第四章高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题文档格式.docx
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解
(1)因为f(x)=sin2x-(1+cos2x)+
=5=5sin,
所以函数的最小正周期T==π.
(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
题型二 解三角形
例2△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.
(1)求角A和边长c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解
(1)∵sinA+cosA=0,
∴tanA=-,
又0<
A<
π,∴A=,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
即28=4+c2-2×
2c×
,
即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4.
(2)∵c2=a2+b2-2abcosC,
∴16=28+4-2×
2×
cosC,
∴cosC=,∴CD===,∴CD=BC,
∴S△ABC=AB·
AC·
sin∠BAC=×
4×
=2,
∴S△ABD=S△ABC=.
思维升华根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;
在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.
跟踪训练2(2017·
北京)在△ABC中,∠A=60°
,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解
(1)在△ABC中,因为∠A=60°
,c=a,
所以由正弦定理得sinC==×
=.
(2)因为a=7,所以c=×
7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
72=b2+32-2b×
3×
解得b=8或b=-5(舍去).
所以△ABC的面积S=bcsinA=×
8×
=6.
题型三 三角函数和解三角形的综合应用
例3(2018·
南通考试)如图,某机械厂欲从AB=2米,AD=2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件,裁剪要求如下:
点E,F分别在边BC,AD上,且EB=EF,AF<
BE.设∠BEF=θ,四边形ABEF的面积为f(θ)(单位:
平方米).
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式,求出定义域;
(2)当BE,AF的长为何值时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,并求出最小值.
解
(1)过点F作FM⊥BE,垂足为M.
在Rt△FME中,MF=2,∠EMF=,∠FEM=θ,
所以EF=,ME=,
故AF=BM=EF-EM=-,
所以f(θ)=(AF+BE)×
AB
=×
×
2=-,
由题意可知,AF<
BE,所以θ<
且当点E重合于点C时,EF=EB=2,FM=2,θ=,
所以函数f(θ)=-的定义域为.
(2)由
(1)可知,
f(θ)=-=-
=2-
=3tan+≥2=2,
当且仅当3tan=时,等号成立,
又θ∈,∈,
故当tan=,即=,θ=时,四边形ABEF的面积最小,
此时BE==,AF=-=,f(θ)=-=2.
答 当BE,AF的长度分别为米,米时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,最小值为2平方米.
思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化,结合三角函数的性质,要注意角的范围对变形过程的影响.
跟踪训练3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinB-bcosC=ccosB.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若f(x)=cos2x-cosx+,求f(A)的取值范围.
解
(1)因为asinB-bcosC=ccosB,
由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB.
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB,
所以sin(C+B)=sinAsinB.
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sinA=sinAsinB,
又sinA≠0,所以sinB=1,B=,
所以△ABC为直角三角形.
(2)因为f(x)=cos2x-cosx+
=cos2x-cosx=2-,
所以f(A)=2-,
因为△ABC是直角三角形,
所以0<
,且0<
cosA<
1,
所以当cosA=时,f(A)有最小值-.
所以f(A)的取值范围是.
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)在区间上的最值,并求出相应的x值.
解
(1)由题干图象可知|A|=2,
又A>
0,故A=2.
周期T=×
=π,
又T==π,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ),
由题干图象知f=2sin=2,
∴+φ=+2kπ,k∈Z,φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<
,∴φ=-,故f(x)=2sin.
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴sin∈,2sin∈[-1,2].
当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值,
f(x)max=f=2.
当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(0)=-1.
2.(2018·
天津联考)设函数f(x)=2tan·
cos2-2cos2+1.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期.
(2)求f(x)在[-π,0]上的最值.
解
(1)f(x)=2sincos-cos
=sin-cos=sin-cos+sin
=sin.
由≠+kπ(k∈Z),
得f(x)的定义域为{x|x≠2π+4kπ(k∈Z)},
故f(x)的最小正周期为T==4π.
(2)∵-π≤x≤0,∴-≤-≤-.
∴当-∈,
即x∈时,f(x)单调递减,
当-∈,
即x∈时,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f=-,
又f(0)=-,f(-π)=-,
∴f(x)max=f(0)=-.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)<
3,求x的取值范围.
解
(1)由题意得A=6,=-=,∴T=π,
∴=π,∴ω=2.∴f(x)=6sin(2x+φ),
又f(x)过点,∴6sin=6,
∴2×
+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.
,∴φ=-,∴f(x)=6sin.
(2)6sin<
3,即sin<
在区间中,要使sin<
则-<
2x-<
所以-+2kπ<
+2kπ,k∈Z,
解得kπ-<
x<
kπ+,k∈Z.
所以x的取值范围为.
4.已知点P(,1),Q(cosx,sinx),O为坐标原点,函数f(x)=·
.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值.
解
(1)由已知,得=(,1),=(-cosx,1-sinx),
所以f(x)=·
=3-cosx+1-sinx
=4-2sin,
所以函数f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为f(A)=4,所以sin=0,
π,所以<
A+<
,A=.
因为BC=3,
所以由正弦定理,得AC=2sinB,AB=2sinC,
所以△ABC的周长为3+2sinB+2sinC
=3+2sinB+2sin
=3+2sin.
因为0<
B<
,所以<
B+<
所以当B+=,即B=时,
△ABC的周长取得最大值,最大值为3+2.
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acosC+asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD为BC边上的中线,cosB=,AD=,求△ABC的面积.
解
(1)acosC+asinC-b-c=0,
由正弦定理得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC,
即sinAcosC+sinAsinC=sin(A+C)+sinC,
亦即sinAcosC+sinAsinC
=sinAcosC+cosAsinC+sinC,
则sinAsinC-cosAsinC=sinC.
又sinC≠0,所以sinA-cosA=1,所以sin(A-30°
)=.
在△ABC中,0°
<
180°
,则-30°
A-30°
150°
所以A-30°
=30°
,得A=60°
(2)在△ABC中,因为cosB=,所以sinB=.
所以sinC=sin(A+B)=×
+×
由正弦定理,得==.
设a=7x,c=5x(x>
0),
则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·
BDcosB,
即=25x2+×
49x2-2×
5x×
7x×
解得x=1(负值舍去),所以a=7,c=5,
故S△ABC=acsinB=10.
6.已知函数f(x)=cos2ωx+sin2ωx+t(ω>
0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为,图象过点(0,0).
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,求实数k的取值范围.
解
(1)f(x)=cos2ωx+sin2ωx+t
=2sin+t,
f(x)的最小正周期为=,∴ω=2,
∵f(x)的图象过点(0,0),∴2sin+t=0,
∴t=-1,即f(x)=2sin-1.
令2kπ-≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
求得-≤x≤+,k∈Z,
故f(x)的单调增区间为,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得
y=2sin-1=2sin-1的图象,
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin-1的图象.
∵x∈,∴2x-∈,
∴sin∈,
故g(x)=2sin-1在区间上的值域为.
若函数F(x)=g(x)+k在区间上有且只有一个零点,
由题意可知,函数g(x)=2sin-1的图象和直线y=-k有且只有一个交点,
根据图象(图略)可知,k=-1或1-<
k≤+1.
故实数k的取值范围是{-1}∪(1-,+1].
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- 第四章 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题 第四 高考 专题 突破 中的 三角函数 三角形 问题