三角恒等变换-最全的总结-学生版.doc
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三角恒等变换---完整版
三角函数------三角恒等变换公式:
两角和与差的三角函数关系
sin()=sin·coscos·sin
cos()=cos·cossin·sin
倍角公式
sin2=2sin·cos
cos2=cos2-sin2
=2cos2-1=1-2sin2
平方关系
sin2+cos2=1,
半角公式
,
=
商数关系
=tan
升幂公式
1+cos=1-cos=1±sin=()2
1=sin2+cos2sin=
降幂公式
sin2cos2sin2+cos2=1sin·cos=
考点分析:
(1)基本识别公式,能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”
(2)二倍角公式的灵活应用,特别是降幂、和升幂公式的应用。
(3)结合同角三角函数,化为二次函数求最值(4)角的整体代换(5)弦切互化(6)知一求二(7)辅助角公式逆向应用
(1)熟悉公式特征:
能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等,余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”快速进行逻辑判断。
注意构造两角和差因子
1、(二倍角公式)(2007重庆文)下列各式中,值为的是()
A. B.C. D.
2、(二倍角公式+平方差公式)(2008六校联考)的值是
A. B. C. D.
3、(两角和差公式+诱导公式)(2009四校联考)等于
A.- B. C.- D.
4.(两角和差公式)下列各式中值为的是().
A. sin45°cos15°+cos45°sin15° B. sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C. cos75°cos30°+sin75°sin30° D.
5、(拆角+两角和差公式)(佛山一中2014届高三10月段考数学(理)试题)化简三角式()
A. B.1 C.2 D.
6、(补全公式)(2013六校联考回归课本题)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=()
A. B. C. D.常见变式:
计算sin10°sin30°sin50°sin70°的=__.
7、(构造两角和差因子+两式平方后相加)若sinα-sinβ=,cosα-cosβ=,则cos(α-β)的值为()A.B.C.D.1
8.(诱导公式)【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°+sin253°sin313°等于B
A.-B.C.-D.
9、(构造两角和差因子+两边平方)【2015高考四川,理12】..
10、(逆向套用公式)tan23°+tan37°+tan23°tan37°的值是________.
11.(特殊值化特殊角处理)化简的值为________
12.(特殊值化特殊角处理)=_______
13、(tan45°=tan(20°+25°)+多项式展开)若α=20°,β=25°,则(1+tanα)(1+tanβ)的值为_______
14、(合理组合,多项式乘法展开)(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值为_______
15、(逆向套用公式)tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=____.
答案:
BDBCBCAB9、10、11、-12、-13、214、315、1
(2)角的整体变换题:
主要方法是拿题目给出的整体角加一加,或者减一减,观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等,从而运用诱导公式、和差公式化简求值。
例如:
,,
1、(角的整体相减)(2011汕头期末)已知等于()
A. B. C. D.
2、(两角互补).【山西大学附中2014-2015年高三月考】若,则的值为()
A.B.C.D.
3.(诱导公式)【湛江一中14年期末考试】如果,那么的值为().
4.(两角相减)【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知,则()
A.B.C.D.
5、(两角相加).【2013-2014学年陕西省咸阳市高一(下)期末数学试卷】若,,则=( )
A.
B.
C.
[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
D.
6.(特殊角三角函数值)【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考,理14】已知,,则..
7、(两角整体相减)【江苏省泰兴市2015届高三(上)期中,理2】若,则.
8、(互余两角正余弦互换)【四川雅安中学2014-2015学年上期9月试题,理11】若_______.
9、(互补两角余弦互为相反数),则___________
10.(两角整体相减)若,则.
11、(两角整体相减)【2015重庆高一期末】若且,则;
12.(两角整体相减)【2015江苏高考,8】已知,,则的值为______
13、(两角整体相减)(中山市2014届高三上学期期末考试)已知,,则
14、(两角相减)【2015湖南浏阳高一期末】已知,则β=。
答案:
BDACB6、7、8、9、-10、11、12、313、14、
(3)弦切互化:
1)、分子分母同时除以cos2)注意分母还原sin2+cos2=1,然后分子分母同时除以cos2,即可化为正切3)注意期间学会使用解方程的思想4)遇到部分Asinα+Bcosα之类求正切的,注意先两边平方后再进行相切互化
1.(诱导公式+同时除以cos)(2007韶关一模文)已知,
(A)2 (B)-2 (C)0 (D)
2、(同角三角函数弦化切)(2013肇庆统考)已知α为锐角,sinα=,则tan(α-)等于
A、 B、7 C、- D、-7
3、(简单弦化切)(2011福建文3)若tan=3,则的值等于
A.2 B.3 C.4 D.6
4.(分子分母同时除以cos)(2012高考江西文4)若,则tan2α=
A.-B.C.-D.
5、(分母还原1+同时除以cos2)(2009辽宁卷文)已知,则
(A) (B) (C) (D)
6.(分母还原1+同时除以cos2)【淄博实验中学2015届高三,理5】已知,则的值是()
A.B.C.D.
7.(移项后两边平方在弦切互化)(唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知,则()
A.B.C.或0D.或0
8、(两边平方在弦切互化)【成都七中2015届数学阶段性测试,理8】已知,则()
A.B.C.D.
9、(解方程组+同角三角函数的快速弦切互化)【2015安徽滁州高一期末】已知=()
A.1 B.2 C.-2 D.
10、(两边平方在弦切互化)(洛阳市2014届高三12月统考)已知2sinα+cosα=,则tan2α= A
A.B.C.-D.-
11、(两边平方在弦切互化)(省实验中学2014届高三上学期期中考试)已知,则等于()
A. B. C. D.1
12、(解方程组再弦切互化)【2015福建晋江高一期末】若,则为
A、5B、-1C、6D、
13、(分母还原1+同时除以cos2)已知,则的值为
14、(二倍角+分母还原1+同时除以cos2)若,是第三象限的角,则=_________.
答案:
BCDBDADBCACA13、14、-2
(4):
结合完全平方公式和平方差公式的作用。
最经典的莫过于,,三者知一求二:
在不同的范围三角函数值大小的比较(如下图),往往用于更加精确象限,常见于“知一求二”的符号问题。
本类题型要三个常见处理思想,1)是两边平方。
2)是是根据上图进行逻辑判断。
3)对于两大公式和的顺向和逆向快速转换,要形成解题敏感点。
1.(两边平方)【2012高考辽宁文6】已知,(0,π),则=
(A)1(B)(C)(D)1
2.(两边平方+象限定号)(2012全国卷)已知α为第二象限角,,则cos2α=
(A)(B)(C)(D)
3、(公式的快速展开+两边平方)(开滦二中2014届高三12月月考,文)已知,则的值为()
A.- B. C. D.
4、(公式的快速展开)(2013年高考课标Ⅱ卷(文6))已知,则
(A)(B)(C)(D)
5.(公式的快速展开+两边平方)(2011辽宁文7)设sin,则
(A) (B) (C) (D)
6、(公式的快速展开+二倍角展开平方差因子)(2013六校联考)已知等于()
A. B. C. D.
7、(公式的快速展开+二倍角展开平方差因子)(2007海南宁夏理)若,则的值为( )
A. B. C. D.
8、(两边平方)【河南省名校2015届高三上学期期中数学,理3】已知sin2α=-,α∈(-,0),则sinα+cosα=()
A.-B.C.-D.
9.(两边平方)【江西省六校2015届高三上学期第一次联考,理5】已知=,则sin2θ的值为()
A.B.C.D.
10.(两边平方+象限定号)【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考,理6】已知为第二象限角,,则()
A. B.C.D.
11、(公式的快速展开+二倍角展开平方差因子)【2015广东汕头高一期末】若,且,则的值为()
A.1或B.1C.D.
12、(两边平方+象限定号)(衡水中学2014届高三二调考试,文)已知,且则的值为 () A. B. C. D.
13、(公式的快速展开+两边平方)【河北省唐山市2014-2015学年度高三年级摸底考试5】已知,则sin2x的值为
A.B. C.D.
14、(公式的快速展开+两边平方)【南昌二中2014—2015学年度上学期第三次考试,理3】已知,则()
A. B. C. D.
15、(两边平方+韦达变换)(惠州市2016届高三第三次调研)已知,则的值为()
(A)(B)(C)(D)
16.(象限定号)【2015浙江温州高一期中】设,且,则()
A.B.C.D.
17.(公式的快速展开+二倍角展开平方差因子)【2015山东泰安高一期末】若,则,则的值为()
A. B. C. D.
18、(两边平方)(2013云浮一中期末)已知,则_________
19.(公式的快速展开+二倍角展开平方差因子)(华师附中2015届高三第一次模拟考试数学理14)若,且,则的值为
答案:
AABAACCBBCACACBCD18、19.、1或
(5)两角和差公式,降幂公式,升幂公式的运用,主要涉及两大方向的运用。
1)是碰到有平方出现的条件,根据题目的倍角关系,要有降幂的意识。
2)同时出现正余弦,要根据同角三角函数的关系,要有化二元为一元转化为二次函数的思想。
1.【2012高考全国文4】已知为第二象限角,,则
(A)(B)(C)(D)
2.(2013年高考大纲卷(文2))已知是第二象限角,
A. B. C. D.
3.(2008广州一模文)已知,则的值为()
A.B.C.D.
4、(2013六校协作题)若,则的值为()
A. B.C.-D.-
5、【皖南八校2015届高三第一次联考,理6】函数的最小值与最大值的和等于()
A.-2B.0C.D.
6【浙江省嘉兴市2015届高三9月学科基础测试,理6】已知函数则函数的最大值是()
A.4B.3C.5D.
7、(河南省郑州一中2014届高三上学期期中考试)已知,则
8.【2015高考浙江,理11】函数的最小正周期是,单调递减区间是.
9.【浙江省温州市十校联合体2015届高三上学期期中联考,理14】已知,则
10.【江西省南昌市三校2015届高三10月联考,理11】若α的终边不与坐标轴重合,且tanα≠±1,则=____.
11.(利用三角函数有界性求最值)【2015湖北广水高一期末】函数的最大值为________.
答案:
BABCCB7、8、9、10、—2_11、3
11
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- 三角 恒等 变换 总结 学生