工程力学组合变形汇总.docx
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工程力学组合变形汇总
10组合变形
Si
1、斜弯曲,弯扭,拉(压)弯,偏心拉伸(压缩)等组合变形的概念;
2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定;
如双向偏心拉伸,中性轴方程为
・2
3、危险点的应力计算,强度计算,变形计算、。
4、截面核心。
z\解题范例
10.1>定性分析图10.1示结构中各构件将发生哪些基本变形
图10.1
(a)AD杆时压缩、弯曲组合变形,BC杆是压缩、弯曲组合变形;AC杆不发生变
形。
(b)
AB杆是压弯组合变形,BC杆是弯曲变形。
(d)
AB是压缩弯曲组合变形,BC是压弯组合变形。
CD是弯曲变形,BD发生压缩变形,AB发生弯伸变形,BC发生拉弯组合变形。
(b)
-1
1
1
iL■空J
:
m
10.2
(b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
(c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.
(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。
(e)AB段:
受弯,弯曲变形,BC段:
弯曲。
(f)AB段:
受弯,弯曲变形,BC段:
压弯组合。
(g)AB段:
斜弯曲,BC段:
弯纽扭合。
10.3分析图10.3示构件中(AB、BC和CD)各段将发生哪些变形?
力。
设工字钢的自重可略去不计。
图10.4
取AB为研究对象,对A点取矩可得Fnbcy=12.5kN
Fnab=Fnbcx=空忑
2
分别作出
AB的轴力图和弯矩图:
kN
轴力作用时截面正应力均匀分布,c=
Fn(压)
A
弯矩作用时截面正应力三角形分布,CT=M
Wz
(下拉上压)
可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa(压
10.5如图10.5所示,截面为16a号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m,受集度为q的均布荷载作
用,q=2KN/m。
梁放在=20°的斜面上,试确定梁危险截面上A点和B点处的弯曲正应力。
图10.5
[解]双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、
12
Mzmax=—qlcosa=4.15kN^m
12=qlsin«=1.5kM•m
8
Wz=108cm3
I73.3cm4
z0=1.08cm
b=6.3cm
离中和轴最远的点是危险点
10.1矩形截面木檩条,跨度L=4m,荷载及截面尺寸如图10.6所示,木材为杉木,弯曲容
许应力[d]=12MPa,E=9X103MPa容许挠度为L/200,试验算穰条的强度和刚度。
图10.6
[解]⑴首先进行强度的校核:
先将q分解成为两个分量
qX=716N/m,qz=1430N/m,
二者对应最大弯矩分别为
Mxmax=1432N•m,Mzmax=2860N•m
tr]=12MPa
代入强度条件公式得
Mxmax/Wx+Mzmax/Wz=1053.MPaV
故强度条件满足.
y
1
z
2
£
7,
与qz相应的挠度fz=384Ej4=14.mm
可以认为刚度满足要求。
10.2由木材制成的矩形截面悬臂梁,在梁的水平对称面内受到力P1=1.6kN的作用,
截面为圆形,d=130mm,试求梁的横截面上的最大正应力。
图10.7
[解]P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩
My=Pi•!
=2x1.6=3.2kN•m
Mz=1xp2=1x0.8=0.8kN•m
都在梁固定端,截面上1、2两点是危险点
bmax—
叽+=14.82MPa(1
Wz
点为拉应力,2点为压应力)
梁的最大挠度在自由端
其值为
fy
P2G)3p2
(2)2
5P2I
3—+——2—•%=i2=1.5mm
2EI48EI
3EI
Pll
=39mm
3EI
所以最大挠度为
fmax=Jf2y+f2z=39.03mm
如果截面为圆形:
Wy=Wz丄D3
32
bmax
Mymax+MZmax
=15.3MPa(发生在固定端截面上)
10.3试分别求出图
10.8示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较(图中尺寸
单位为mm)。
㈤
图10.8
轴力N=P=350kN
M=P*e=350x0.05=14.5kN.m
立柱的外径D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的许用应力[d]=8MPa,试校核其强度。
bp
所以,不满足强度条件.
10.5起重机受力如图10.10,P1=3OkN,P2=22OkN,P3=60kN,
材料许用应力[d]=16OMPa,试设计其底部A--A处的直径。
[解]该杆为压弯组合变形,设底部A-A处直径D,柱底部所受的压应力有两部分
柱底部最大弯矩
Mmax=Pl1中P2I2—P3I3=468kN•m
由此弯矩产生的最大压力
由于匹?
若只考虑弯矩的作用解得
d=31cm
取d=40cm
10.6上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比d/D=0.9,试设计A-A处的直径。
[解]此题为压弯组合变形,将立柱在A-A处截开,合压力
F=R+巳=30+220+60=310kN
底部面积
22
A二^^^^=0.1502
弯矩
解得
杆的最大应力。
如产生力P的小车能在AB杆上移动,则又如何?
Mz=Rx10+P2x1.2-F3x1.6=30x10+220x1.2-60x1.6=468kNm
[解]AB杆产生压缩与弯曲组合变形
荷载移动到中点时弯矩最大,其值为Mmax^Nec^sin3Oo>M.5=125kN^m
10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[d]=1OOOMPa,试选择AB杆的截面尺寸。
32
选16号普通工字钢,Wz=141cm,A=26.1cm
即选16号普通工字钢,Wz=141cm3,A=26.1cm2.
10.9
图10.12示钻床,受力P=15kN,铸铁立柱的许用应力[d]=35MPa,试计算立柱所
需的直径
图10.12
为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得
^tmax
WZ
解得
d>12cm
取d=14cm
10.10砖砌烟囱,高H=30m,自重Q=2000kN,受水平风力q=2kN/m作用,如图10.13所
示。
如烟囱底部截面的外径D=3m时,内径d=2m,求烟囱底部截面上的最大压应力。
图10.13
[解]由自重引起的压应力大小为
—Q=0.509xMPa
A
烟囱底部截面上的弯距大小为
125
Mma^=—ql=9.0x10N•m
cTmax+^^—0.92MPa
AW
10.11如图10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN,屋架传给柱顶的
水平力Q=8KN,以及风载荷q=1kN/m的作用,P力的作用线离底部柱的中心线的距离
e=0.4m,柱子底部截面尺寸为imx0.3m,试计算柱底部的危险点的应力。
图10.14
—)(右侧边缘受压)
A
Q作用下:
在均布荷载的作用:
qx|天丨/2
W(右侧边缘受压)
危险点的应力为:
%=Fc+cr2t+吗
10.11如图10.15,功率N=8.8kW的电动机轴以转速的直径D=250mm,胶带轮重力G=70ON。
轴可看成长度
A-A
Nk3
Mn=9.55x」=0.105x10N•m
n
D
(2T-TT=Mn
可解得:
T=840N轴所受荷载分解x,y两个方向,其值为
o
Py=G+3Txsin45=2481.64N
py=3Tcos450=1781.64N
二者合力
P=Jpx+py=73.052N
危险载的处最大弯矩
Mmax=pL=0.366kN*m
由些弯矩产生的最大正压力
_Mmax
3max—
Wz
轴产生弯扭变形,由扭矩M产生的最大切应力
Mt_M忌ax~~,
WpWp
用最大切应力理论:
耳3=J^max+4fmax
代入后得
Jm2+m2
Wz
兰2]
Tid
[b]
可解得d=157mm.
d=40mrn,胶带轮直径D=30Omm,轮
10.21如图10.16,电动机带动一胶带轮轴,轴直径
胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,
重G=6OON。
若电动机功率N=14KW,转速n=980r/min.
[解]
轴的[(T
Mn=9.55X叫=136.43N•mn
=(T-t)D/2
令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2,于是可解得
T=1819N,t=909N
危险截面处最大弯距
Mmax=4PL
4
#(1819+909+600尸0.8=665.6Nm
最大扭转切应力
tmax
Mn
=52.99MPa,Wp
代入第三强度理论公式得
Jc+4T=149.88MPa>丘]=120MPa
不符合要求.
10.22卷扬机轴为圆形截面,直径d=30mm,其它尺寸如图10.17示。
许用应力
[解]支反力R^RB=P/2
设C点在轴与轮交点处,外力距
Ta=T・R
Tc=PxD/2
图10.17
Tmax=^=业,Wp=2Wz
maxwpwppz
根据第三强度理论可得
纹影响,螺杆可近似看作d=40mm的等截面圆杆。
[解]螺杆弯、压、扭组合变形,危险截面处的弯距
max
Mmax=We=200N•m
=31.79+31.85=63.64MPa(压力)WA
危险截面处的扭距
Mn=PI=160N5
^max—
Wp
用最大扭转切应力理论进行校核
JcT2+4t2=68.54MPa 满足要求. 10.24图10.19示钢制圈轴上有两个齿轮,齿轮C上作用着铅直切线力Pi=5kN,齿轮 D上作用着水平切线力P2=IOkN。 若[d]=100MPa,齿轮C直径dc=30Omm,齿轮D直径 dD=150mm。 试用第四强度理论求轴的直径。 4 Wp M_Jmzmax中Mymax 由第四强度理论: b「7;^=jM2+0.75Mn2 WZ Jm2+0.75M: 3J pl 上式中的Mn=RX亠=0.75kN•m 2 Mymax=1.125kN呵 Mz=0.19kN.m,M=1.14kNm 解得 10.25如图10.20所示电动机功率N=6kW,转速n=1430r/min,胶带水平张力T=1kN, 电动机轴和电枢重G=94N,单边磁拉力R=60ON(铅直平面),轴材料为30号 钢,[(T]=74MPa。 试按第三强度理论校核轴的强度。 图10.20 [解]计算简图如10.21示,由分析得,外力矩 T=9.55^出=9.55严10=40N•m n1430 剪应力为: T=工=40(兀D3/16)=40咒16/(3.14咒0.0283)=9.26MPaWp M57X32 C截面有: XWM^^3.14X0.028^26.5MPa ,-rtT 图10.21 按第三强度理论 加+4『=J26.42+4咒9.32=32.25MPa<74MPa 10.26有一术质拉杆如图10.22所示,截面原为边长a的正方形,拉力P与杆轴重合。 力。 这个最大拉应力是截面削弱以前的拉应力值的几倍。 图10.22 [解]未削弱之前,拉应力为 Aa2 由弯矩引起的最大拉应力 所以 Wz 8P 2 a 10.27受拉构件形状如图10.23所示,已知截面尺才为40mmX5mm,通过轴线的拉力 [d]=10OMPa时,试确定切口的容 P=12kNo现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的 许最大深度 并绘出切口截面的应力变化图。 A 5 A-n 图10.23 设槽深为x Wz 10.28 应力[ 即: M=Px/2a'=(h-X)占…b.. 得x<5.2X10'm 一圆截面直杆受偏心拉力作用,其偏心距e=20mm,杆的直径为70mm,容许拉 d]=120MPa,试求此杆容许承受的偏心拉力。 解]分析有 PX0.02 32 1/32兀X(0.07)1/4兀(0.07) 兰120天106 计算可得偏心拉力为: P=140.5kN.
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