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MbookMATLAB3
第3章MATLAB符号计算
符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。
MATLAB具有符号数学工具箱(SymbolicMathToolbox),将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。
符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1符号表达式的建立
SymbolicMathToolbox2.1版规定在进行符号计算时,首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式,用sym命令来创建符号常量。
语法:
sym(‘常量’)%创建符号常量
例如,创建符号常量,这种方式是绝对准确的符号数值表示:
>>a=sym('sin
(2)')
a=
sin
(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法:
sym(常量,参数)%把常量按某种格式转换为符号常量
说明:
参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’四种格式,也可省略,其作用如表3.1所示。
表3.1参数设置
参数
作用
d
返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f
返回该符号值最接近的浮点表示
r
返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式),可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e
返回最接近的带有机器浮点误差的有理值
例如,创建符号常量,这种方式是绝对准确的符号数值表示:
a=sym('sin
(2)')
a=
sin
(2)
例如,把常量转换为符号常量,按系统默认格式转换:
a=sym(sin
(2))
a=
8190223105242182*2^(-53)
【例3.1】创建数值常量和符号常量。
a1=2*sqrt(5)+pi%创建数值常量
a1=
7.6137
a2=sym('2*sqrt(5)+pi')%创建符号表达式
a2=
2*sqrt(5)+pi
a3=sym(2*sqrt(5)+pi)%按最接近的有理数型表示符号常量
a3=
8572296331135796*2^(-50)
a4=sym(2*sqrt(5)+pi,'d')%按最接近的十进制浮点数表示符号常量
a4=
7.6137286085893727261009189533070
a31=a3-a1%数值常量和符号常量的计算
a31=
0
a5='2*sqrt(5)+pi'%字符串常量
a5=
2*sqrt(5)+pi
可以通过查看工作空间来查看各变量的数据类型和存储空间,工作空间如图3.1所示。
3.1.2创建符号变量和表达式
创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。
1.使用sym命令创建符号变量和表达式
语法:
sym(‘变量’,参数)%把变量定义为符号对象
说明:
参数用来设置限定符号变量的数学特性,可以选择为’positive’、’real’和’unreal’,’positive’表示为“正、实”符号变量,’real’表示为“实”符号变量,’unreal’表示为“非实”符号变量。
如果不限定则参数可省略。
【例3.2】创建符号变量,用参数设置其特性。
symsxyreal%创建实数符号变量
z=x+i*y;%创建z为复数符号变量
real(z)%复数z的实部是实数x
ans=
x
sym('x','unreal');%清除符号变量的实数特性
real(z)%复数z的实部
ans=
1/2*x+1/2*conj(x)
程序分析:
设置x、y为实数型变量,可以确定z的实部和虚部。
语法:
sym(‘表达式’)%创建符号表达式
【例3.2续】创建符号表达式。
f1=sym('a*x^2+b*x+c')
f1=
a*x^2+b*x+c
2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法:
syms(‘arg1’,‘arg2’,…,参数)%把字符变量定义为符号变量
symsarg1arg2…,参数 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
说明:
syms用来创建多个符号变量,这两种方式创建的符号对象是相同的。
参数设置和前面的sym命令相同,省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
【例3.2续】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
symsabcx%创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c%创建符号表达式
f2=
a*x^2+b*x+c
syms('a','b','c','x')
f3=a*x^2+b*x+c;%创建符号表达式
程序分析:
既创建了符号变量a、b、c、x,又创建了符号表达式,f2、f3和f1符号表达式相同。
3.1.3符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
A=sym('[a,b;c,d]')
A=
[a,b]
[c,d]
例如,使用syms命令创建相同的符号矩阵:
symsabcd
A=[ab;cd]
A=
[a,b]
[c,d]
【例3.3】比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym('[a,b;c,d]')%创建符号矩阵
A=
[a,b]
[c,d]
B='[a,b;c,d]'%创建字符串矩阵
B=
[a,b;c,d]
C=[a,b;c,d]%创建数值矩阵
?
?
?
Undefinedfunctionorvariable'a'.
程序分析:
由于数值变量a、b、c、d未事先赋值,MATLAB给出错误信息。
C=sym(B)%转换为符号矩阵
C=
[a,b]
[c,d]
whos
NameSizeBytesClass
A2x2312symobject
B1x918chararray
C2x2312symobject
Grandtotalis25elementsusing642bytes
程序分析:
查看符号矩阵A,可以看到为2×2的符号矩阵,占用较多的字节。
3.2符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点:
▪传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制,它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法,因此每一次运算都会有一定的截断误差,重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。
符号运算不需要进行数值运算,不会出现截断误差,因此符号运算是非常准确的。
▪符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
▪符号运算的时间较长,而数值型运算速度快。
3.2.1符号表达式的代数运算
符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。
1.符号运算中的运算符
(1)基本运算符
▪运算符“+”,“-”,“*”,“\”,“/”,“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
▪运算符“.*”,“./”,“.\”,“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂,即数组间元素与元素的运算。
▪运算符“′”,“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
(2)关系运算符
▪在符号对象的比较中,没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念,而只有是否“等于”的概念。
▪运算符“==”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。
当为“真”时,比较结果用1表示;当为“假”时,比较结果则用0表示。
2.函数运算
(1)三角函数和双曲函数
三角函数包括sin、cos、tan;双曲函数包括sinh、cosh、tanh;三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外,其余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同。
(2)指数和对数函数
指数函数sqrt、exp、expm的使用方法与数值计算的完全相同;对数函数在符号计算中只有自然对数log(表示ln),而没有数值计算中的log2和log10。
(3)复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。
但注意,在符号计算中,MATLAB没有提供求相角的命令。
(4)矩阵代数命令
MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag,triu,tril,inv,det,rank,poly,expm,eig等,它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样。
【例3.4】求矩阵
的行列式值、非共轭转置和特征值。
symsa11a12a21a22
A=[a11a12;a21a22]%创建符号矩阵
A=
[a11,a12]
[a21,a22]
det(A)%计算行列式
ans=
a11*a22-a12*a21
A.'%计算非共轭转置
ans=
[a11,a21]
[a12,a22]
eig(A)%计算特征值
ans=
[1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')
f=
2*x^2+3*x+4
g=sym('5*x+6')
g=
5*x+6
f+g%符号表达式相加
ans=
2*x^2+8*x+10
f*g%符号表达式相乘
ans=
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1.SymbolicMathToolbox中的算术运算方式
在SymbolicMathToolbox中有三种不同的算术运算:
▪数值型:
MATLAB的浮点运算。
▪有理数型:
Maple的精确符号运算。
▪VPA型:
Maple的任意精度运算。
2.任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法:
digits(n)%设定默认的精度
说明:
n为所期望的有效位数。
digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度,随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。
当有效位数增加时,计算时间和占用的内存也增加。
命令“digits”用来显示默认的有效位数,默认为32位。
语法:
S=vpa(s,n)%将s表示为n位有效位数的符号对象
说明:
s可以是数值对象或符号对象,但计算的结果S一定是符号对象;当参数n省略时则以给定的digits指定精度。
vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算,并以同样的精度显示计算结果,但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式
进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')
a=
2*sqrt(5)+pi
digits%显示默认的有效位数
Digits=32
vpa(a)%用默认的位数计算并显示
ans=
7.6137286085893726312809907207421
vpa(a,20)%按指定的精度计算并显示
ans=
7.6137286085893726313
digits(15)%改变默认的有效位数
vpa(a)%按digits指定的精度计算并显示
ans=
7.61372860858937
3.SymbolicMathToolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1=2/3%数值型
a1=
0.6667
a2=sym(2/3)%有理数型
a2=
2/3
a3=vpa('2/3',32)%VPA型
a3=
.66666666666666666666666666666667
程序分析:
▪三种运算方式中数值型运算的速度最快。
▪有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的,产生的结果是非常准确的。
▪VPA型的任意精度符号运算比较灵活,可以设置任意有效精度,当保留的有效位数增加时,每次运算的时间和使用的内存也会增加。
▪数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数,在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。
如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数:
formatlong
a1
a1=
0.66666666666667
3.2.3符号对象与数值对象的转换
1.将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象,vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
2.将符号对象转换为数值对象
使用double、numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法:
N=double(S)%将符号变量S转换为数值变量N
N=numeric(S)%将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量
与数值变量进行转换。
clear
a1=sym('2*sqrt(5)+pi')
a1=
2*sqrt(5)+pi
b1=double(a1)%转换为数值变量
b1=
7.6137
a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)
a2=
7.6137286085893726312809907207421
b2=numeric(a2)%转换为数值变量
b2=
7.6137
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval(a1)
b3=
7.6137
用“whos”命令查看变量的类型,可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型:
whos
NameSizeBytesClass
a11x1148symobject
a21x1190symobject
b11x18doublearray
b21x18doublearray
b31x18doublearray
Grandtotalis50elementsusing362bytes
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1.自由变量的确定原则
,MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量:
▪小写字母i和j不能作为自由变量。
▪符号表达式中如果有多个字符变量,则按照以下顺序选择自由变量:
首先选择x作为自由变量;如果没有x,则选择在字母顺序中最接近x的字符变量;如果与x相同距离,则在x后面的优先。
▪大写字母比所有的小写字母都靠后。
2.findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量,可以用findsym函数来自动确定。
语法:
findsym(EXPR,n)%确定自由符号变量
说明:
EXPR可以是符号表达式或符号矩阵;n为按顺序得出符号变量的个数,当n省略时,则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')
f=
a*x^2+b*x+c
findsym(f)%得出所有的符号变量
ans=
a,b,c,x
g=sym('sin(z)+cos(v)')
g=
sin(z)+cos(v)
findsym(g,1)%得出第一个符号变量
ans=
z
程序说明:
符号变量z和v距离x相同,以在x后面的z为自由符号变量。
3.3.2符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式,例如以下的f(x)就可以分别表示为:
▪多项式形式的表达方式:
f(x)=x3+6x2+11x-6
▪因式形式的表达方式:
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)
▪嵌套形式的表达方式:
f(x)=x(x(x-6)+11)-6
【例3.9】三种形式的符号表达式的表示。
f=sym('x^3-6*x^2+11*x-6')%多项式形式
f=
x^3-6*x^2+11*x-6
g=sym('(x-1)*(x-2)*(x-3)')%因式形式
g=
(x-1)*(x-2)*(x-3)
h=sym('x*(x*(x-6)+11)-6')%嵌套形式
h=
x*(x*(x-6)+11)-6
1.pretty函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
pretty(f)
32
x-6x+11x-6
2.collect函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
collect(g)
ans=
x^3-6*x^2+11*x-6
当有多个符号变量,可以指定按某个符号变量来合并同类项。
下面有x、y符号变量的表达式:
f1=sym('x^3+2*x^2*y+4*x*y+6')
f1=
x^3+2*x^2*y+4*x*y+6
collect(f1,'y')%按y来合并同类项
ans=
(2*x^2+4*x)*y+x^3+6
3.expand函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
expand(g)
ans=
x^3-6*x^2+11*x-6
4.horner函数
【例3.9续】给出符号表达式的嵌套形式。
horner(f)
ans=
x*(x*(x-6)+11)-6
5.factor函数
【例3.9续】给出符号表达式的因式形式。
factor(f)
ans=
(x-1)*(x-2)*(x-3)
6.simplify函数
【例3.9续】利用三角函数来简化符号表达式cos2x-sin2x。
y=sym('cos(x)^2-sin(x)^2')
y=
cos(x)^2-sin(x)^2
simplify(y)
ans=
2*cos(x)^2-1
7.simple函数
simple函数给出多种简化形式,给出除了pretty、collect、expand、factor、simplify简化形式之外的radsimp、combine、combine(trig)、convert形式,并寻求包含最少数目字符的表达式简化形式。
【例3.9续】利用simple简化符号表达式cos2x-sin2x。
simple(y)
simplify:
2*cos(x)^2-1
radsimp:
cos(x)^2-sin(x)^2
combine(trig):
cos(2*x)
factor:
(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x))
expand:
cos(x)^2-sin(x)^2
combine:
cos(2*x)
convert(exp):
(1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x))^2+1/4*(exp(i*x)-1/exp(i*x))^2
convert(sincos):
cos(x)^2-sin(x)^2
convert(tan):
(1-tan(1/2*x)^2)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2-4*tan(1/2*x)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2
collect(x):
cos(x)^2-sin(x)^2
ans=
cos(2*x)
程序分析:
得出最简化的符号表达式为“cos(2*x)”。
3.3.3符号表达式的替换
1.subexpr函数
语法:
subexpr(s,s1)%用符号变量s1来置换s中的子表达式
subexpr函数对子表达式是自动寻找的,只有比较长的子表达式才被置换,比较短的子表达式,即使重复出现多次,也不被置换。
【例3.10】用subexpr函数使
的特征值表达式简洁。
symsabcdx
s=eig([ab;cd])%计算特征值
s=
[1/2*a+1/2*d+1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
[1/2*a+1/2*d-1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
subexpr(s,x)%用x替换子表达式
ans=
[1/2*a+1/2*d+1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
[1/2*a+1/2*d-1/2*(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)]
2.subs函数
subs函数可用来进行对符号表达式中符号变量的替换。
语法:
subs(s)%用给定值替换符号表达式s中的所有变量
subs(s,new)%用new替换符号表达式s中的自由变量
subs(s,old,new)%用new替换符号表达式s中的old变量
【例3.10续】用subs函数对符号表达式(x+y)2+3(x+y)+5进行替换。
f=sym('(x+y)^2+3*(x+y)+5')%创建符号表达式
f=
(x+y)^2+3*(x+y)+5
x=5;
f1=subs(f)%用工作空间的给定值替换x
f1=
(5+y)^2+20+3*y
f2=subs(f,'x+y','s')%用s替换x+y
f2=
((s))^2+3*((s))+5
f3=subs(f,'x+y',5)%用常数5替换x+y
f3=
45
f4=subs(f,'x','z')%用z替换x
f4=
((z)+y)^2+3*((z)+y)+5
3.3.4求反函数和复合函数
在MATLAB中finverse函数可以求得符号函数的反函数。
语法:
finverse(f,v)%对指定自变量v的函数f(v)求反函数
说明:
当v省略,则对默认的自由符号变量求反函数。
1.求反函数
【
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