初中数学经典相似三角形练习题附参考答案Word文档格式.docx
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(3)求厶BEA勺面积之比.
于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.
12.已知:
P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:
△ADMs^MCP.
(1)求梯形ABCD的面积S;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B?
A?
D?
C方向,向点C运动;
动点Q从点C出发,以1cm/s
的速度,沿C?
A方向,向点A运动,过点
Q作QE丄BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到
达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为
t秒.问:
①当点P在B?
A上运动时,是否存在这样的
t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?
若存在,请求出t
的值;
若不存在,请说明理由;
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以
P、A、D为顶点的三角形与△
相CQE若存在,请求出所有
符合条件的t的值;
③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以
P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?
若存在,请求出所有符合条件的
14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出
发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,
Q自点B出发以2cm/s的速度沿
BC方向运动,问经过几秒,
相DC
15.如图,在△
ABCAB=10cm,BC=20cm
,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,
点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果
P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,
16.如图,/ACB=/ADC=90AC=.\AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.
使得△CDlMT^MAN相似?
若能,请给出证明,若不能,请说明理由.
18.如图在厶ABC/C=90°
BQ=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,
点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,
以点C、P、Q为顶点的三角形与△
相似A
19•如图所示,梯形
ABCD中,AD//BC,/A=90AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位
置,使得以P,A,
D为顶点的三角形与以
P,B,C为顶点的三角形相似.
20.△AB(和△DE是两个等腰直角三角形,/
A=/D=90。
的顶点DEF于边BC的中点上.
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:
△BEMs^CNE;
(2)如图2,将△DE绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除
(1)
中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△相ABC
22
O点)20米的A点,沿0A所
•如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(
在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?
变长或变短了多少米?
23•阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达)他们带了以下测量工具:
皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.
(1)所需的测量工具是:
(2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.
24•问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.
面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:
如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm•
乙组:
如图2,测得学校旗杆的影长为900cm•
200cm
影长为
丙组:
如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为
156cm.任务要求:
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)
(友
如图3,设太阳光线NH与OO相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.
情提示:
如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;
需要时可采用等式1562+2082=2602)
25•阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离
EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.
26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高0P=0'
P'
两灯柱之间的距离00'
=m.
(1)若李华距灯柱0P的水平距离0A=a,求他影子AC的长;
(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;
(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以vi匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度
V2.
27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用Si,S2,S3表示,则不难
证明Si=S2+S3.
Si,S2,S3表示,那么
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用
Si,S2,S3之间有什么关系;
(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用Si、S2、S3表示,请
你确定Si,S2,S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用Si,S2,S3表示,为使Si,
S2,S3之间仍具有与
(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;
(4)类比
(1),
(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
28.已知:
如图,△
ABCAADE5,,AC=9,BD=5.求AE.
3
(-
D
29.已知:
如图Rt△ABCsRt△BDC,B=3,AC=4.
(1)求BD、CD的长;
(2)过B作BE丄DC于E,求BE的长.
30.
(1)已知'
且3x+4z-2y=40,求x,y,z的值;
235
求它们的周长.
(2)已知:
两相似三角形对应高的比为3:
10,且这两个三角形的周长差为560cm
参考答案与试题解析
.解答题(共30小题)
1.如图,在△A中QDE//BC,EF//AB,求证:
考点:
相似三角形的判定;
平行线的性质。
专题:
证明题。
ADEs/
分析:
根据平行线的性质可知/AED=/C,/A=/FEC,根据相似三角形的判定定理可知△
解答:
证明:
TDE//BC,
•••DE//FC,
•••/AED=/C.
又•••EF//AB,
•EF//AD,
•••/A=/FEC.
•△ADEEFC.
点评:
本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.
2.如图,梯形ABCD中,AB//CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
△CDFs\bgf;
三角形中位线定理;
梯形。
几何综合题。
分析:
(1)利用平行线的性质可证明△
CDFBGF.
(2)根据点F是BC的中点这一已知条件,可得△
CDF^△C
■BGF
G,只要求出
BG的长即可
解题.
(1)证明:
•••梯形ABCD,AB//CD,
•••/CDF=/FGB,/DCF=/GB3分)
•••△CDFBGF分)
(2)解:
由
(1)△CDFBGF,又F是BC的中点,BF=FC,
•••△CDF◎△BGF,
•DF=GF,CD=BG,(6分)
•/AB//DC/EfF,为BC中点,
•E为AD中点,
•丘是厶DAG勺中位线,
•2EF=AG=AB+BG.
•BG=2EF-AB=2X46=2,
•CD=BG=2cm.(8分)
本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质,全等三角形的判定及线段的等量代换,比较复杂.
3.如图,点D,E在BC上,且FD//AB,FE//AC.求证:
△ABCFDE.
相似三角形的判定。
由FD//AB,FE//AC,可知/B=ZzFE3=ZFED根据三角形相似的判定定理可知:
△ABCFD
TFD//AB,FE//AC,
•••/B=/FDE,/C=/FED,
•••△ABCFDE.
本题很简单,考查的是相似三角形的判定定理:
(1)如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三
角形相似;
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
4
ABFEAD.
.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF丄AEF,试说明:
△
矩形的性质。
根据两角对应相等的两个三角形相似可解.
证明:
•••矩形ABCD中,AB//CD,/D=90(2分)
•••/BAF=/AED4分)
•/BF丄AE,
•••/AFB=90°
.
:
丄AFB=/D5分)
•△ABFEAD分)
考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.
5.已知:
如图①所示,在△和念BCDI中,AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,且点3,A,D在一条直
线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请
直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立;
PBDAMN.
E图②
考点:
专题:
解答:
全等三角形的判定;
等腰三角形的判定;
旋转的性质。
(1)因为/BAC=/DAE,所以/BAE=/CAD,又因为C,AD=AE,利用SAS可证出
△BAE◎△CAD知BE、CD是对应边,根据全等三角形对应边上的中线相等,可证△是等腰三AMN
角形.
(2)利用
(1)中的证明方法仍然可以得出
(1)中的结论,思路不变.
(3)先证出△ABM^AASAS),可得出/CAN=/BAM,所以/BAC=/MAN(等角加等角和相
等),又I/BAC=/DA所以/MAN=ZDAE=/BAC,所以△AIMNADE^n^AB(都是顶角相等的
等腰三角形,所以/PBD=/AMN,所以△PBDAMN(两个角对应相等,两三角形相似)
①I/BAC=/DAE,A/BAE=/CAD,
•/AB=AC,AD=AE,
•••△ABE◎△ACD,
•••BE=CD.
2由△ABE◎△ACD,得
/ABE=/ACD,BE=CD,
•/MN分别是BE,CD的中点,
•BM=CN.
又•••AB=AC,
•••△ABM^AACN.
•••AM=AN,即△AMN为等腰三角形.
(2)解:
(1)中的两个结论仍然成立.
(3)证明:
在图②中正确画出线段PD,
由
(1)同理可证厶ABM^AACN,
•••/CAN=/BAM^ZBAC=/MAN.
又•••/BAC=ZDAE,
•ZMAN=ZDAE=ZBAC.
•△AMN,AADEAAB都是顶角相等的等腰三角形.
•△PB和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,
•ZPBD=ZAMN,ZPDB=ZANM,
•••△PBDAMN.
本题利用了全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形一个顶角相等,则底角相等的性质,还有相似
三角形的判定(两个角对应相等的两个三角形相似)
6.如图,E是?
出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.
平行四边形的性质。
开放型。
根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:
△AEFBEC;
△AEFDCF;
△BECDCF.
解:
相似三角形有△AEFBEC;
△AEFDCF;
△3BEC“ADCF.
如口:
△AEFBEC.
在?
ABCD中,AD//BC,
•••/1=/B,/2=④分)
•••△AEFBEC分)
考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理.
7.如图,在4X3的正方形方格中,△和\BCDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
/ABC=135°
°
BC=_■■:
_;
正方形的性质。
证明题;
网格型。
(1)观察可得:
BF=FC=2,故/FBC=45°
;
则/ABC=1BC=°
^4=2丘;
DEC.
(2)观察可得:
BC、EC的长为2辺、西,可得塑兰,再根据其夹角相等;
故厶ABCs
CELE
解:
(1)ZABC=135°
BC=2近;
(2)相似;
•••bc#/+2®
近,ec=运石=近;
•怔2L既厶叵L
又/ABC=/CED=135°
•△ABCDEC.
解答本题要充分利用正方形的特殊性质•注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、
正方形中的三角形的三边关系,可有助于提高解题速度和准确率.
8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s
的速度向B点匀速运动;
(1)经过多少时间,△AMIN积等于矩形ABCD面积的「?
若不存在,请说
一元二次方程的应用;
分式方程的应用;
动点型。
(1)关于动点问题,可设时间为X,根据速度表示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方
程求解即可,如本题中利用,△的面AM等于矩形ABCD面积的一作为相等关系;
g
(2)先假设相似,利用相似中的比例线段列出方程,有解的且符合题意的t值即可说明存在,反之
则不存在.
(1)设经过x秒后,△AM的面积等于矩形ABCD面积的_,
9
则有:
二(6-2x)x=-X3X6,即2-3x+2=0,(2分)
28
解方程,得xi=1,X2=2,(3分)
经检验,可知xi=1,X2=2符合题意,
所以经过1秒或2秒后,△AM的面积等于矩形ABCD面积的丄.(4分)
相似D
(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△
由矩形ABCD,可得/CDA=/MAN=90°
因此有
仙DC或汕川ANDAANDC
(5分)
一—亠①,或'
&
-2t&
&
-2t3
点评:
解①,得
经检验,
所以动点
分)
t=£
解②,得t=¥
(7分)
25
2
t==或t=
12
二都符合题意,
M,N同时出发后,经过二秒或
秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△
相似D(8
主要考查了相似三角形的判定,正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程.
要掌握正方形
x,根据速度表示出
和相似三角形的性质,才会灵活的运用.注意:
一般关于动点问题,可设时间为所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可.
9.如图,在梯形ABCD中,若AB//DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形
的概率是多少;
概率公式。
(1)采用列举法,列举出所有可能出现的情况,再找出相似三角形即可求得;
①与③,②与④相似;
(2)禾9用相似三角形的判定定理即可证得.
(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:
①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)
其中有两组(①③,②④)是相似的.
•••选取到的二个三角形是相似三角形的概率是卩=丄(4分)
(2)选择①、③证明.
在厶AOBfACODK
•/AB//CD,
•••/CDB=/DBA,/DCA=/CAB,
•△AOBs^COD分)
选择②、④证明.
•••四边形ABCD是等腰梯形,
•••在厶dAb^CB中有
AD=BC,/DAB=/CABAB=AB,
•△DAB◎△CBA分)
•••/ADO=/BCO.
又/DOA=/COB,
•△DOAs^CO8B分).
此题考查概率的求法:
如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m
种结果,那么事件A的概率P(A)=空,即相似三角形的证明•还考查了相似三角形的判定.
10.附加题:
如图厶中BCD为AC上一点,CD=2DA,/BAC=45°
C于1EB连接
AE.
(3)求厶B^ABEA勺面积之比.
三角形的面积;
含30度角的直角三角形。
综合题。
(1)根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半,可知CD=2ED,则可写出相等的线段;
(2)两角对应相等的两个三角形相似则可判断△
ADEAEC;
(3)要求△BE的面积之比,从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边,若求得高之比
可知面积之比,由此需作△的边BEAE边上的高即可求解.
(1)AD=DE,AE=CE.
•/CE丄BD,/BDC=60°
•••在Rt△CEI中,/ECD=30°
•••CD=2ED.
•/CD=2DA,
•AD=DE,
•••/DAE=/DEA=30°
=/ECD.
•AE=CE.
(2)图中有三角形相似,△ADEAEC;
•//CAE=/CAE,/ADE=/AEC,
•△ADEAEC;
(3)作AF丄BD的延长线于F,
设AD=DE=x,在Rt△CE中,
可得CE=
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