第二十三章一元二次方程全章导学案Word文档格式.docx
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()(4)
()
2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)3x2-x=2;
(2)7x-3=2x2;
(3)(2x-1)-3x(x-2)=0(4)2x(x-1)=3(x+5)-4.
3、判断下列方程后面所给出的数,那些是方程的解;
±
1±
2;
2,±
4
(B)1、把方程
(
化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
2、要使
是一元二次方程,则k=_______.
3、已知关于x的一元二次方程
有一个解是0,求m的值。
2、一元二次方程
(2)
学习内容
1.一元二次方程根的概念;
2.根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.
学习目标
了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.
重难点关键
1.重点:
判定一个数是否是方程的根;
2.难点关键:
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
学习过程
一、自学教材针对目标自学教材27页—28页内容,会规范解答28页练习题1、2.
二、合作交流,解读探究
先独立思考,有困难时请求他人帮助,10分钟后检查你是否能正确、规范解答下列题目:
1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)x2-64=0
(2)3x2-6=0(3)x2-3x=0
应用迁移,巩固提高
3、若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2009(a+b+c)的值
4、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
三、总结反思,自查自省
选择题1.方程x(x-1)=2的两根为().
A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
2.方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是().
A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=
C.x1=a,x2=
D.x1=a2,x2=b2
3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
填空题1.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
3.方程(x+1)2+
x(x+1)=0,那么方程的根x1=______;
x2=________.
综合提高题
1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证:
-1必是该方程的一个根.
3、配方法
(一)
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如
=p(p≥0)或(mx+n)
=p
(p≥0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会两者之间相互比较和转化的思想方法;
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
自主探索自学P30问题1、及思考完成下列各题:
解下列方程:
(1)x2-2=0;
(2)16x2-25=0.
(3)(x+1)2-4=0;
(4)12(2-x)2-9=0.
总结归纳如果方程能化成
=p或(mx+n)
=p(p≥0)形式,那么可得
巩固提高仿例完成P31页练习
课堂小结你今天学会了解怎样的一元二次方程?
步骤是什么?
达标测评
1、解下列方程:
(1)x2=169;
(2)45-x2=0;
(3)x2-12=0(4)x2-2
=0
(5)2x2-3=0(6)3x2-
=0(7)12y2-25=0;
(8)(t-2)(t+1)=0;
(9)x2+2x+1=0(10)x2+4x+4=0(11)x2-6x+9=0(12)x2+x+
4、配方法
(二)
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程;
2、理解解方程中的程序化,体会化归思想。
用配方法解数字系数的一元二次方程;
配方的过程。
导学流程自主学习自学P31-32问题2,完成P33思考。
精讲点拨
上面,我们把方程x2+6x-16=0变形为(x+3)2=25,它的左边是一个含有未知数的________式,右边是一个_______常数.这样,就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
练一练:
配方.填空:
(1)x2+6x+()=(x+)2;
(2)x2-8x+()=(x-)2;
(3)x2+
x+()=(x+)2;
从这些练习中你发现了什么特点?
(1)_____________________________________
(2)_________________________________________
合作交流
用配方法解下列方程:
(1)x2-6x-7=0;
(2)x2+3x+1=0.
解
(1)移项,得x2-6x=____.
方程左边配方,得x2-2·
x·
3+__2=7+___,
即(______)2=____.
所以x-3=____.
原方程的解是 x1=_____,x2=_____.
(2)移项,得x2+3x=-1.
方程左边配方,得x2+3x+()2=-1+____,
即_____________________
所以___________________
原方程的解是:
x1=______________x2=___________
总结规律
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程?
有哪些步骤?
深入探究自学P33页例1,完成练习:
用配方法解下列方程:
(1)
(2)
巩固提高:
完成P34页练习
课堂小结你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程?
用配方法解方程:
1、x2+8x-2=02、x2-5x-6=0.3、2x2-x=6
4、x2+px+q=0(p2-4q≥0).5、x²
-2x-3=06、2x²
+12x+10=0
7、x²
-4x+3=08、9x²
-6x-8=09、x²
+12x-15=0
10、2x²
+1=3x11、3x²
+6x-4=012、4x²
-6x-3=0
13.x²
+4x-9=2x-1114.x(x+4)=8x+12
拓展提高
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明,不论x取何值,这个代数式的值总是正数;
再求出当x取何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少?
5、公式法
1、经历推导求根公式的过程,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力;
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程;
3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
用公式法解简单系数的一元二次方程;
推导求根公式的过程。
导学流程
复习提问:
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3、你能用配方法解下列方程吗?
请你和同桌讨论一下.ax2+bx+c=0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
因为a≠0,方程两边都除以a,得
_____________________=0.
移项,得x2+
x=________,
配方,得x2+
x+______=______-
即(____________)2=___________
因为a≠0,所以4a2>0,当b2-4ac≥0时,直接开平方,得_____________________________.
所以x=_______________________
即x=_________________________
x=
(b2-4ac≥0)
由以上研究的结果,得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式:
利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法.
合作交流
b2-4ac为什么一定要强调它不小于0呢?
如果它小于0会出现什么情况呢?
展示反馈
学生在合作交流后展示小组学习成果。
1当b2-4ac>0时,方程有__个________的实数根;
(填相等或不相等)
2当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根,x1=x2=________
3当b2-4ac<0时,方程______实数根.
巩固练习1、做一做:
(1)方程2x
-3x+1=0中,a=(),b=(),c=()
(2)方程(2x-1)
=-4中,a=(),b=(),c=().
(3)方程3x
-2x+4=0中,
=(),则该一元二次方程()实数根。
(4)不解方程,判断方程x
-4x+4=0的根的情况。
深入探究:
自学P36页例2,完成下列特别各题:
应用公式法解下列方程:
(1)2x2+x-6=0;
(2)x2+4x=2;
(3)5x2-4x-12=0;
(4)4x2+4x+10=1-8x.
完成P37页练习
课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么?
2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么?
达标测评(A)1、应用公式法解方程:
(1)x2-6x+1=0;
(2)2x2-x=6;
(3)4x2-3x-1=x-2;
(4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1).
(5)(x-2)(x+5)=8;
(6)(x+1)2=2(x+1).
6、因式分解法
1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。
重点、难点
1、重点:
应用分解因式法解一元二次方程
2、难点:
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【课前预习】阅读教材P38—40,完成课前预习
1:
知识准备将下列各题因式分解
am+bm+cm=;
a2-b2=;
a2±
2ab+b2=
因式分解的方法:
解下列方程.
(1)2x2+x=0(用配方法)
(2)3x2+6x=0(用公式法)
2:
探究
仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗?
3、归纳:
(1)对于一元二次方程,先因式分解使方程化为_________________的形式,再使_________________________,从而实现_________________,这种解法叫做__________________。
(2)如果
,那么
或
,这是因式分解法的根据。
如:
如果
或_______,即
或________。
练习1、说出下列方程的根:
(2)
练习2、用因式分解法解下列方程:
(1)x2-4x=0
(2)4x2-49=0(3)5x2-10x+20=0
【课堂活动】
活动1:
预习反馈
活动2:
典型例题
例1、用因式分解法解下列方程
(2)
()
(4)
例2、用因式分解法解下列方程
(1)4x2-144=0
(2)(2x-1)2=(3-x)2
(4)3x2-12x=-12
活动3:
随堂训练
1、用因式分解法解下列方程
(1)x2+x=0
(2)x2-2
x=0(3)3x2-6x=-3
(4)4x2-121=0(5)3x(2x+1)=4x+2(6)(x-4)2=(5-2x)2
2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。
活动4:
课堂小结
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)将方程右边化为
(2)将方程左边分解成两个一次因式的
(3)令每个因式分别为,得两个一元一次方程
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解
【课后巩固】
1.方程
的根是
2.方程
的根是________________
3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是_________
4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1、x2,且x1>
x2,则x1-2x2的值等于___
5.若(2x+3y)2+2(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为_________.
6.已知y=x2-6x+9,当x=______时,y的值为0;
当x=_____时,y的值等于9.
7.方程x(x+1)(x-2)=0的根是()
A.-1,2B.1,-2C.0,-1,2D.0,1,2
8.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()
A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=0
9.方程(x+4)(x-5)=1的根为()
A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对
10、用因式分解法解下列方程:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)3x(x-1)=2(x-1)(8)x2+x(x-5)=0
7、一元二次方程根的判别式(选学)
1、了解什么是一元二次方程根的判别式;
2、知道一元二次方程根的判别式的应用。
如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况;
根的判别式的变式应用。
复习引入
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件b2-4ac___0时才有实数根
观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况:
②当b2-4ac=0时,方程有___个____的实数根
x1=x2=________
③当b2-4ac<0时,方程______实数根.
这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“△”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2-x+1=0,可由b2-4ac=_____0直接判断它____实数根;
方程根的判别式应用
1、不解方程,判断方程根的情况。
(1)x2+2x-8=0;
(2)3x2=4x-1;
(3)x(3x-2)-6x2=0;
(4)x2+(
+1)x=0;
(5)x(x+8)=16;
(6)(x+2)(x-5)=1;
2.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等的实数根.
解:
把化为一般形式得___________________
Δ=b2-4ac=______________
=___________________
=______________
拓展提高
应用判别式来确定方程中的待定系数。
(1)m取什么值时,关于x的方程x2-2x+m-2=0有两个相等的实数根?
求出这时方程的根.
(2)m取什么值时,关于x的方程x2-(2m+2)x+m2-2m-2=0没有实数根?
1、使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项?
2、列举一元二次方程根的判别式的用途。
(A)1、方程x2-4x+4=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根;
B.有两个相等的实数根;
C.有一个实数根;
D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是()
A.x2+1=0B.x2+x-1=0C.x2+2x+3=0D.4x2-4x+1=0
3、若关于x的方程x2-x+k=0没有实数根,则()
A.k<
B.k>
C.k≤
D.k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x+2k=0有实数根,则k得范围是()
(B)5、k取什么值时,关于x的方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?
6、说明不论k取何值,关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0总有两个不相等的实根.
8、习题课
能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程,培养探究问题的能力和解决问题的能力。
选择合理的方法解一元二次方程,使运算简便。
理解四种解法的区别与联系。
复习提问
(1)我们已经学习了几种解一元二次方程的方法?
(2)请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程?
观察方程特点,寻找最佳解题方法。
一元二次方程解法的选择顺序一般为:
直接开平方法因式分解法公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法,其中,公式法是一把解一元二次方程的万能钥匙,,适用于任何一元二次方程;
因式分解法和直接开平方法是特殊方法,在解符合某些特点的一元二次方程时,非常简便。
练习一:
分别用三种方法来解以下方程
(1)x2-2x-8=0
(2)3x2-24x=0
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
用因式分解法:
用配方法:
用公式法:
练习二:
你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
(1)12y2-25=0;
(你用_____________法)
(2)x2-2x=0;
(你用_____________法)
(3)x(x+1)-5x=0;
(你用___________法)(4)x2-6x+1=0;
(你用___________法)
(5)3x2=4x-1;
(你用_____________法)(6)3x2=4x.(你用_____________法)
对应训练
1、解下列方程
(1)(2x-1)2-1=0;
(2)
(x+3)2=2;
(3)x2+2x-8=0;
(4)3x2=4x-1;
(5)x(3x-2)-6x2=0;
(6)(2x-3)2=x2.
2、当x取何值时,能满足下列要求?
(1)3x2-6的值等于21;
(2)3x2-6的值与x-2的值相等.
3、用适当的方法解下列方程:
(1)3x2-4x=2x;
(2)
(x+3)2=1;
(3)x2+(
(4)x(x-6)=2(x-8);
(5)(x+1)(x-1)=
;
(6)x(x+8)=16;
.4、已知y1=2x2+7x-1,y2=6x+2,当x取何值时y1=y2?
根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?
通常你是如何选择的?
和同学交流一下.
1、已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0,则x2+y2的值是()
(A)3或-2(B)-3或2(C)3(D)-2
2、试求出下列方程的解:
(1)(x
-x)
-5(x
-x)+6=0
(2)
3、某服装厂为学校艺术团生产一批演出服,总成本3000元,售价每套30元.服装厂向24名家庭贫困学生免费提供.经核算,这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润.问这批演出服共生产了多少套?
9、实际问题与一元二次方程
(1)
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.通过复习二元一次方程组等建立数学模型,并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决实际问题.
重难点关键
用“倍数关系”建立数学模型
2.难点与关键:
教学过程
一、复习引入
(学生活动)问题1:
列一元一次方程解应用题的步骤?
①审题,②设出未知数.③找等量关系.④列方程,⑤解方程,⑥答.
二、探索新知
上面这道题大家都做得很好,这是一种利用一元一次方程的数量关系建立的数学模型,那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢?
请同学们完成下面问题.
(学生活动)探究1:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析:
1第一轮传染第二轮传染后
解:
设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则第一轮后共有人患了流感,第二轮后共有人患了流感.列方程得
1+x+x(x+1
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- 第二十三 一元 二次方程 全章导学案