高考全国卷1数学试题与答案解析理科.docx
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高考全国卷1数学试题与答案解析理科
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在
本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
x
1.已知集合Axx1,Bx31,则()
A.ABxx0B.ABR
C.ABxx1D.AB
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概
率是()
A.
1
4
B.
π
8
C.
1
2
D.
π
4
3.设有下面四个命题,则正确的是()
1
p:
若复数z满足
1
z
R,则zR;
p:
若复数z满足z2R,则zR;
2
p:
若复数
3
z,z满足zzR,则
1212
zz;
12
p:
若复数zR,则zR.
4
A.p1,p3B.
p,pC.
14
p,pD.
23
p,p
24
4.记Sn为等差数列an的前n项和,若
a4a524,S648,则an的公差为()
A.1B.2C.4D.8
5.函数fx在,单调递减,且为奇函数.若f11,则满足1≤fx2≤1的x
的取值范围是()
A.2,2B.1,1C.0,4D.1,3
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6.
1
11x
2
x
6
展开式中
2
x的系数为
A.15B.20C.30D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,
正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些
梯形的面积之和为
A.10B.12C.14D.16
nn
8.右面程序框图是为了求出满足321000
的最小偶数n,那么在和两个
空白框中,可以分别填入
A.A1000和nn1B.A1000和nn2
C.A≤1000和nn1D.A≤1000和nn2
9.已知曲线
2π
C1:
ycosx,C2:
ysin2x,则下面结论正确的是()
3
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
单位长度,得到曲线C2
π
个
6
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
个
12
单位长度,得到曲线
C
2
C.把
C上各点的横坐标缩短到原来的
1
1
2
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
个
6
单位长度,得到曲线C2
D.把
C上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
1
π
个
12
单位长度,得到曲线C2
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10.已知F为抛物线C:
24
yx的交点,过F作两条互相垂直l1,l2,直线l1与C交于A、B
两点,直线l2与C交于D,E两点,ABDE的最小值为()
A.16B.14C.12D.10
11.设x,y,z为正数,且2x3y5z,则()
A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2x
D.3y2x5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的
答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋯,其中第一项是20,
接下来的两项是20,21,在接下来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的
最小整数N:
N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()
A.440B.330C.220D.110
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60,a2,b1,则a2b________.
x2y1
14.设x,y满足约束条件
,则z3x2y的最小值为_______.
2xy1
xy0
15.已知双曲线
C:
22
xy
22
ab
,(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN60,则C的离心率为_______.
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、
E、F为元O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰
三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,
使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
3
cm)的最大值为_______.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
2
a
3sin
A
.
(2)若6cosBcosC1,a3,求△ABC的周长.
18.(12分)
如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD中,且BAPCDP90.
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(1)证明:
平面PAB平面PAD;
(2)若PAPDABDC,APD90,求二面角APBC的余弦值.
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19.(12分)
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零
件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件的尺寸服从正态分布
2
N,.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在3,3
之外的零件数,求PX≥1及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在3,3之外的零件,就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性:
(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
16
xx9.97,
经计算得
i
i1
1616
11
222
sxxxx,其中xi为抽
160.212
ii
1616
i1i1
取的第i个零件的尺寸,i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值?
,用样本标准差s作为的估计值?
,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除?
3?
,?
3?
之外的数据,用剩下的数
据估计和(精确到0.01).
2
附:
若随机变量Z服从正态分布N,,则P3Z30.9974.
16
0.99740.9592,0.0080.09.
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20.(12分)已知椭圆C:
22
xy
221
ab
3
ab0,四点P11,1,P20,1,P31,,
2
3
P1,中恰有三点在椭圆C上.
4
2
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和
为1,证明:
l过定点.
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21.(12分)
已知函数
2xx
fxaea2ex.
(1)讨论fx的单调性;
(2)若fx有两个零点,求a的取值范围.
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(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参考方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
y
3cos
sin
,
,
(为参数),直线l的参数方
程为
xa4t
,
,
y1t
(t为参数).
(1)若a1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知函数
2411
fxxax,gxxx.
(1)当a1时,求不等式fx≥gx的解集;
(2)若不等式fx≥gx的解集包含1,1,求a的取值范围.
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答案及解析
一、选择题
24.A
x
【解析】Axx1,Bx31xx0
∴ABxx0,ABxx1,
选A
25.B
【解析】设正方形边长为2,则圆半径为1
则正方形的面积为224,圆的面积为
2
π1π,图中黑色部分的概率为
π
2
π
则此点取自黑色部分的概率为2
π
48
故选B
26.B
11abi
【解析】p1:
设zabi,则22
zabiab
R,得到b0,所以zR.故P1正确;
p2:
若z
21,满足
z2R,而zi,不满足z2R,故p2不正确;
p3:
若z11,z22,则z1z22,满足z1z2R,而它们实部不相等,不是共轭复数,
故
p不正确;
3
p4:
实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确;
27.C
【解析】
a4a5a13da14d24
65
S6ad48
61
2
联立求得
2a7d24
1
6a15d48
1
①
②
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①②得2115d24
3
6d24
∴d4
选C
28.D
【解析】因为fx为奇函数,所以f1f11,
于是1≤fx2≤1等价于f1≤fx2≤f1|
又fx在,单调递减
1≤x2≤1
1≤x≤3
故选D
29.C.
【解析】
11
666
1+1x11x1x
22
xx
6
对1x的
2
x项系数为
65
2
C15
6
2
1
对
2
x
1x
6
的
2
x项系数为
4
C=15,
6
∴x2的系数为151530
故选C
30.B
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
S
梯
24226
S全梯6212
故选B
31.D
【答案】因为要求A大于1000时输出,且框图中在“否”时输出
∴“”中不能输入A1000
排除A、B
又要求n为偶数,且n初始值为0,
“”中n依次加2可保证其为偶
故选D
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32.D
【解析】
C1:
ycosx,C2:
ysin2x
2π
3
首先曲线C1、C2统一为一三角函数名,可将C1:
ycosx用诱导公式处理.
πππ
ycosxcosxsinx.横坐标变换需将1变成2,
222
即
1
π点横标缩来ππ
C上各坐短它原
1
yxyxx
sinsin2sin22
224
2ππ
ysin2xsin2x.
33
注意的系数,在右平移需将2提到括号外面,这时
π
x平移至
4
π
x,
3
根据“左加右减”原则,“
π
x”到“
4
π
x”需加上
3
π
,即再向左平移
12
π
12
.
33.A
【解析】
设AB倾斜角为.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴
AFcosGFAK
1
(几何关系)
易知
AKAF
1
(抛物线特性)
PP
GPP
22
∴
AFcosPAF
同理
P
AF,
1cos
BF
P
1cos
2P2P
AB
∴22
1cossin
又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为
π
2
DE
2
sin
2P2P
2
πcos
2
而
24
yx,即P2.
11
ABDE2P
∴22
sincos
22
sincos
22
4
sincos
4
22
sincos
4
1
4
2
sin2
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16
2
sin2
≥16,当
π
取等号
4
即ABDE最小值为16,故选A
34.D
【解析】取对数:
xln2yln3ln5.
xln33
yln22
∴2x3y
xln2zln5
x
则
z
ln55
ln22
∴2x5z∴3y2x5z,故选D
35.A
【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.
n1n
设第n组的项数为n,则n组的项数和为
2
由题,N100,令
n1n
2
100→n≥14且
*
nN,即N出现在第13组之后
n
第n组的和为1221
n
12
n组总共的和为
n
212
12
n
n22n
n1n
若要使前N项和为2的整数幂,则k应与2n互为相反数
N项的和21
2
即
k*
212nkN,n≥14
klogn3
2
→n29,k5
则
N
29129
2
5440
故选A
二、填空题
36.23
22
2
a2b(a2b)a2a2bcos602b
2
212
22222
2
【解析】444
12
∴a2b1223
37.5
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x2y1
2xy1
不等式组表示的平面区域如图所示
xy0
y
A
B
x
1
C
x+2y-1=0
2x+y+1=0
由z3x2y得
3z
yx,
22
求z的最小值,即求直线
3z
yx的纵截距的最大值
22
当直线
3z
yx过图中点A时,纵截距最大
22
由
2xy1
x2y1
解得A点坐标为(1,1),此时z3
(1)215
38.23
39.3
【解析】如图,
OAa,ANAMb
∵MAN60,∴3
APb,
2
22232
OPOAPAab
4
∴
tan
AP
OP
3
2
b
22
3
ab
4
又∵tan
b
a
,∴
3
b
b
2
3
a
22
ab
4
,解得
22
a3b
∴
e
2
b
11
2
a
123
33
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40.415
【解析】由题,连接OD,交BC与点G,由题,ODBC
3
OGBC,即OG的长度与BC的长度或成正比
6
设OGx,则BC23x,DG5x
三棱锥的高hDG2OG22510xx2x2510x
1
2
S233x33x
△ABC
2
1
2
则VS△h3x2510x=325x410x5
ABC
3
令
45
fx25x10x,
5
x(0,),
2
34
fx100x50x
令fx0,即x42x30,x2
则fx≤f280
则V≤38045
∴体积最大值为415cm3
三、解答题(必考题)
41.
(1)∵△ABC面积
S
2
a
3sinA
.且
1
SbcsinA
2
∴
21
a
bcsinA
3sinA2
∴
232
abcsinA
2
∵由正弦定理得
232
sinAsinBsinCsinA,
2
由sinA0得
2
sinBsinC.
3
(2)由
(1)得
2
sinBsinC,
3
cosBcosC
1
6
∵ABCπ
∴
cosAcosπBCcosBCsinBsinCcosBcosC
1
2
又∵A0,π
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∴A60,sin3
A,
2
cosA
1
2
由余弦定理得
2229
abcbc①
a
由正弦定理得sin
bB
sinA
a
,csinC
sinA
∴
2
a
bc2sinBsinC8
sinA
②
由①②得bc33
∴abc333,即△ABC周长为333
42.
(1)证明:
∵BAPCDP90
∴PAAB,PDCD
又∵AB∥CD,∴P
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