71尺规作图第4部分中考数学试题分类汇编word解析版文档格式.docx
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∴∠CAM=∠BAM=35°
∵AB∥CD,
∴∠CMA=∠MAB=35°
.
故选:
B.
【总结归纳】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质,正确得出∠CAM=∠BAM是解题关键.
2.(2018年湖北省宜昌市-第13题-3分)尺规作图:
经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
垂线.
【思路分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可.
【解答过程】已知:
直线AB和AB外一点C.
求作:
AB的垂线,使它经过点C.
作法:
(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁.
(2)以C为圆心,CK的长为半径作弧,交AB于点D和E.
(3)分别以D和E为圆心,大于
DE的长为半径作弧,两弧交于点F,
(4)作直线CF.
直线CF就是所求的垂线.
【总结归纳】此题主要考查了过一点作直线的垂线,熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键.
3.(2018年湖南省郴州市-第7题-3分)如图,∠AOB=60°
,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;
分别以C,D为圆心,以大于
CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;
以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为( )
A.6B.2C.3D.
【知识考点】含30度角的直角三角形;
作图—基本作图.
【思路分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线,再利用直角三角形的性质得出答案.
过点M作ME⊥OB于点E,
由题意可得:
OP是∠AOB的角平分线,
则∠POB=
×
60°
=30°
∴ME=
OM=3.
C.
【总结归纳】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形,正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键.
二、填空题
1.(2018年湖南省益阳市-第18题-4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3.按以下步骤作图:
①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②分别以M,N为圆心,以大于
MN的长为半径作弧,两弧相交于点E;
③作射线AE;
④以同样的方法作射线BF.
AE交BF于点O,连接OC,则OC= .
【知识考点】勾股定理的逆定理;
【思路分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案.
过点O作OD⊥BC,OG⊥AC,垂足分别为:
D,G,
O是△ACB的内心,
∵AB=5,AC=4,BC=3,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠ACB=90°
∴四边形OGCD是正方形,
∴DO=OG=
=1,
∴CO=
故答案为:
【总结归纳】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心,正确得出OD的长是解题关键.
2.(2018年湖北省荆州市-第12题-3分)已知:
∠AOB,求作:
∠AOB的平分线.作法:
①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;
②分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;
③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是 .
【知识考点】全等三角形的判定;
【思路分析】利用基本作图得到OM=ON,CM=CN,加上公共边OC,则可根据SSS证明三角形全等.
由作法①知,OM=ON,
由作法②知,CM=CN,
∵OC=OC,
∴△OCM≌△OCN(SSS),
SSS.
【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图:
熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;
作一个角等于已知角;
作已知线段的垂直平分线;
作已知角的角平分线;
过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定.
3.(2018年江苏省南通市-第16题-3分)下面是“作一个30°
角”的尺规作图过程.
已知:
平面内一点A.
∠A,使得∠A=30°
作图:
如图,
(1)作射线AB;
(2)在射线AB上取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;
(3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD,∠DAB即为所求的角.
请回答:
该尺规作图的依据是 .
【知识考点】作图—复杂作图.
【思路分析】连接OD、CD.只要证明△ODC是等边三角形即可解决问题;
连接OD、CD.
由作图可知:
OD=OC=CD,
∴△ODC是等边三角形,
∴∠DCO=60°
∵AC是⊙O直径,
∴∠ADC=90°
∴∠DAB=90°
﹣60°
∴作图的依据是:
直径所对的圆周角的直角,等边三角形的时故内角为60°
,直角三角形两锐角互余等,
故答案为直径所对的圆周角的直角,等边三角形的时故内角为60°
,直角三角形两锐角互余等.
【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图,圆的有关性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
三、解答题
1.(2018年湖北省孝感市-第20题-8分)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;
②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;
③连接PB,PC.
请你观察图形解答下列问题:
(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是 ;
(2)若∠ABC=70°
,求∠BPC的度数.
【知识考点】作图—复杂作图;
线段垂直平分线的性质;
等腰三角形的性质.
【思路分析】
(1)根据线段的垂直平分线的性质可得:
PA=PB=PC;
(2)根据等腰三角形的性质得:
∠ABC=∠ACB=70°
,由三角形的内角和得:
∠BAC=180°
﹣2×
70°
=40°
,由角平分线定义得:
∠BAD=∠CAD=20°
,最后利用三角形外角的性质可得结论.
(1)如图,PA=PB=PC,理由是:
∵AB=AC,AM平分∠BAC,
∴AD是BC的垂直平分线,
∴PB=PC,
∵EP是AB的垂直平分线,
∴PA=PB,
∴PA=PB=PC;
(2)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠BAC=180°
∵AM平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=20°
∵PA=PB=PC,
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°
+40°
+20°
=80°
【总结归纳】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质,熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.
2.(2018年湖南省怀化市-第23题-12分)已知:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.点E为CD边上一点,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.
(1)请你添加一个适当的条件 ,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;
(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(3)在
(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sin∠AGF=
,求⊙O的半径.
【知识考点】圆的综合题.
(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可;
(2)作出相应的图形,如图所示;
(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行,可得同旁内角互补,再由AE与BE为角平分线,可得出AE与BE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AF与FB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据sin∠AGF的值,确定出sin∠AEB的值,求出AB的长,即可确定出圆的半径.
(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:
证明:
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形;
AD=BC;
(3)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
∵AB为圆O的直径,点F在圆O上,
∴∠AFB=90°
∴∠FAG+∠FGA=90°
∵AE平分∠DAB,
∴∠FAG=∠EAB,
∴∠AGF=∠ABE,
∴sin∠ABE=sin∠AGF=
=
∵AE=4,
∴AB=5,
则圆O的半径为2.5.
【总结归纳】此题属于圆综合题,涉及的知识有:
圆周角定理,平行四边形的判定与性质,角平分线性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键.
3.(2018年江苏省镇江市-第27题-9分)
(1)如图1,将矩形ABCD折叠,使BC落在对角线BD上,折痕为BE,点C落在点C′处,若∠ADB=46°
,则∠DBE的度数为 °
(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD,AB=4,AD=9.
【画一画】
如图2,点E在这张矩形纸片的边AD上,将纸片折叠,使AB落在CE所在直线上,折痕设为MN(点M,N分别在边AD,BC上),利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线段描清楚);
【算一算】
如图3,点F在这张矩形纸片的边BC上,将纸片折叠,使FB落在射线FD上,折痕为GF,点A,B分别落在点A′,B′处,若AG=
,求B′D的长;
【验一验】
如图4,点K在这张矩形纸片的边AD上,DK=3,将纸片折叠,使AB落在CK所在直线上,折痕为HI,点A,B分别落在点A′,B′处,小明认为B′I所在直线恰好经过点D,他的判断是否正确,请说明理由.
【知识考点】四边形综合题.
(1)利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题;
(2)
【画一画】,如图2中,延长BA交CE的延长线由G,作∠BGC的角平分线交AD于M,交BC于N,直线MN即为所求;
【算一算】首先证明DG=DF,理由勾股定理求出CF,可得BF,再利用翻折不变性,可知FB′=FB,由此即可解决问题;
【验一验】由△CDK∽△IB′C,推出
,即
,设CB′=3k,IB′=4k,IC=5k,由折叠可知,IB=IB′=4k,可知BC=BI+IC=4k+5k=9,推出k=1,推出IC=5,IB′=4,B′C=3,在Rt△ICB′中,tan∠B′IC=
,连接ID,在Rt△ICD中,tan∠DIC=
,由此即可判断tan∠B′IC≠tan∠DIC,推出B′I所在的直线不经过点D;
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=46°
由翻折不变性可知,∠DBE=∠EBC=
∠DBC=23°
故答案为23.
【画一画】,如图2中,
【算一算】如图3中,
∵AG=
,AD=9,
∴GD=9﹣
∴∠DGF=∠BFG,
由翻折不变性可知,∠BFG=∠DFG,
∴∠DFG=∠DGF,
∴DF=DG=
∵CD=AB=4,∠C=90°
∴在Rt△CDF中,CF=
∴BF=BC﹣CF=
由翻折不变性可知,FB=FB′=
∴DB′=DF﹣FB′=
﹣
=3.
【验一验】如图4中,小明的判断不正确.
理由:
连接ID,在Rt△CDK中,∵DK=3,CD=4,
∴CK=
=5,
∵AD∥BC,
∴∠DKC=∠ICK,
由折叠可知,∠A′B′I=∠B=90°
∴∠IB′C=90°
=∠D,
∴△CDK∽△IB′C,
∴
设CB′=3k,IB′=4k,IC=5k,
由折叠可知,IB=IB′=4k,
∴BC=BI+IC=4k+5k=9,
∴k=1,
∴IC=5,IB′=4,B′C=3,
在Rt△ICB′中,tan∠B′IC=
连接ID,在Rt△ICD中,tan∠DIC=
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC,
∴B′I所在的直线不经过点D.
【总结归纳】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用翻折不变性解决问题,属于中考压轴题.
4.(2018年江苏省常州市-第27题-10分)
(1)如图1,已知EK垂直平分BC,垂足为D,AB与EK相交于点F,连接CF.求证:
∠AFE=∠CFD.
(2)如图2,在Rt△GMN中,∠M=90°
,P为MN的中点.
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不要求写作法);
②在①的条件下,如果∠G=60°
,那么Q是GN的中点吗?
为什么?
【知识考点】线段垂直平分线的性质;
直角三角形斜边上的中线;
作图—复杂作图.
(1)只要证明FC=FB即可解决问题;
(2)①作点P关于GN的对称点P′,连接P′M交GN于Q,连接PQ,点Q即为所求.
②结论:
Q是GN的中点.想办法证明∠N=∠QMN=30°
,∠G=∠GMQ=60°
,可得QM=QN,QM=QG;
【解答过程】
(1)证明:
如图1中,
∵EK垂直平分线段BC,
∴FC=FB,
∴∠CFD=∠BFD,
∵∠BFD=∠AFE,
∴∠AFE=∠CFD.
Q是GN的中点.
设PP′交GN于K.
∵∠G=60°
,∠GMN=90°
∴∠N=30°
∵PK⊥KN,
∴PK=KP′=
PN,
∴PP′=PN=PM,
∴∠P′=∠PMP′,
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°
∴∠PMP′=30°
∴∠N=∠QMN=30°
∴QM=QN,QM=QG,
∴QG=QN,
∴Q是GN的中点.
【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
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