数列解题技巧归纳总结好.docx
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数列解题技巧归纳总结好
知识框架
数列的分类
数列的通项公式数列的递推关系
数列
两个基
本数列
等差数列的定义an
等差数列的通项公式等差数列
等差数列的求和公式
等差数列的性质an
a
等比数列的定义s
an
等比数列的通项公式
an
an1
an
am
q(n
等比数列
等比数列的求和公式
d(n2)
a1(n1)d
—(aian)apaq(m
2)
aN1
a1anq
nai
n(n1)d
2
q)
1)
1q
na1(q1)
等比数列的性质anamap备(mnpq)
Sn
公式法
数列
求和
分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明
数列的应用
分期付款其他
掌握了数列的基本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法
1、求通项公式
(1)观察法。
(2)由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)例1、已知{an}满足an+1=an+2,而且a1=1。
求an。
•••{an}是首项为1,公差为2的等差数列
例1、解■/an+1-an=2为常数
••an=1+2(n-1)
例2、已知{an}满足an
g+i=日n
「•〔%}是比为首项,公比为寸的等比数列
例4、{an}中,a11,对于n>1(n€N)有an3an1
解法一:
由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。
两式相减:
an+1-an=3(an-an-1)
因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列,其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4
・•an+1-an=4•3-an+1=3an+2・•3an+2-an=4•3即卩an=2•3-1
解法二:
上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列,于是有:
a2-a1=4,a3-a2=4七,a4-a3=4•a2,•an-an-1=4-3n-2,
⑷递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)
【例5】己知g中,引斗3弓/叫求y略解在耳+〔£厂+悯两边乘以肝得
2
则氐产訓7于是可得
2®n
bn1bn2(bng1)由上题的解法,得:
g3
3
*说明对于递推式%严p%+护可两边除以严】
亍引辅助数列Z3十儿
于是{an+1-aan}是公比为B的等比数列,就转化为前面的类型。
/-〔V□-目J是公比为-+,首项为衍-3]二啲每比数歹購
解0)由久=4-g-尹得
数列求和的常用方法:
1、拆项分组法:
即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。
即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。
3、裂项相消法:
即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,
可求和。
适用于数列
OnOn1
JOnJOn1
(其中an
等差)
可裂项为:
On
On1
111
—(——
dOnOn1JOnJOn1
"d(Jan1JO?
)
等差数列前n项和的最值问题:
1、若等差数列an的首项O1
公差d
则前n项和Sn有最大值。
(i)若已知通项On,则Sn最大
On
On1
(ii)若已知Sn
2
pnqn,则当
n取最靠近
q
上-的非零自然数时Sn最大;
2p
2、若等差数列
On
的首项010,
公差d
则前n项和Sn有最小值
(i)若已知通项
On,则Sn最小
On
On1
(ii)若已知Sn
2
pnqn,则当
n取最靠近
2p的非零自然数时Sn最小;
数列通项的求法:
⑴公式法:
①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
⑵已知Sn(即01
O2LOnf(n))求On,用作差法:
On
S,(n1)
Sn1,(n2)°
已知01ga2g-gSn
f(n)求On,用作商法:
On
⑶已知条件中既有
⑷若On1
O1(n2)。
⑸已知
On
1)
f(n1)"
有时也可直接求
2)。
Sn还有On,有时先求Sn,再求On;
Onf(n)求On用累加法:
On(On
On1)
(On1On2)
On。
L(O2O1)
f(n)求On,用累乘法:
On旦
On1
On1
On2
2)。
⑹已知递推关系求On,用构造法(构造等差、等比数列)
列后,再求an。
(2)
形如an
an1的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan1b
(7)(理科)
(8)当遇到
形如an
数学归纳法
an1an1
k
an的递推数列都可以用对数法求通项。
d或
an1
q时,分奇数项偶数项讨论,结果可能是分段形式。
数列求和的常用方法:
(1)公式法:
①等差数列求和公式;②等比数列求和公式。
:
在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公
(2)分组求和法
式法求和。
(3)倒序相加法
选用倒序相加法,
(4)错位相减法
:
若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n和公式的推导方法).
:
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用n和公式的推导方法).
错位相减法(这也是等比数列前
(5)裂项相消法:
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,相消法求和
①—
n(n
③丄
k2
那么常选用裂项
1)
k21
1
.常用裂项形式有:
1
n
1
n1
1(1
2
②一1
n(n
1
④
n(n1)(n2)
⑥2(~17n)
k1
1[
2n(n1)
2
二、解题方法:
k)
1
k
TnTn~1
求数列通项公式的常用方法:
1、公式法
2、由Sn求an
(n1时,a1
S1,
3、求差(商)法
1
畀
解:
n1时,1a1
2
C时11
如:
an满足
1
21^a2
n2时,一a1—a2
22
1(1
k'n
1
k1
(n1)(n2)
丄
需
Tn
an
Sn
5,-a1
1
丄)-
nk);
1
(k1)k
n
Tn
:
⑤
(n1)!
2(7n
Sn
1)
2n
14
n1an12n
(k丄n!
1
1)kk1
1.
(n1)!
’
•-an
14
得:
•-an
2n1
(n
(n
1)
2)
[练习]
数列
an满足Sn
Sn
5-a
3
a14,求an
(注意到an1
Sn1
Sn代入得:
Sn1
Sn
Sn
是等比数列,Sn
4n
n2时,a
Sn
Sn1
4n
4、叠乘法
例如:
数列
an
中,a1
3,
an1
an
,求an
a1
a3
a2
an
an
a1
又a13,二a
5、等差型递推公式
由anan1
f(n),a1
ao,
求an,用迭加法
n2时,a2
a1
ana1
•-an
[练习]
数列
(an
a3
a2
f
(2)
f(3)
两边相加,得:
anan1
an,a1
13n
6、等比型递推公式
ancan1d
f(n)
f(n)
1,an
3n
an1
n2,求an
6d为常数,
c0,
c1,d0
可转化为等比数列,设an
xcan1x
an
can
令(c
1)x
d,二x
an
是首项为
ai
—,c为公比的等比数列
c1
•-an
a1
-cn1
a1
[练习]
(an
1)
7、倒数法
例如:
a1
1,
an
2an
2
an
an
由已知得:
an1
an2
2an
an
an1
1
an2
为等差数列,
1,公差为
an
a1
an
•-an
2.数列求和问题的方法
(1)、应用公式法
n项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的。
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前
1+2+3+
亠
n—2
2
1+3+5+……+(2n-1)=n
+L+T)
【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),…前n项的和。
1
解本题实际是求各奇数的和,在数列的前n项中,共有1+2+…+n=一n(n1)个奇数,
2
12
•••最后一个奇数为:
1+[—n(n+1)-1]X2=n+n-1
2
因此所求数列的前n项的和为
(2)、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1•(n2-1)+2•(n2-22)+3•(n2-32)+…+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+…+n)-(13+23+33+…+n3)
=n「
-n(n+l)〔n+D
(3)、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,和。
采取把正着写与倒着写的两个和式相加,
然后求
例10、求和:
Sn3Cn6C2L3nC:
例10、解Sn0?
C03Cn6C:
L3nC:
又S"=+3Cn-1)CjU…+CiC秒
相加且运用<>0汁可得
2沬=3iiCC?
+C:
+…=311*严
•••Sn=3n•2n-1
(4)、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的列的公比,然后错位相减求和.
例11、求数列1,3x,5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和.
,可把和式的两端同乘以上面的等比数
解设S=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1.
⑴当“时気=1+丁1)5」
⑵X=0时,Sn=1.
⑶当x丰0且x丰1时,在式①两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,②
①-②,得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn.
由公式知S玖=-—[1+—-③-1常]
1-X1-X
++(2n-l)葢
⑸裂项法:
把通项公式整理成两项(式多项)差的形式,然后前后相消。
常见裂项方法:
n(n+l)(n+2)_2_
111
例12、求和———L
1?
53?
75?
9(2n1)(2n3)
(2n-1)C2n+为
求和+++■■-+
1-53-75-9
a■一f
”t2n-lX2n+3)4‘211-12ii+技
111
=—[1i++■■■十+
4^53759+12n-12n+3
—[1+
4^32n十!
2n+3
fiC4ii+5)
3(2ii+lX2n-H3)
注:
在消项时一定注意消去了哪些项,还剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时,也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法
1.函数思想
运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】等差数列{an}的首项ai>0,前n项的和为S,若S=Sk(I丰k)问n为何值时S最大
解依题意,设fCn)二吕n二呵十立Dd
乙
此函数以n为自变量的二次函数。
•••ai>0Si=S(l丰k),.・.dv0故此二次函数的图像开口向下•••f
(1)=f(k)二当3{=丄+时f(30最大,f(n)中,hENo
1+k
二当1十k为偶数时,n=—
当1亠k为奇数时,口=11学1时%最大。
2•方程思想2
【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3+S3=2S,求数列的公比q。
分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
解•••依题意可知qM1。
•••如果q=1,则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。
由此应推出a1=0与等比数列不符。
•/qM1
自I+巧(1-()2巧
1-q1-q1-q
整理得q3(2q6-q3-1)=0•/qM0
二二0q;二1舍’
此题还可以作如下思考:
3.换元思想
【例15】
求证:
证明
S6=S3+q3S=(1+q3)S3.S9=S3+q3S6=S3(1+q3+q6),•••由S3+S6=2S9可得2+q3=2(1+q3+q6),2q6+q3=0
112已知a,b,c是不为1的正数,x,y,z€R+,且有"日工=b^=c"和一+-=—a,b,c顺次成等比数列。
X2y
依题意令ax=by=cz=k
••x=1ogak,y=logbk,z=logck
..112.1
.—I■—=—J*・卜
2rylog^klogck
故譬十竿=即迪a+=21gb
Igk.IgkIgk
•••b=ac•••a,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)
.2
数学5(必修)第二章:
数列
[提高训练C组]
一、选择题
1.数列an的通项公式an',则该数列的前(
JnJn1
)项之和等于
A.98B.99
C.96D.97
2.在等差数列
an
中,
若S41,S84,
a18a19a20的值为(
A.9B
12
C.16D
3•在等比数列
an
中,
若a26,
且a5
a312
0,则an为(
1)n2C.
62n
(1)n2或62n
4•在等差数列
an
中,
a1a2
a50
200,a51a52
a100
2700,
则a1为()
A.22.5
B.
21.5C
20.5D
20
5.已知等差数列
{an}的前n项和为Sn,若m1,且am1
am1
am
0,S2m1
38,则m
等于()
A.38
B.20
C.10
D.
6•等差数列
{an},{bn}的前n项和分别为
Sn
Tn
2n
3n1
则旦^=(
bn
A.2
3
二、填空题
2n1
3n
2n1
3n1
2n
3n4
已知数列
an
中,
a1
1an1an
an1
an
,则数列通项an
S
已知数列的Sn
nn1,则a8
a9a10a11a12=
三个不同的实数
a,b,c成等差数列,且
a,c,b成等比数列,则a:
b:
c
在等差数列an
中,公差
d1S45
2,前100项的和S10045,则a1a3a5
a99-
若等差数列an
中,a3
a7a108,a11a44,则S3
一个等比数列各项均为正数,
且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则公比
三、解答题
1.已知数列an的前n项和Sn32n,求a.
2.一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公
比和项数。
数列lg1OOO,lg(1OOOcos600),lg(1000cos2600),...lg(1000
n
COS
60),…的前多少项和为最大
已知数列an的前n项和r
Sn15913...(
1)n
1(4n
3)
求S15S22
S31的值。
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n
(1)求数列{a
n}的通项公式an;
(2)若数列{b
n}满足bn=lOg2(an+2),Tn为数列{
bn
an
-}的前n项和,求证Tn
2
、选择题
参考答案(数学5必修)第二章[提高训练C组]
Tn,sn42414342...Tn
S41,SbS43,而S4,Sb
S4,SI2
Sb,S16S|2,S20
S16,成等差数列
即1,3,5,7,9,817
818
819820
S20S169
8528483282
0,85
83284
2
2a2,83(q1)
2
282(q1)
83282或q21
0,q
2,1或1
,当q1时,8n
6;
Snyfn~119』
110,n99
当
6(
1)n2
q1时,816,8n6
(1)n1
q2时,813,8n32n162n
二、填空题
1.
丄丄1,丄
8n8n18n1
an
1丄
8i
11
1,—是以—为首项,以
8n
1.
100
3.
4:
1:
(
4.
5.
公差的等差数列,
a8
2)
10S100
1568387
an
(n
1)(
1)
n,8n
89310311
8c2b,c
ai2
2b
8b,84b,c
S12
S7
122
12
1(72
71)
a,ab
2b
100
2(818100)45,81s"50(81899)50
8108118412,83
a100
0.4
811
(2b
a)2
8258b4b2
100
0.9,81
10
a99a1a100d
0.4,
13
81084,8712,Si3~(81
ai3)1387
设an
an1
an2
qanq
22
an,qq10,q0,q
175
-"2
三、解答题
1.
解:
Sn
2n,Sn1
2n1,an
SnSn12n1(n2)
2.
2.
3.
20.
而a1
5,二an
5,(n1)
2n1,(n
2)
解:
设此数列的公比为q,(q1),
则S奇1(q2)85,S偶
1q
S偶
S奇
02
a1
122nqF
解:
an
项数为
2n,
170,
1q
85,22n256,2n8,
•••q
Sn
2,项数为8
(n
2[3
对称轴n
1)lg2,an是以3为首项,以lg2为公差的等差数列,
c/八Cllg226lg2
3(n1)lg2]号n—2^n.
6lg210.47,nN*,10,11比较起来10更靠近对称轴2lg2
•••前10项和为最大。
另法:
由
解:
Sn
S15
S15
(1)当
an
an
0,得9.9n10.9
0
4),n为偶数
29,S22
4)4n
44,S31
S22S31
n€N时,
76
Sn2an
Sn
3,n为奇数
2n,n为偶数
2n1,n为奇数'
61,
2n,①
则当nA2,n€N时,Sn1=2an1-2(n-1).
①-②,得an=2an-2an1-2
即an=2an1+2,
•-an+2=2(an1+2),
an2
=2
an1
当n=1时,S,=2a1-2,则a1=2,
•••Ian+2|是以a1+2为首项,以2为公比的等比数列。
•••an+2=4•2n1
•••an=2n1-2
(n)bn=log2(an+2)=log22n1=n+1.
bn
23
则Tn=22+尹…+
丄+…
n23
1t
2
,③
”④
③-④,
1t
2
11
——+——+…+
23242n
11
“1尹n1
411
2
1
2*1
3
4
•Tn=3
当nA2时,Tn-Tn
2n4n3
•••{Tn}为递增数列,
•Tn>T1=2
2n1
T>0,
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