高中数学专题12导数的计算试题新人教A版选修.docx
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高中数学专题12导数的计算试题新人教A版选修
2019-2020年高中数学专题1.2导数的计算试题新人教A版选修
1.几个常用函数的导数
几个常用函数的导数如下表:
函数
导数
(为常数)
2.基本初等函数的导数公式
(1)若,则;
(2)若,则;
(3)若,则;
(4)若,则;
(5)若,则
;
(6)若,则;
(7)若,则
;
(8)若,则.
3.导数运算法则
(1)
;
(2)
;
(3)
.
4.复合函数的导数
(1)复合函数的定义
一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数(positefunction),记作.
(2)复合函数的求导法则
复合函数的导数和函数,的导数间的关系为___________,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
K知识参考答案:
1.
2.
3.
4.
K—重点
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
K—难点
导数的四则运算法则、复合函数的求导法则
K—易错
求导公式及求导法则记忆错误
求函数的导数
(1)基本初等函数的求导公式是求导的基本依据,一定要记清形式,学会使用公式求导.
(2)应用导数运算法则求函数的导数的技巧:
①求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.
②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.
③在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.
(3)应用导数运算法则求函数的导数的原则:
结合函数解析式的特点先进行恒等变形,把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式,再用运算法则求导.
求下列函数的导数:
(1);
(2);(3).
【答案】
(1);
(2);(3).
【解析】
(1)方法1:
.
(3)
.
【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.
复合函数求导
对于复合函数的求导,一般步骤为:
(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;
(2)利用求导法则分层求导;
(3)最终结果要将中间变量换成自变量.
求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);(4).
【答案】见解析.
【解析】
(1)设,,
则
.
(2)设,,,
则
.
(3)设,,,
则
.
(4)设,,
则
.
【名师点睛】复合函数的求导,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导.
导数几何意义的应用
利用导数的几何意义解题时需注意:
(1)切点既在原函数的图象上也在切线上,则切点坐标既适合原函数的解析式,也适合切线方程,常由此建立方程组求解;
(2)在切点处的导数值等于切线的斜率.
过函数的图象上一点的切线方程是
A.B.
C.或D.或
【答案】D
【解析】由易知,所给点不一定是切点,
设切点为,则切线方程为
,
已知点在切线上,所以将点的坐标代入切线方程,解得或.
当时,,则过点的切线方程为;
当时,则点是切点,切线的斜率为,
则切线方程为,即.
综上,所求切线方程为或.故选D.
【名师点睛】求切线方程时,首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点坐标设出.
已知曲线,直线,且直线l与曲线C相切于点,求直线l的方程及切点坐标.
【答案】直线l的方程为,切点坐标为.
【解析】∵直线l过原点,∴直线l的斜率为,
又,∴
,
整理得.
∵,∴,此时,.
因此直线l的方程为,切点坐标为.
【名师点睛】求解时,注意根据题目条件舍去不合适的解,如本题需舍去.
因公式记忆不准确而致误
求函数的导数.
【错解】
.
【错因分析】,错解中因漏掉负号致误.
【正解】
.
【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则,以防因记忆不牢而致误.
1.已知,则
A.B.
C.D.
2.曲线在点处的切线方程为
A.B.
C.D.
3.若曲线在点处的切线方程是,则
A.B.
C.D.
4.已知函数,,其中为实数,为的导函数,若,则实数的值为
A.B.
C.D.
5.设函数的导函数为,且,则
A.B.
C.D.
6.已知函数的图象在点处的切线过点,则实数______________.
7.若曲线在处的切线与直线垂直,则实数______________.
8.求下列函数的导数:
(1);
(2).
9.已知抛物线,求过点且与抛物线相切的直线的方程.
10.若曲线在处的切线与直线平行,则实数的值为
A.B.
C.D.
11.函数
在点处的切线的斜率的最小值为
A.B.
C.D.
12.已知点在曲线上,其中是自然对数的底数,曲线在点处的切线的倾斜角为,则点的纵坐标为
A.B.
C.D.
13.设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为
A.B.
C.D.
14.若直线与曲线相切于点,则实数的值为______________.
15.已知直线与曲线相切,则实数的值为______________.
16.已知函数.
(1)求曲线在点处的切线的方程;
(2)求满足斜率为的曲线的切线方程;
(3)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程.
17.(xx四川)设直线l1,l2分别是函数图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是
A.B.
C.D.
18.(xx新课标全国I)曲线在点(1,2)处的切线方程为______________.
19.(xx新课标全国III)已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是______________.
20.(xx天津)已知函数
,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为______________.
21.(xx新课标全国II)已知曲线在点处的切线与曲线相切,则______________.
1.【答案】D
【解析】常函数的导数为,所以时,.故选D.
2.【答案】A
【解析】,所以,切线方程为
,故选A.
4.【答案】B
【解析】因为,,所以,解得,故选B.
5.【答案】D
【解析】因为,所以,解得,故选D.
6.【答案】
【解析】因为,所以,因为,所以,解得.
7.【答案】
【解析】由已知得,则
,所以,解得.
8.【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)因为,所以
.
(2)因为,所以.
9.【答案】或
【解析】设直线的斜率为,直线与抛物线相切的切点坐标为,
则直线的方程为,
因为,所以,
又点在切线上,所以,
解得或,则或.
所以直线的方程为或,
即或.
10.【答案】A
【解析】因为,所以,
又曲线在处的切线与直线平行,所以
,
故选A.
12.【答案】D
【解析】设,因为,所以,所以.
故点处切线的斜率,由导数的几何意义可得,即,
解得,所以.故选D.
13.【答案】A
【解析】由题意可知,,所以,
所以曲线在点处切线的斜率为.故选A.
14.【答案】3
【解析】由题意得,所以①.
因为切点为,所以②,③,由①②③解得,.
15.【答案】
【解析】设切点,则,,
又,所以,所以,所以,所以.
16.【答案】
(1);
(2)或;(3).
【解析】
(1)由已知得,
因为切点为,所以切线的斜率,
则切线方程为,即.
(3)设切点坐标为,
由已知得直线的斜率为,且,
则切线方程为,即
,
将代入得,,则直线的方程为,即.
17.【答案】A
【解析】设
(不妨设),则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得
切线的方程为,切线的方程为,即.分别令得
与的交点为.
,故选A.
18.【答案】
【解析】设,则,所以,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为:
设是曲线上的一点,则以为切点的切线方程是.若曲线在点处的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.
20.【答案】3
【解析】因为,所以.
21.【答案】8
【解析】因为,所以,则曲线在点处的切线方程为,即.又切线与曲线相切,当时,,显然与平行,故,由,得,则,解得.
2019-2020年高中数学专题1.3简单的逻辑联结词2测试含解析新人教A版选修
一、选择题
1.若p、q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有( )
A.p真q真B.p假q假
C.p真q假D.p假q真
[答案] B
[解析] “p或q”的否定是:
“¬p且¬q”是真命题,则¬p、¬q都是真命题,故p、q都是假命题.
2.设a、b、c是非零向量,已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)
[答案] A
3.在一次篮球投篮比赛中,甲、乙两球员各投篮一次.设命题p:
“甲球员投篮命中”;q:
“乙球员投篮命中”,则命题“至少有一名球员投中”可表示为( )
A.p∨qB.p∧(¬q)
C.(¬p)∧(¬q)D.(¬p)∨(¬q)
[答案] A
[解析] 至少有一名球员投中为p∨q.
4.已知命题p:
偶函数的图象关于y轴对称,命题q:
正数的对数都是正数,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)
C.(¬p)∧qD.p∧(¬q)
[答案] D
[解析] ∵p为真命题,q为假命题,∴p∧(¬q)为真命题,故选D.
5.若命题“p∧(¬q)”为真命题,则( )
A.p∨q为假命题B.q为假命题
C.q为真命题D.(¬p)∧(¬q)为真命题
[答案] B
[解析] p∧(¬q)为真命题,故¬q为真命题,所以q为假命题.
6.已知命题p:
x2-4x+3<0与q:
x2-6x+8<0;若“p且q”是不等式2x2-9x+a<0成立的充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.(9,+∞)B.{0}
C.(-∞,9]D.(0,9]
[答案] C
二、填空题
7.命题p:
2不是质数,命题q:
是无理数,在命题“p∧q”、“p∨q”、“¬p”、“¬q”中,假命题是__________________,真命题是__________________.
[答案] “p∧q”“¬q” “p∨q”“¬p”
[解析] 因为命题p假,命题q真,所以命题“p∧q”假,命题“p∨q”真,“¬p”真,“¬q”假.
8.已知p:
x2-x≥6,q:
x∈Z.若“p∧q”,“¬q”都是假命题,则x的值组成的集合为__________________.
[答案] {-1,0,1,2}
[解析] 因为“p∧q”为假,“¬q”为假,所以q为真,p为假.
故
,即
,因此x的值可以是-1,0,1,2.
9.已知命题p:
函数f(x)=|lgx|为偶函数,q:
函数g(x)=lg|x|为奇函数,由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“¬p”形式的新命题中,真命题是__________________.
[答案] ¬p
[解析] 函数f(x)=|lgx|为非奇非偶函数,g(x)=lg|x|为偶函数,故命题p和q均为假命题,从而只有“¬p”为真命题.
10.已知命题p:
不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q:
不等式
≤0的解集为{x|1 [答案] p∨q,¬p [解析] ∴∀x∈R,x2+x+1>0,∴命题p为假,¬p为真; ∵ ≤0⇔ ⇔1 ∴命题q为真,p∨q为真,p∧q为假,¬q为假. 三、解答题 11.写出下列命题的否定: (1)若a>b>0,则 < ; (2)正方形的四条边相等; (3)a、b∈N,若ab可被5整除,则a、b中至少有一个能被5整除; (4)若x2-x-2=0,则x≠-1且x≠2. [解析] (1)若a>b>0,则 ≥ . (2)正方形的四条边不全相等. (3)a、b∈N,若ab可以被5整除,则a、b都不能被5整除; (4)若x2-x-2=0,则x=-1或x=2. 12.已知p: |3x-4|>2;q: >0;r: (x-a)(x-a-1)<0. (1)¬p是¬q的什么条件; (2)若¬r是¬p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
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