自考高等数学一复习指导Word文档下载推荐.docx
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(4)函数极限的性质
唯一性四则运算法则夹通定理
(5)无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的性质无穷小量的阶
(6)两个重要极限
(1)理解极限的概念(对极限定义中“”、“”、“”等形式的描述不作要求)。
会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续
(1)函数连续的概念
函数在一点处连续的定义左连续与右连续函数在一点处连续的充分必要条件函数的间断点及其分类
(2)函数在一点处连续的性质
连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质
有界性定理最大值与最小值定理介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
(1)理解函数在一点处连续与间断的概念,理解函数在一点处连续与极限存在的关系,掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
(2)会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质,会用介值定理推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性,会利用连续性求极限。
一、单项选择题
1下列集合中为空集的「」
A{}
B{0}
C0D{x|x2+1=0,x∈R}
「答案」选D
「解析」因为A、B分别是由空集和数零组成的集合,因此是非空集合;
0是一个数,不是集合,故C也不是空集。
在实数集合内,方程x2+1=0无解,所以D是空集
2设A={x|x2-x-6>
0},B={x|x-1≤1},
则A∩B=「」
A{x|x>
3}
B{x|x<
-2}
C{x|-2
「答案」选B
「解析」由x2-x-6>
0得x>
3或x<
-2,故A={x|x>
3或x<
-2};
由x-1≤1得x≤2,故B={x|x≤2},所以A∩B={x|x<
-2}。
3设A、B是集合{1,2,3,
4,
5,
6,
7,
8,9}的子集,且A∩B={1,
3,7,9},则A∪B是「」
A{2,4,5,6,8}
B{1,3,7,9}
C{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
D{2,4,6,8}
「答案」选A
「解析」由A∪B=A∩B={1,3,7,9},得A∪B={2,4,5,6,8}
4设M={0,1,2},N={1,3,5},R={2,4,6},则下列式子中正确的是「」
AM∪N={0,1}
BM∩N={0,1}
CM∪N∪R={1,2,3,4,5,6}
DM∩N∩R=(空集)
「解析」由条件得M∪N={0,1,2,3,5},M∩N={1},M∪N∪R={0,1,2,3,4,5,6},M∩N∩R=.
5设A、B为非空集合,那么A∩B=A是A=B的「」
A充分但不是必要条件
B必要但不是充分条件
C充分必要条件
D既不是充分条件又不是必要条件
「解析」若A=B,则任取x∈A有x∈B,于是x∈A∩B,从而AA∩B又A∩BA,故A∩B=A
反之不成立例A={1,2},B={1,2,3},显然A∩B=A,但A≠B
6设有集合E={x|-1
AB{-1,0,1}
C{0,1,10}
D{-1,0,1,10}
「答案」选C
「解析」因E∩F是集合E与F的公共元素的集合,故E∩F={0,1,10}
7函数f(x)=1lg|x-5|的定义域是「」
A(-∞,5)∪(5,+∞)
B(-∞,6)∪(6,+∞)
C(-∞,4)∪(4,+∞)
D(-∞,4)∪(4,5)∪(5,6)∪(6,+∞)
「解析」由对数的真数大于0,分母又不能为0可求得该函数的定义域由|x-5|>
0|x-5|≠1,得x>
5或x<
5
x≠4或x≠6
于是得到该函数的定义域为(-∞,4)∪(4,5)∪(5,6)∪(6,+∞)
8设f(x)在区间[0,1]上有定义,则fx+14+fx-14的定义域是「」
A[0,1]
B-14,54
C-14,14
D14,34
「解析」由0≤x+14≤1
0≤x-14≤1,得-14≤x≤34
14≤x≤54
其公共部分即为该函数的定义域,于是得该函数的定义域为14,34
9设f(x)的定义域是[0,4],则f(x2)的定义域是「」
A[0,16]
B[0,2]
C[-2,2]
D[-16,16]
「解析」由条件可得0≤x2≤4,|x|≤2,-2≤x≤2于是f(x2)的定义域为[-2,2]
10函数f(x)=lnxx-2的定义域是「」
A(-∞,0)
B(2,+∞)
C(0,2)
D(-∞,0)∪(0,+∞)
「解析」由条件知xx-2>
0且x≠2,得x>
2或x<
0故f(x)=lnxx-2的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞)
11函数f(x)=arcsinx-32+x-3x2-x-6的定义域是「」
A[1,5]
B[1,3)∪(3,5]
C[1,3)
D(3,5]
「解析」由-1≤x-32≤1
x2-x-6≠0,得1≤x≤5且x≠3,x≠-2,因此所给函数的定义域为[1,3)∪(3,5]
12已知f(1x)=x+x2+1,(x>
0),则f(x)=「」
Ax+x2+1x
B1+x2+1x
Cx+x2+1x2+1
D1+x2+1x2+1
「解析」令1x=t,则f(t)=1t+1t2+1=1t+t2+1t2=1+t2+1t,故f(x)=1+x2+1x
「另解」因为f(1x)=x+x2+1=11x+11x2+1,
故f(x)=1x+1x2+1=1x+x2+1x2
=1x+1xx2+1=1+x2+1x
13设函数f(x)=1,|x|≤1
-1,|x|>
1,则f1f(x)=「」
A1
B-1
Cf(x)
D1f(x)
「解析」因|f(x)|=1,1f(x)=1,故f1f(x)=1
14设f(x)=|x|x,g(x)=x2,则f[g(x)]=「」
A±
1
B1
C1x
D|x|x2
「解析」f[g(x)]=f(x2)=|x2|x2=x2x2=1
15设f(x)=2|x|≤2
1|x|>
2,则f(f(x))=「」
A2
D(f(x))2
「解析」由假设f(f(x))=2|f(x)|≤2
1|f(x)|>
2,
对任意x∈(-∞,+∞),|f(x)|≤2,故有f(f(x))=2.
16设f(1-2x)=1-2x,则f(x)=「」
A1+41-x
B1-41-x
C1-21-2x
D1+21-2x
「解析」令1-2x=t,x=1-t2,由f(1-2x)=1-2x得
f(t)=1-21-t2=1-4〖〗1-t,故f(x)=1-41-x
17设f(sinx2)=1+cosx,则f(cosx2)=「」
A1-cosx
B-cosx
C1+cosx
D1-sinx
「解析」f(sinx2)=1+1-2sin2x2=2-2sin2x2,所以
f(x)=2-2x2.
从而f(cosx2)=2-2cos2x2=2-(1+cosx)=1-cosx.
18设f(x+2)=x2-2x+3,则f[f
(2)]=「」
A3
B0
C1
D2
「解析」因f
(2)=f(0+2)=02-2×
0+3=3,
故f[f
(2)]=f(3)=f(1+2)=12-2×
1+3=2
「另解」因为f(x+2)=x2-2x+3=[(x+2)-2]2-2[(x+2)-2]+3,故f(x)=(x-2)2-2(x-2)+3=x2-6x+11,f
(2)=3
从而f[f
(2)]=f(3)=32-6×
3+11=2
19设g(x)=lnx+1,f[g(x)]=x,则f
(1)=「」
Be
C-1
D-e
「答案」选A「解析」由lnx+1=1,得lnx=0,x=1,故f
(1)=f[g
(1)]=1
20下列各组函数中,表示相同函数的是「」
Ay=lnx2与y=2lnx
By=x与y=x2
Cy=1与y=sin2x+cos2x
Dy=x与y=cos(arccosx)
「解析」A中两函数的定义域不同,B中两函数的对应规则不同,D中两函数的定义域与对应规则都不同只有C中两函数的定义域与对应规则完全相同
21函数y=log4x+log42的反函数是「」
Ay=42x-1
By=4x-1
Cy=2x-1
Dy=4x-1
「解析」由y=log4x+log42=log42x得2x=4y,
故x=42y-1,即所求函数的反函数是y=42x-1.
22设-12
Ay=1-10x,(-∞,0)
By=-1-10x,(-∞,0)
Cy=1-10x,(lg34,0)
Dy=-1-10x,(lg34,0)
27将函数f(x)=2-|x-2|表示为分段函数时,f(x)=「」
A4-x,x≥0
x,x<
0B4-x,x≥2
2
C4-x,x≥0
1-xx<
0D4-x,x≥2
4+xx<
「解析」由条件f(x)=2-(x-2),x≥2
2-(2-x),x<
2,即
f(x)=4-x,x≥2
x,x<
28下列函数中,表达式为基本初等函数的是「」
Ay=2x2,x>
0
2x+1,x<
0By=2x+cosx
Cy=x
Dy=sinx
「答案」选C「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x是基本初等函数,而A中
函数为分段函数,B中函数为初等函数,D中函数为复合函数它们都不是基本初等函数
29函数y=sinx-sin|x|的值域是「」
A(0)
B[-1,1]
C[0,1]
D[-2,2]
「解析」因为当x≥0时,y=sinx-sinx=0,
当x<
0时,y=sinx-sin(-x)=sinx+sinx=2sinx,这时-2≤2sinx≤2,故函数y=sinx-sin|x|的值域为[-2,2]30函数y=x2-2≤x≤0
x2-40
Ay=x0≤x≤4
x+40
By=-x0≤x≤4
x+4-4
Cy=-x〖〗0≤x≤4
-x+4-4≤x<
Dy=x0≤x≤4
-4+x-4≤x<
「解析」因为当-2≤x≤0时,y=x2,x=-y,0≤y≤4;
当0
故所求反函数为y=-x,0≤x≤4,
x+4,-4
31设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数中为偶函数的是「」
Ay=|f(x)|
By=-|f(x)|
Cy=-f(-x)
Dy=f(x2)
「解析」由偶函数定义,D中函数定义域(-∞,+∞)关于原点对称,且y(-x)=f[(-x)
2]=f(x2)=y(x),故y=f(x2)是偶函数
32函数f(x)=loga(x+1+x2)(a>
0,a≠1)是「」
A奇函数
B偶函数
C非奇非偶函数
D既是奇函数又是偶函数
「解析」因该函数定义域为(-∞,+∞),它关于原点对称,且
f(-x)=loga-x+1+(-x)2=loga1+x2-x
=log31+x2-x21+x2+x=log31x+1+x2
=-log3x+1+x2=-f(x)
故f(x)=logax+1+x2为奇函数
33设函数f(x)=x(ex-1)ex+1,则该函数是「」
D单调函数
「解析」因为f(x)的定义域是(-∞,+∞),且
f(-x)=-x(e-x-1)e-x+1=-x1-exex1+exex=x(ex-1)ex+1=f(x)。
所以f(x)为偶函数。
34设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义且为奇函数,若当x∈(-∞,0)时,f(x)=x(x-1),则当x∈(0,+∞)时,f(x)=「」
A-x(x+1)
Bx(x-1)
Cx(-x+1)
Dx(x+1)
「解析」因为f(x)为奇函数,故当x>
0时,
f(x)=-f(-x)=-[-x(-x-1)]=-x(x+1)。
35设函数f(x)、g(x)在(-∞,+∞)上有定义,若f(x)为奇函数,
g(x)
为偶函数,则g[f(x)]为「」
D有界函数
「解析」因为g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],故g[f(x)]为偶函数。
36函数f(x)=x(1+cos2x)的图形对称于「」
Aox轴
B直线y=x
C坐标原点
Doy轴
「解析」因f(x)的定义域为(-∞,+∞),它关于原点对称,又f(-x)=-x(1+cos2(-x))=-x(1+cos2x)=-f(x),故f(x)=x(1+cos2x)是奇函数,而奇函数的图形关于原点对称
37函数y=|sinx|的周期是「」
Aπ
Bπ2
C2π
D4π
「解析」因为|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|,故y=|sinx|的周期(最小正周期)为π
38下列函数中为周期函数的是「」
Ay=sinx2
By=arcsin2x
Cy=x|sinx|
Dy=tan(3x-2)
「解析」因为tan[3(x+π3)-2]=tan(3x+π-2)=tan[(3x-2)+π]=tan(3x-2),所以y=tan(3x-2)是以π3为周期的周期函数。
39设f(x)是以3为周期的奇函数,且f(-1)=-1,则f(7)=「」
C2
D-2
「解析」因为f(7)=f(1+2.3)=f
(1)=-f(-1)=1.
40已知偶函数f(x)在[0,4]上是单调增函数,那么f(-π)和f(log128)
的大小关系是「」
Af(-π)
Cf(-π)>
f(log128)
D不能确定
「解析」因为f(x)为偶函数且在[0,4]上是单调增函数,故f(x)在[-4,0]上是单调减函数又log128=log12(12)-3=-3>
-π,所以f(-π)>
f(log128)。
41在R上,下列函数中为有界函数的是y=「」
Aex
B1+sinx
Clnx
Dtanx
「解析」由函数的图像可以看出y=ex,y=lnx、y=tanx在其定义区间内是无界的,只有B中函数y=1+sinx其定义域为R,且对任意x∈R,有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2成立,故y=1+sinx在R上是有界函数
基础训练题
单项选择题
1设A={x|-3≤x≤3},B={x|0≤x≤5},则
AAB
BAB
C(A∩B)B
D(A∩B)B「」
2下列集合为空集的是
A{x|x+5=5}
B{x|x∈R且x2+10=0}
C{x|x≥3且x≤3}
D{x||x+5|≤0}「」
3若集合M={0,1,2},则下列写法中正确的是
A{1}∈M
B1M
C1M
D{1}M「」
4函数y=1-x+arccosx+12的定义域是
A-3≤x≤1
Bx<
C(-3,1)
D{x|x<
1}∩{x|-3≤x≤1}「」
5函数f(x)=(x+1)2x+12x2-x-1的定义域是
Ax≠-12
Bx>
-12
Cx≠-12且x≠1
Dx>
-12且x≠1「」
6若0≤a≤12及函数y=f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)+f(x-a)的定义域是
A[-a,1-a]
B[-a,1+a]
C[a,1-a]
D[a,1+a]
7设函数f(x+a)的定义域为[0,a],则f(x)的定义域为
A[a,2a]
B[-a,0]
C[-2a,-a]
D[0,a]「」
8函数f(x)=x|x|≤1
sinx1<
|x|≤4,则f(x2)的定义域为
A[-4,4]
B[-1,1]
C[1,4]
D[-2,2]「」
9设g(x)=sinx,则g-sinπ2=
A-1
Csin1
D-sin1「」
10设f(x)是定义在实数域上的一个函数,且f(x-1)=x2+x+1,则f1x-1=
A1(x-1)2+3x-1+3
B1(x-1)2+1x-1+1
C1x2+x+1
D1x2+1x+1「」
11设f1x=xx-1,则f(2x)=
A21-x
B11-2x
C2(x-1)2x
D2(x-1)x「」
12设f(x-2)=x2+1,则f(x+1)=
Ax2+2x+2
Bx2-2x+2
Cx2+6x+10
Dx2-6x+10「」
13函数y=4-x2的值域是
B(0,1]
C(0,+∞)
D(-∞,+∞)「」
14下列函数中与y=x为同一函数的是y=
Ax2
Blnex
Celnx
D(x)2「」
15函数y=sin1x是其定义域内的
A周期函数
B单调函数
C有界函数
D无界函数「」
16下列函数中在(0,+∞)内为单调减少的是
Ay=logxa,0
Cy=arctanx
Dy=lnx「」
17下列函数中为奇函数的是
Ay=ex-1ex+1
By=x2+sinx
Cy=cos3x
Dy=ln(x2+x4)「」
1
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