W.
cctoyx
代数几何综合题;
(1)首先过点B作BDLx轴,垂足为D,易证得△BDdACOA即可得BD=O(=1,C!
=OA=2,
则可求得点B的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(3)分别从①以AC为直角边,点C为直角顶点,则延长BC至点P使得RC=BC得到等腰直角三角形ACP,过点P作PMILx轴,②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形ACP,过点F2作P2N丄y轴,③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP丄CA且使得AP=AC得到等腰直角三角形ACP,过点R作PsH±
y轴,去分析则可求得答案.
,/AO+ZOAC9
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