数学分析华东师大第四章函数的连续性文档格式.docx
- 文档编号:5778097
- 上传时间:2023-05-05
- 格式:DOCX
- 页数:38
- 大小:72.50KB
数学分析华东师大第四章函数的连续性文档格式.docx
《数学分析华东师大第四章函数的连续性文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析华东师大第四章函数的连续性文档格式.docx(38页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
0,存在δ>
0,使得当|x-x0|<
δ时有
|f(x)-f(x0)|<
ε,
(2)
则称函数f在点x0连续.
由上述定义,我们可得出函数f在点x0有极限与f在x0连续这两个概念
之间的联系.首先,f在点x0有极限是f在x0连续的必要条件;
进一步说“,f在
点x0连续”不仅要求f在点x0有极限,而且其极限值应等于f在x0的函数值f(x0).其次,在讨论极限时,我们假定f在点x0的某空心邻域U°
(x0)内有定义(f在点x0可以没有定义),而“f在点x0连续”则要求f在某U(x0)内(包括点x0)有定义,此时由于
(2)式当x=x0时总是成立的,所以在极限定义中的“0
<
|x-x0|<
δ”换成了在连续定义中的“|x-x0|<
δ”.最后,
(1)式又可表示为
f(x)=flimx,
可见“f在点x0连续”意味着极限运算lim
与对应法则f的可交换性.
例1证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中D(x)为狄利克雷函数.
证由f(0)=0及|D(x)|≤1,对任给的ε>
0,为使
|f(x)-f(0)|=|xD(x)|≤|x|<
ε,
只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f在x=0连续.□相应于f在点x0的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下:
定义2设函数f在某U+(x0)(U-(x0))内有定义.若
x→x+
f(x)=f(x0)lim
-
f(x)=f(x0),
则称f在点x0右(左)连续.
根据上述定义1与定义2,不难推出如下定理.
定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是:
f在点x0既是右连续,又是左连续.
例2讨论函数
在点x=0的连续性.
解因为
f(x)=
x+2,x≥0,x-2,x<
0
x→0+
x→0-
f(x)=lim
(x+2)=2,(x-2)=-2,
而f(0)=2,所以f在点x=0右连续,但不左连续,从而它在x=0不连续(见
●
1连续性概念71
图4-1).□
二间断点及其分类
定义3设函数f在某U°
(x0)内有定义.若f在点x0无定义,或f在点x0有定义而不连续,则称点x0为函数f的间断点或不连续点.
按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论,若x0为函数f的间断点,则必出现下列情形之一:
图4-1
(i)f在点x0无定义或极限lim
x→x
f(x)不存在;
(ii)f在点x0有定义且极限lim
f(x)存在①,但lim
f(x)≠f(x0).
据此,我们对函数的间断点作如下分类:
1.可去间断点若
f(x)=A,
而f在点x0无定义,或有定义但f(x0)≠A,则称x0为f的可去间断点.
例如,对于函数f(x)=|sgnx|,因f(0)=0,而
f(x)=1≠f(0),
故x=0为f(x)=|sgnx|的可去间断点.又如函数g(x)=sinx,由于
g(x)=1,而g在x=0无定义,所以x=0是函数g的可去间断点.
设x0为函数f的可去间断点,且lim
f(x)=A.我们按如下方法定义一个
函数f^:
当x≠x0时,f^(x)=f(x);
当x=x0时,f^(x0)=A.易见,对于函数
f^,x0是它的连续点.例如,对上述的g(x)=sinx,我们定义
则g^在x=0连续.
g^(x)=
sinx
x,x≠0,
1,x=0,
2.跳跃间断点若函数f在点x0的左、右极限都存在,但
f(x)≠lim
x→x-
f(x),
则称点x0为函数f的跳跃间断点.
例如,对函数f(x)=[x](图1-8),当x=n(n为整数)时有
①这里所说的极限存在是指存在有限极限,即不包括非正常极限.
72第四章函数的连续性
x→n-
[x]=n-1,lim
x→n+
[x]=n,
所以在整数点上函数f的左、右极限不相等,从而整数点都是函数f(x)=[x]的跳跃间断点.又如符号函数sgnx在点x=0处的左、右极限分别为-1和1,故x=0是sgnx的跳跃间断点(图1-3).
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.
3.函数的所有其他形式的间断点,即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点,称为第二类间断点.
例如,函数y=1当x→0时不存在有限的极限,故x=0是y=1的第二类
xx
间断点.函数sin1在点x=0处左、右极限都不存在,故x=0是sin1的第二类
间断点.又如,对于狄利克雷函数D(x),其定义域R上每一点x都是第二类间断点.
三区间上的连续函数
若函数f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.
例如,函数y=c,y=x,y=sinx和y=cosx都是R上的连续函数.又如
函数y=1-x2在(-1,1)每一点处都连续,在x=1为左连续,在x=-1为右连续,因而它在[-1,1]上连续.
若函数f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点,则称f在[a,b]上分段连续.例如,函数y=[x]和y=x-[x]在区间[-3,3]上是分段连续的.
在§
3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数.同时,也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数,如前面已提到的狄利克雷函数.
例3证明:
黎曼函数
R(x)=
1,当x=pqq
p、q为正整数,p6q/为既约真分数,
0,当x=0,1及(0,1)内无理数在(0,1)内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续.
证设ξ∈(0,1)为无理数.任给ε>
0不妨设ε<
1
2
满足1≥ε的正整
q
数q显然只有有限个(但至少有一个,如q=2),从而使R(x)≥ε的有理数x∈
(0,1)只有有限个至少有一个,如1
设为x1,,xn.取
δ=min|x1-ξ|,,|xn-ξ|,ξ,1-ξ,
1连续性概念73
则对任何x∈U(ξ;
δ)(Ì
(0,1)),当x为有理数时有R(x)<
ε,当x为无理数时R(x)=0.于是,对任何x∈U(ξ;
δ),总有
R(x)-R(ξ)=R(x)<
ε.
这就证明了R(x)在无理点ξ处连续.
现设p为(0,1)内任一有理数.取ε0=1,对任何正数δ(无论多么小),在
q2q
Up
q;
δ内总可取到无理数x(∈(0,1)),使得
R(x)-Rp
=1
>
ε0.
所以R(x)在任何有理点处都不连续.□
习题
1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:
(1)f(x)=1;
(2)f(x)=|x|.
2.指出下列函数的间断点并说明其类型:
(1)f(x)=x+1;
(2)f(x)=sinx;
x|x|
(3)f(x)=[|cosx|];
(4)f(x)=sgn|x|;
(5)f(x)=sgn(cosx);
x,x为有理数,
(6)f(x)=
(7)f(x)=
-x,x为无理数;
1
x+7,-∞<
x<
-7,
x,-7≤x≤1
(x-1)sin1,1<
+∞.
x-1
3.延拓下列函数,使其在R上连续:
3
(1)f(x)=x-8;
(2)f(x)=1-cosx;
x-2x2
(3)f(x)=xcos1.
22
4.证明:
若f在点x0连续,则|f|与f也在点x0连续.又问:
若|f|或f
那么f在I上是否必连续?
在I上连续,
5.设当x≠0时f(x)≡g(x),而f(0)≠g(0).证明:
f与g两者中至多有一个在x=0
连续.
6.设f为区间I上的单调函数.证明:
若x0∈I为f的间断点,则x0必是f的第一类间断点.
74第四章函数的连续性
7.设函数f只有可去间断点,定义
g(x)=lim
y→x
f(y).
证明g为连续函数.
8.设f为R上的单调函数,定义
g(x)=f(x+0).
证明g在R上每一点都右连续.
9.举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数:
(1)只在1,1和1三点不连续的函数;
234
(2)只在1,1和1三点连续的函数;
(3)只在1(n=1,2,3,)上间断的函数;
n
(4)只在x=0右连续,而在其他点都不连续的函数.
2连续函数的性质
一连续函数的局部性质
若函数f在点x0连续,则f在点x0有极限,且极限值等于函数值f(x0).
从而,根据函数极限的性质能推断出函数f在U(x0)的性态.
定理4.2(局部有界性)若函数f在点x0连续,则f在某U(x0)内有界.
定理4.3(局部保号性)若函数f在点x0连续,且f(x0)>
0(或<
0),则对任何正数r<
f(x0)(或r<
-f(x0)),存在某U(x0),使得对一切x∈U(x0)有
f(x)>
r(或f(x)<
-r).
注在具体应用局部保号性时,常取r=1
f(x0),则(当f(x0)>
0时)存
在某U(x0),使在其内有f(x)>
f(x0).
定理4.4(四则运算)若函数f和g在点x0连续,则f±
g,f·
g,6fg(x0)≠0)也都在点x0连续.
以上三个定理的证明,都可从函数极限的有关定理直接推得.
g/(这里
对常量函数y=c和函数y=x反复应用定理4.4,能推出多项式函数
nn-1
P(x)=a0x+a1x++an-1x+an
和有理函数R(x)=P(x)
Q(x)
(P,Q为多项式)在其定义域的每一点都是连续的.
同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每
2连续函数的性质75
一点都连续.
关于复合函数的连续性,有如下定理:
定理4.5若函数f在点x0连续,g在点u0连续,u0=f(x0),则复合函数
gf在点x0连续.
证由于g在u0连续,对任给的ε>
0,存在δ1>
0,使得当|u-u0|<
δ1时有
|g(u)-g(u0)|<
ε.
(1)
又由u0=f(x0)及u=f(x)在点x0连续,故对上述δ1>
0,使得当
|x-x0|<
δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<
δ1.联系
(1)得:
对任给的ε>
0,
存在δ>
0,当|x-x0|<
|g(f(x))-g(f(x0))|<
这就证明了gf在点x0连续.□
注根据连续性的定义,上述定理的结论可表为
g(f(x))=glim
f(x)=g(f(x0)).
(2)
例1求limsin(1-x2).
x→1
解sin(1-x2)可看作函数g(u)=sinu与f(x)=1-x2的复合.由
(2)式
得
limsin(1-x2)=sinlim
(1-x2)=sin0=0.□
x→1x→1
注若复合函数gf的内函数f当x→x0时极限为a,而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点),又外函数g在u=a连续,则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限,即有
g(f(x))=glim
f(x).(3)
读者还可证明:
(3)式不仅对于x→x0这种类型的极限成立,而且对于x→
+∞,x→-∞或x→x±
等类型的极限也是成立的.
例2求极限:
(1)lim
2-sinx;
(2)lim
2-sinx.
解
(1)lim
2-sinx
x→∞
=2-lim
sinx=2-1=1;
x
(2)lim
2-sinx=2-lim
=2-0=2.□
x→∞xx→∞x
二闭区间上连续函数的基本性质
设f为闭区间[a,b]上的连续函数,本段中我们讨论f在[a,b]上的整体性质.
76第四章函数的连续性
定义1设f为定义在数集D上的函数.若存在x0∈D,使得对一切x∈D
有
f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x)),
则称f在D上有最大(最小)值,并称f(x0)为f在D上的最大(最小)值.
例如,sinx在[0,π]上有最大值1,最小值0.但一般而言,函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界).如f(x)=x在(0,1)上既无最大值也无最小值.又如
g(x)=
x,x∈(0,1),
2,x=0与1,
(4)
它在闭区间[0,1]上也无最大、最小值.下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件.
定理4.6(最大、最小值定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在
[a,b]上有最大值与最小值.
此定理和随后的定理4.7以及本节最后的定理4.9,其证明将在第七章§
2给出.在这里读者先对这些定理有所了解,并能初步运用它们.
推论(有界性定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有界.
易见由(4)式给出的函数g在闭区间[0,1]上无界,请读者考虑为什么对函数g上述推论的结论不成立.
定理4.7(介值性定理)设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠
f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)<
μ<
f(b)或f(a)>
μ
f(b)),则至少存在一点x0∈(a,b),使得
f(x0)=μ.
这个定理表明,若f在[a,b]上连续,又不妨设f(a)<
f(b),则f在[a,b]
上必能取得区间[f(a),f(b)]中的一切值,即有
[f(a),f(b)]Ì
f([a,b]),
其几何意义如图4-2所示.
推论(根的存在定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)
异号(即f(a)f(b)<
0),则至少存在一点x0∈(a,b),使得
f(x0)=0,
即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
这个推论的几何解释如图4-3所示:
若点A(a,f(a))与B(b,f(b))分别在x轴的两侧,则连接A、B的连续曲线y=f
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学分析 华东师大 第四 函数 连续性