张量分析总结Word下载.docx
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可知
ijij
ii
jj
3
。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它
因子的指标相同时,可把该因子的重指标换成δ的另一个指标,而δ符号消失。
如:
ijjk
ik
ijjkkl
il
(1.5)
的作用:
更换指标、选择求和。
1.3Ricci符号
为了运算的方便,定义Ricci符号或称置换符号:
1,i,j,k为偶排列
l1,i,j,k为奇排列
ijk
0,其余情况
(1.6)
l
图1.1i,j,k排列图
的值中,有3个为1,3个为-1,其余为0。
Ricci符号(置
换符号)是与任何坐标系都无关的一个符号,它不是张量。
1.4坐标转换
e
i
j
图1.2坐标转换
如上图所示,设旧坐标系的基矢为
,新坐标系的基矢为
'
有
eee'
e'
ijij
e'
在
下进行分解:
eeeei'
11i'
22i'
33i'
jj
在'
下进行分解:
i
ee'
e'
e'
j1'
j12'
j23'
j3i'
ji
其中,
i'
j
cos(e'
e)e'
eee'
ijijji
为新旧坐标轴间的夹角余弦,
称为坐标转换系数。
空间点P在新老坐标系矢径:
其中r'
rxe
ii
rxe
jj
rrr
为上图中坐标原点的位移矢量。
(1.7)
将
r'
向新坐标轴上投影的矢量的分量:
r
x'
kk
x
k
x'
kii
即(r'
r)e'
(x'
)e'
e'
xee'
)x(x'
)x0ik0kijjik0kij'
i0j
由此得新坐标用老坐标表示的公式:
x(x)xii0
(1.8)
类似地,将i向老坐标上投影,可以推导出老坐标用新坐标表示的公式:
x(x'
)x'
jj0i
(1.9)
特别的,当新旧坐标原点重合时,也即坐标轴仅发生旋转,
ij
lj
kj
'
x'
此时(x'
)
i0
0
,上两式的矩阵形式为:
x
xTx'
1x'
(1.10)
由上可知,TI
,是正交矩阵,则
1。
综合以
上可知:
eij'
l
ij'
e
k'
lk'
ikjkij
(1.11)
同理,可推出:
kikj
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换,x'
x'
(x);
将新
iij
坐标到老坐标的坐标转换称为正转换,xx(x'
jji
)
dx'
i
dx,其中i
为常数,称Ji
为雅克比行列式。
若J
处处不为0,则说明存在相应的逆变化,即:
1.5张量的分量坐标转换规律
1.5.1一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为:
aa
eae
i'
xi
xx'
(1.12)
e
e
(1.13)
则:
aaeaiij
(1.14)
得到:
a
a
(1.15)
同理:
(1.16)
得:
a
(1.17)
矢量是与一阶基矢相关联的不变量,可表示为一阶基矢的线
性组合,此组合与坐标系的选择无关,故为一阶张量,标量为零阶张量。
1.5.2二阶张量
ee
为二阶基矢,写在一起,不作任何运算。
由下式:
ee
iijj
(1.18)
ee
jiji
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为:
eeee
ijimjnmn
eeee
mnimjnij
又:
(1.19)
abaebeaiijj
eb
(1.20)
记:
Bab
iji
,
B
abij
(1.21)
abBeeB
ijijij
(1.22)
该式表示a与b并乘为一个坐标不变量,称为二阶张量。
记为:
BBeeBijijij
(1.23)
将式(1.13)代入上式可得:
BBijimjnmn
BBmnimjnij
(1.24)
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
张量与坐标轴选择无关,故可独立于坐标系来表述。
2张量的代数运算
2.1张量的加减
假如A、B为同阶张量,将它们在同一坐标系下的同类型分量
一一相加(减),得到的结果即为它们的和(差),记为例如:
AB(AB)
ABAB
显然,同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。
2.2标量与张量的积
(2.1)
张量A,标量λ,若
B
,则:
A
A
(2.2)
2.3张量的并积
两个同维不同阶(同阶)张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。
AAeeeijkijk
BBeelmlm
(2.3)
(2.4)
CABC
eeeeeijklmijklm
(2.5)
式(1.10)中:
C
ijklm
AB
ijklm
(2.6)
2.4张量的缩并
若对某张量中任意两个基矢量求点积,则张量将缩并为低二
阶的新张量。
AAeeeAijkijkijk
eAeBejijijj
,有
AB
ijij
取不同基
矢量点积,缩并结果不同。
2.5张量的点积
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。
如下:
AAeee
ijkijk
(2.7)
BBeeljl
(2.8)
CABABeeeeeABeeeCeee
ijklmijklmijkljikliklikl
(2.9)
ABC
ijkljikl
(2.10)
2.6指标的转换
对于张量
,若对该张量的分量中任意两个指标交换
次序,得到一个与原张量同阶的新张量。
如下式所示:
AeeeBeee
jikijkijkijk
(2.11)
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到,如下式所示:
AeeeAeeeBeeeijkjikjikijkijkijk
2.7张量的商法则
(2.12)
张量T,如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一
个p阶张量U,即在任意坐标系内以下等式
TSU
成立,则T必
定是一个p+q阶的张量。
以上规则称为张量的商法则。
3二阶张量
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量,例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。
3.1二阶张量的矩阵
(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式:
TTT
111213
TTTTT212223ij
313233
(3.1)
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系,但它们并非全能一一
对应。
首先,矩阵并非只包括方阵,而二阶张量只能对应方阵;
其次,在一般坐标系中,转置张量与转置矩阵、对称(或反对称)
张量与对称(或反对称)矩阵不能一一对应;
第三,二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。
(2)二阶张量T的转置张量TT为:
T
(T
)ggTggijijjii
(3.2)
(3)二阶张量的行列式
二阶张量对应的矩阵具有行列式值:
detTdetT
由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等,故两个互为转置
的张量的行列式相等
detTdetT
(4)二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运
算一一对应;
二阶张量与矢量的点积;
二阶张量与二阶张量的点
积。
以上运算都可以表示成对应的矩阵运算,但二阶张量的有些
运算没有相应的矩阵运算,例如并乘运算。
3.2几种特殊的张量
3.2.1零二阶张量
零二阶张量将任意矢量映射为零矢量,它是一种特殊的退化的二阶张量。
零二阶张量对应的矩阵为:
000
O000
Ou0
式中,左端的O是零二阶张量,右端的0为零矢量。
3.2.2度量(单位)张量G
(3.3)
(3.4)
100G010
001
gg
ijij
(3.5)
度量张量将任意矢量映射为原矢量,即:
Guu
(3.6)
度量张量与任意二阶张量的点积仍为该张量本身,即:
TGTTG
因此,有些书中将度量张量记作I或1。
3.2.3球形张量
(3.7)
主对角分量为α,其余分量为零的二阶张量称为球形张量。
它是数α与单位张量的数积,即:
SG
S
G
(3.8)
3.2.4转置张量
二阶张量
BBeeiji
由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所
得的新张量BBee
jiij
称为张量B的转置张量。
若同时转换二阶张
量B的分量指标和基矢顺序,结果仍为B。
三阶张量
三种不同的转置张量,任意对换i,j,k得到:
BBeeeijkijk
1
2
3
Beeeijkijk
Beeeikjijk
Beeekjiijk
(3.9)
3.2.5对称张量与反对称张量
对称张量,转置张量等于其自身的张量:
BB,BB
ji
反对
称张量,转置张量与其相反的张量:
BB,BB
三维二阶对
称张量的独立分量有6个,n维有
n(n1)/2
个。
反对称张量的主
对角分量为0。
三维二阶反对称张量的独立分量有3个,n维有
任意二阶张量B可以分解称为对称张量S和反对称张量A之和,即B=S+A
再有
B
S
A
SA
,得:
S(BB)2
(3.10)
A(BB2
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