初三数学第29章 几何的回顾小结与复习知识精讲华东师大版文档格式.docx
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互相平分且相等
既是中心对称图形又是轴对称图形
菱形
对边平行,四条边相等
互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角
正方形
互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角
等腰梯形
两底平行,两腰相等
同一底上的两个内角相等
相等
轴对称图形
2.几种特殊四边形的常用识别方法
从边的角度
从角的角度
从对角线的角度
⑴两组对边平行
⑵两组对边相等
⑶一组对边平行且相等
两组对角相等
两条对角线互相平分
直接识别
间接识别
四个角是直角
⑴有一个角是直角的平行四边形;
⑵对角线相等的平行四边形
四条边相等
⑴一组邻边相等的平行四边形
⑵对角线垂直的平行四边形
⑴一组邻边相等的矩形
⑵有一个角是直角的菱形
⑴同一底边上的两个角相等的梯形
⑵对角线相等的梯形
【典型例题】
例1.如图所示,在△ABC中,∠A=50°
,
如图⑴△ABC的两条高BD、CE交于O点,求∠BOC的度数
如图⑵△ABC的两条角平分线BM、CN交于P,求∠BPC的度数
分析:
⑴题中,由高可知有直角,由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得.⑵题中,由角平分线定义及三角内角和定理可求得∠BPC.
⑴⑵
解:
⑴方法一:
∵∠BDC=90°
∴∠1=90°
-∠BCA同理∠2=90°
-∠ABC
∵∠ABC+∠ACB=180°
-50°
=130°
∴∠BOC=180°
-(∠1+∠2)
=180°
-(90°
-∠ABC+90°
-∠ACB)
-180°
+∠ABC+∠ACB=130°
方法二:
∵BD,CD为△ABC的高
∴∠BDA=∠CEA=90°
∵∠A=50°
∴在四边形AEOD中∠DOE=360°
+90°
+50°
)=130°
∴∠BOC=∠DOE=130°
⑵∵BM,CN分别为△ABC的角平分线
∴∠1=
∠ABC∠2=
∠ACB
∴∠ABC+∠ACB=180°
∵∠BPC=180°
-(
∠ABC+
∠ACB)
-
(∠ABC+∠ACB)
×
30°
=115°
题后反思:
凡是求角度的题,一般都离不开三角形(多边形)内角和定理,设法利用这些去推出等式关系.题中因涉及到高线,别忘了两锐角互余,遇到角平分线要合理利用其倍分关系.
例2.如图所示,四边形ABCD中,∠A=90°
,且AB2+AD2=BC2+CD2.
求证:
∠B与∠D互补.
分析:
欲证∠B与∠D互补,只证∠A与∠C互补即可,且知∠A=90°
故只证∠C=90°
,根据题设中条件,可利用勾股定理及逆定理证明之,故连结BD,构造直角三角形.
证明:
连结BD
∵∠A=90°
∴AB2+AD2=BD2
又∵AB2+AD2=BC2+CD2.∴BD2=BC2+CD2∴∠C=90°
在四边形ABCD中,∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
∴∠ABC+∠ADC=360°
即∠B与∠D互补
例3.如图所示,∠B=∠BCD=90°
,AD交BC于E且ED=2AC.
∠CAD=2∠DAB.
分析:
由于AB∥CD,故欲证∠D=∠BAD,只需证出∠CAD=2∠D即可.联想构造出以∠D为底角的等腰三角形,且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于∠CAD,则问题就解决了.已知ED=2AC,而AC与ED没有直接联系,可在Rt△DCE中构造斜边DE上中的线.
证明:
取DE中点F连结CF
在Rt△DCE中DE=2CF=2DF又已知DE=2AC
所以AC=CFCF=DF
因为∠1=∠D∠2=∠CAD
所以∠2=∠1+∠D=2∠D
所以∠CAD=2∠D
因为∠B=∠BCD=90°
所以AB∥CD所以∠DAB=∠D
所以∠CAD=2∠DAB
本题还是体现了将分散条件集中:
在直角三角形中通过斜边中线构造出线段关系.
例4.已知:
如图所示,在ABC中,AB=AC,∠A=120°
,AB边的垂直平分线交BC于D.
DC=2BD.
由于DC,BD在同一直线上,欲证DC=2BD,表面看似不易,但题中给出AB的中垂线,则可以利用中垂线的性质,去转移等量线段.故连结AD,这样BD=AD,证明DC=2AD即可,而DC,AD在同一三角形中,且已知∠A=120°
可求∠B=∠C=30°
.将这些问题转化成含30°
角的直角三角形性质.
连结AD
因为D在AB垂直平分线上.
所以BD=AD
所以∠B=∠1
因为∠BAC=120°
AB=AC
所以∠B=∠C=30°
所以∠DAC=90°
在Rt△DAC中∠C=30°
则DC=2AD
所以DC=2BD
证明一条线段等于另一条线段的2倍,除了已经学的折平法和加倍法外,还可用含30°
角的直角三角形的性质;
三角形中位线,直角三角形斜边中线等方法,见到线段的垂直平分线,就想到利用它转移等量线段.
例5.已知:
如图所示,ABCD为菱形,通过它的对角线的交点O作AB,BC的垂线,与AB,BC,CD,AD分别相交于点E,F,G,H.求证:
四边形EFGH为矩形.
证明四边形EFGH为矩形有几个方法.而已知EFGH的对角线都通过AC,BD的交点O,并且各垂直于菱形的两组对边,所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形.由于OE⊥AB,OH⊥AD,所以立即看出OE=OH.这样EFGH明显是矩形了.
如图所示,由于OA平分∠BAD,并且OE⊥AB,OH⊥AD,由角平分线的性质知道OE=OH.同理,OE=OF,OF=OG,OG=OH.
所以EFGH的对角线EG,FH互相平分并且相等,所以EFGH为矩形.
例6.已知:
如图所示,ABCD为矩形,CE⊥BD于点E,∠BAD的平分线与直线CE相交于点F,求证:
CA=CF.
分析一:
如图所示,由于CA,CF是△CAF的两边,因此要证明CA=CF,可试证∠CFA=∠CAF,由于CF⊥BD.因此作AG⊥BD于点G,则AG∥CF,从而∠CFA=∠FAG.于是问题转化为证明∠FAG=∠CAF.但已知AF是∠BAD的平分线,因此问题又转化为证明∠BAG=∠CAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了.
证法一:
如图所示,作AG⊥BD于点G,∠BAG与∠ABD互余,∠CAD=∠ADB与∠ABD互余,所以∠CAD=∠BAG.
而AF平分∠BAD.
所以∠CAF=∠FAG.
由于AG∥CF,
所以∠CFA=∠FAG,
从而∠CFA=∠CAF.
所以CA=CF.
分析二:
证明∠CFA=∠CAF还可以考虑用计算的方法进行.设∠CAD=∠BDA=a,则∠ACE=90°
-∠COD=90°
-2a.
而∠CAF=∠DAF-∠CAD=45°
-a.
所以∠CFA=45°
问题解决了.
证明:
(略)
例7.已知:
如图所示,在四边形ABCD中,AC=BD,∠BAC=∠ABD,求证:
四边形ABCD是等腰梯形.
在四边形ABCD中,AC=BD,因此只需证明DC∥AB,从C,D分别向AB上引垂线段CH,DK,只需证明CH=DK.即可利用全等三角形证明.
如图,从C,D分别向AB引垂线段CH,DK.在△ACH和△BDK中,AC=BD,∠HAC=∠KBD,∠CHA=∠DKB=90°
,所以△ACH≌△BDK.从而CH=DK,并且CH∥DK,所以CDKH为矩形,从而DC∥AB,即ABCD为梯形.又对角线AC=BD,所以ABCD为等腰梯形.
例8.已知:
如图所示,四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,AD的延长线、BC的延长线分别与直线MN相交于点P,Q.求证:
∠APM=∠BQM.
分析一:
如图(a),已知M为AB的中点,N为CD的中点,要求证∠APM=∠BQM,因此可考虑用三角形中位线定理.但AB,CD并不是同一三角形的边,连结线段AC,则AB、CD分别为△ACD和△ABC的边,而AC是这两个三角形的公共边,若取AC的中点S,连结线段SN,MS,则SN
AD,MS
BC.
这时∠SNM=∠APM,∠SMN=∠BQM,因此只需证明∠SNM=∠SMN.SM=SN.但因AD=BC,所以SM=SN.问题得到证明.
如图(b)若将DN平移到AE,平移CN到BF,则得平行四边形ADNE和BCNF.于是∠ENM=∠APM,∠FNM=∠BQM,因此只需证明∠ENM=∠FNM.由于AE
DN,BF
CN,所以AE
BF.从而AB与EF互相平分于M.
在△NEF中,NE=AD=BC=NF,而NM为EF上的中线,所以∠ENM=∠FNM.问题得到证明.
例9.已知:
如图所示,在正方形ABCD中,∠PAB=∠PBA=15°
.
△PCD是等边三角形.
因为∠PAB=∠PBA=15°
所以∠APB=180°
-15°
2=150°
所以∠3+∠4+∠DPC=210°
①
又∠1=90°
=∠2,AD=BC,AP=BP
所以△APD≌△BPC
所以PD=PC∠5=∠6
故欲证PD=PC=CD,只须证PD=CD.
假设PD≠CD,那么PD>
CD或PD<
CD.
当PD>
CD=AD时,得∠1>
∠3,∠6>
∠DPC.
所以∠3+∠4<
150°
②
所以由①、②得∠DPC>
60°
所以∠5+∠6+∠DPC>
180°
,与三角形内角和定理相矛盾.
当PD<
CD=AD时,同理可证
∠5+∠6+∠DPC<
,与三角形内角和定理相矛盾,故假设PD≠CD不成立.
所以PD=PC=CD.即△PCD是等边三角形.
由本例证明过程可以看出,利用反证法证题时,不一定开始就用反证法,有时先利用直接证法做些必要的准备,然后再运用反证法继续证明.
【模拟试题】
(答题时间:
60分钟)
一、选择题:
1.如图1所示,AB∥CD,EG⊥AB,若∠1=58°
,则∠E的度数等于()
A.122°
B.58°
C.32°
D.29°
(1)
(2)(3)(4)
2.如图2所示,DE∥BC,EF∥AB,图中与∠BFE互补的角共有()
A.3个B.2个C.5个D.4个
3.在△ABC中,若∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,则a:
b:
c=()
A.1:
3B.1:
C.1:
:
2D.不能确定
4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是()
A.30°
B.60°
C.30°
或150°
D.不能确定
5.如图3所示,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那最省事的办法是()
A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
6.等腰三角形周长是32cm,一边长为10cm,则其他两边的长分别为()
A.10cm,12cm;
B.11cm,11cm;
C.11cm,11cm或10cm,12cmD.不能确定
7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长,那么它的最小内角为()
A.10°
B.20°
C.30°
D.60°
8.如图4所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC,BD相交于点O,则图中全等三角形共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
9.矩形ABCD中,E在AD上,AE=ED,F在BC上,若EF把矩形ABCD的面积分为1:
2,则BF:
FC=()(BF<
FC)
3B.1:
4C.1:
5D.2:
9
10.梯形的一腰长为10cm,这腰和底边所成的角为30°
,中位线长12cm,则此梯形的面积为()
A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2
11.已知四边形ABCD中,AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是()
A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形
二、填空题:
12.如图所示,直线AB、CD被直线EF所截,若∠1=∠2,则∠AEF+∠CFE=____度.
13.若等腰三角形的两边长分别为3和4,则其周长为_________.
14.等腰三角形一个内角为80°
,则其他两角是_________.
15.已知三角形的三个内角的度数比为2:
3:
4,则这个三角形三个内角的度数为________.
16.三角形两边的长分别为5和7,则最短边长的取值范围是_________.
17.三角形的一个外角是100°
,则与它不相邻的两内角平分线夹角(钝角)是______度.
18.如果△ABC≌△A′B′C′,AB=24,
=180,那么△ABC中AB边上的高是____.
19.等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为6cm和15cm两部分,则它的腰长是________,底边长为________.
20.若平行四边形的周长是100cm,且一组邻边的差是30cm,则较短的边长是___cm;
若平行四边形的周长为56cm,两条邻边的比是4:
3,则较长边是_____cm.
21.已知菱形的一条对角线的长为12cm,面积是30cm2,则这个菱形的另一条对角线的长为________cm.
22.命题“如果一个四边形的四条边都相等,那么这个四边形是菱形”的逆命题是_________________________________________________.
23.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于O点,
=1:
9,则
=___________.
24.等腰梯形的中位线长为8cm,腰长为6cm,则梯形的周长是________.
三、解答题:
25.已知一个多边形的内角和等于1080°
,求这个多边形的边数.
26.如图所示,△ABD、△ACE都是等边三角形,求证:
CD=BE.
27.已知:
如图所示,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F,G、H分别为OA、OC的中点.求证:
四边形EHFG是平行四边形.
28.已知:
如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD相交于点E,且AC=AB,BD=BC,BA⊥AC于点A,求证:
CD=CE.
29.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是AB上任意一点,且BD=CE,连结DE交BC于F.
FD=FE.
30.如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个等边三角形.
(1)求证四边形ADEF是平行四边形.
(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?
是矩形?
(3)这样的□ADEF是否总是存在?
参考答案
http:
//
1.C2.D3.C4.C5.C6.C7.C8.C9.C10.D
11.B
12.18013.10或1114.80°
,20°
或50°
,50°
15.40°
,60°
,80°
16.大于2且小于或等于517.13018.1519.10cm,1cm
20.10,1621.5
22.如果一个四边形是菱形,那么它的四条边都相等.23.1:
3
24.28cm
25.解:
设这个多边形是n边形,由题意知,(n-2)×
=1080°
∴n=8,故该多边形的边数为8.
26.证明:
∵△ABD,△ACE都是等边三角形,
∴AC=AE,AD=AB,
∵∠EAC=∠DAB=60°
∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC,
即∠EAB=∠CAD.
在△EAB和△CAD中,
AE=AC,∠EAB=∠CAD,AB=AD,
∴△EAB≌△CAD.
∴BE=CD.
27.证明:
如答图所示,
∵点O为□ABCD对角线AC,BD的交点,
∴OA=OC,OB=OD.
∵G,H分别为OA,OC的中点,
∴OG=
OA,OH=
OC,
∴OG=OH.
又∵AB∥CD,
∴∠1=∠2.
在△OEB和△OFD中,
∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4,
∴△OEB≌△OFD,
∴OE=OF.
∴四边形EHFG为平行四边形.
28.证明:
作AN⊥BC于N,DM⊥BC于M,
∵AB=AC,∴AN为BC的中线,
又∵∠BAC=90°
∴AN=
∵AN⊥BC,DM⊥BC,AD∥BC,
∴四边形ANMD为矩形.
∴AN=DM.∴DM=
∵BC=BD,∴DM=
BD.
又∵∠DMB=90°
∴∠DBC=30°
∴∠BDC=∠BCD=75°
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠ACB=45°
∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°
+45°
=75°
∴∠EDC=∠DEC=75°
∴CD=CE.
29.证明:
过D作DH∥AC交BC于H,
则∠ACB=∠DHB,DH∥CE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠DHB,
∴DB=DH.
∵BD=CE,∴DH=CE.
∵DH∥CE,
∴△HDF∽△CEF.
∴
即FD=FE.
30.证明:
(1)∵△ABD,△BCE,△ACF都是等边三角形,
∴AB=BD=AD,∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°
BC=BE=CE,AC=AF=FC.
∵∠ABD=∠EBC=60°
∴∠ABD-∠ABE=∠EBC-∠ABE.
∴∠DBE=∠ABC,
∴△DBE≌△ABC,
∴DE=AC.
∵AC=AF,∴DE=AF.
同理可得,△EFC≌△BAC,得EF=AB,
∴EF=AD,
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)解:
当AB=AC时,四边形ADEF是菱形,理由如下:
∵AB=AD,AF=AC,
又AB=AC,∴AD=AF.
又∵四边形ADEF为平行四边形,
∴□ADEF是菱形.
当∠BAC=150°
时,四边形ADEF是矩形.
理由如下:
∵∠BAD=∠CAF=60°
,∠BAC=150°
,∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°
∠DAF=90°
又∵四边形ADEF是平行四边形,
∴四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°
时,不存在这样的□ADEF.理由如下:
∵当∠BAC=60°
时,
有∠DAF=60°
+60°
=180°
即D,A,F三点在同一直线上时,不存在这样的□ADEF.
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