某机床主轴的优化设计.doc
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某机床主轴的优化设计.doc
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某机床主轴的优化设计
一、问题来源
机床主轴是机床的执行件,它的功用是支承并带动工件或刀具完成表面成形运动,同时还起到传递运动和扭矩、承受切削力和驱动力等载荷的作用,结构复杂,价格昂贵,是机床最重要的部件之一。
主轴的前端安装着卡盘与工件,直接参与切削加工,它的变形和振动对机床的加工精度和表面质量影响最大,直接影响到机床的加工质量和生产率。
因此,机床设计的成功关键取决于主轴设计的优劣。
主轴优化设计是机床设计中主轴设计的有效手段,它可以克服以往设计方法中的盲目性,提高主轴的设计质量、设计效率及设计的科学性和可靠性。
二、已知条件
题目中的主轴是一个阶梯轴,支撑采用角接触轴承,机床主轴的输入功率P=1.5kW,主轴的转速n=940r/min,主轴的悬臂端受到的切削力F=20kN,主轴内径d=40mm,悬臂端许用挠度,取,。
要求主轴两支承跨距(L)为350mm≤L≤600mm,外径(D)为70mm≤D≤150mm,悬臂端长度(a)为80mm≤a≤160mm.主轴的材料采用40Cr,密度。
从机床主轴制造成本和加工精度的要求出发,考虑主轴的自重和外伸段挠度这两个重要因素,选取主轴的质量最轻和最小轴端位移为设计目标,将主轴的刚度作为约束条件。
三、数学建模
图1主轴示意图
1设计变量
本文设计的机床主轴结构主要由5个参数来确定:
(1)主轴悬伸段直径Da;
(2)主轴前后支承间轴径D;
(3)支承跨距L;
(4)主轴悬臂端长度a;
(5)主轴内孔直径d。
另外,主轴轴端有作用力F和弯矩M,设:
X=
2目标函数
在满足主轴传动要求下,减轻重量,节约材料,降低成本.以最小自重为追求的目标.机床主轴的质量:
式中:
目标函数
3约束条件
(1)刚度约束
机床主轴变形对加工质量影响很大,因此,对主轴的要求主要表现为刚度要求,即主轴伸出端的挠度(或位移)Y尽可能小。
只考虑F作用力作用在主轴前端时,主轴前端有位移:
式中:
E为主轴材料的弹性模量2.1(N/mm),为主轴悬伸段截面惯性距,I为主轴支承段截面惯性距。
只考虑力矩M作用在主轴前端时,主轴前端产生位移为:
,M为主轴端所受的力矩。
机床主轴前端位移Y可认为是同平面内的之和,故有
。
(1)
另外,机床主轴端所受力矩M是有切削力F引起的,为便于设计计算,取,代入到式
(1)可得:
,
刚度约束为,故
。
(2)扭转变形限制
轴的扭转刚度条件为:
,,
式中:
T为轴所受最大扭矩,,G为轴材料的剪切弹性模量,,为轴截面的最小惯性矩,,则
。
(3)偏转角约束
,因在后支承面B处的偏转角最大,在后支承截面B处的偏转角为:
,
故只需满足,则
。
(4)主轴悬伸段直径
根据经验,主轴悬伸段直径取值范围为:
,故
,
。
(5)主轴前后支承间轴径
主轴前后支承间轴径取值范围为:
,故
,
。
(6)支承跨距
支承跨距L取值范围为:
故
,
。
(7)主轴悬臂端长度
主轴悬臂长度取值范围为:
,故
,
。
四、优化方法、编程及结果分析
1优化方法
综合上述分析可得优化数学模型为:
;;。
考察该模型,它是一个具有4个设计变量,11个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题,属于小型优化设计,故采用SUMT惩罚函数内点法求解。
2方法原理
内点惩罚函数法简称内点法,这种方法将新目标函数定义于可行域内,序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。
内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
对于只具有不等式约束的优化问题
转化后的惩罚函数形式为
或
式中r——惩罚因子,它是由大到小且趋近于0的数列,即。
。
由于内点法的迭代过程在可行域内进行,障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。
由障碍项的函数形式可知,当迭代靠近某一约束边界时,其值趋近于0,而障碍项的值陡然增加,并趋近于无穷大,好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”,使迭代点始终不能越出可行域。
显然,只有当惩罚因子时,才能求得在约束边界上的最优解。
3编程
首先编写目标函数M文件axis_m.m;
Functionf=axis_m(x)
pi=3.14;
rou=7.8*10^(-6);%主轴密度kg/mm^3
d=40;%主轴内径mm
f=pi*rou*((x
(1)^2-d^2)*x(4)+(x
(2)^2-d^2)*x(3)/4
再编写非线性约束函数文件M文件ax.m;
Function[c,ceq]=g(x);
pi=3.14;
d=40;%主轴内径mm
F=20000; %切削力N
P=1.5; %主轴输入功率KW
n=960; %主轴转速r/min
E=2.1*10^5; %主轴材料弹性模量N/mm^2
y=0.05; %许用挠度mm
fa=1/12; %许用扭转刚度
sita=0.0025; %许用偏转角
G=0.081; %轴材料的剪切弹性模量GPa
c
(1)=64*F*x(4)^2*(4*x(4)/(x
(1)^4-d^4)+3*x(3)/(x
(2)^4-d^4))/(3*pi*E)-y;
c
(2)=180*9549*P/(pi^2*n*G*(x
(2)^4-d^4)/32)-fa;
c(3)=F*x(3)*x(4)/(3*E*(x
(2)^4-d^4))-sita;
ceq=[];
在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束,并调用优化程序:
x0=[120;110;450;120];
a=[1000;-1000;0100;0-100;0010;00-10;0001;000-1];
b=[160;-80;150;-70;600;-350;160;-80];
1b=[80;70;350;80];
ub=[160;150;600;160];
[x,fval]=fmincon(@axis_m,x0,a,b,[],[],1b,ub,@ax)
4结果分析
优化程序经过12次迭代计算收敛,得到结果如下:
x=107.6547 102.7428 350.0000 80.0000
fval=24.0857
圆整后得到X=(109,104,350,80)T,fval=24.9897,显然机床主轴结构比较合理。
图1
图2
参照以上图1、图2通过查阅机械设计手册发现优化结果没有超过材料的屈服极限,轴的应变分布比较均匀,有利于材料的充分利用。
五、课程实践心得体会
一个多月的课程学习和一个多礼拜的机械优化设计课程作业实践,收获虽然不是太大,但是也获得了有意义的一些知识。
课程学习当中,王老师的言传身教给我留下了深刻的印象,认真负责的教学态度也让人感觉跟其他课程相比更有吸引力,丰富的课堂内容让同学们都乐此不彼,而最后的课程作业实践也是给了我颇多的收获:
通过对本例的分析计算和最终结果分析一系列过程,初步了解和熟悉了机械优化设计的基本设计流程,本例中利用MATLAB工具箱进行的优化设计,所得机床主轴参数已然使机床的主轴结构更合理。
这也充分说明了MATLAB优化工具箱在机械优化设计中具有的实用价值,这也对我学习MATLAB软件的热情高涨,以期做出更多的优化设计方面的议题和方案。
六、参考文献
[1]孙靖民,机械优化设计[M].3版.北京:
机械工业出版社,2003:
124-172.
[2]韩晓明,铁占续,机械优化设计及其MATLAB实现[J].焦作工学院学报,2004,(6):
467-470.
[3]储开宇,杜比强,段松屏,机床主轴参数的优化设计[J].水利电力机械,2000,
(1):
2-4.
[4]周建平.基于MATLAB的机械优化设计[J].黄石理工学院学报,2005,(3):
43-45.
[5]苏金明,阮沈勇.MATLAB实用教程[M].北京:
电子工业出版社,2002:
100-146.
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