1、数列解题技巧归纳总结好知识框架数列的分类数列的通项公式 数列的递推关系数列两个基本数列等差数列的定义an等差数列的通项公式 等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质ana等比数列的定义san等比数列的通项公式anan 1anamq(n等比数列等比数列的求和公式d(n 2)a1 (n 1)d(ai an) ap aq(m2)aN 1a1 anqnain(n 1)d2q)1)1 qna1（q 1）等比数列的性质anam ap备（m n p q）Sn公式法数列求和分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明数列的应用分期付款 其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的
2、定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1 ）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。（1）递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d，q 为常数） 例1、 已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。 an是首项为1,公差为2的等差数列例1、解 / an+1-a n=2为常数 an=1+2 （n-1 ）例2、已知an满足ang+i = 日n是比为首项，公比为寸的等比数列例 4、an中
3、，a1 1，对于 n 1 (n N)有 an 3an 1解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2， an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3( an-a n-1)因此数列a n+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为 a2-a 1= (3X 1+2) -1=4 an+1-a n=4 3 - an+1=3an+2 3an+2-a n=4 3 即卩 a n=2 3 -1解法二： 上法得a n+1-a n是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a2=4 七,a4-a 3=4 a2, an-a n-1 =4 -3n-2, 递推式为an+1=p an+q n （p
4、, q为常数）【例5】己知g中，引斗 3 弓/ 叫 求y 略解在耳+ 厂+悯两边乘以肝得2则氐产訓7于是可得2nbn 1 bn 2（bn g 1）由上题的解法，得： g 33*说明对于递推式严p% +护可两边除以严】亍引辅助数列Z 3十儿于是a n+1- a an是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。/-V-目J是公比为-+,首项为衍-3二啲每比数歹購解0)由久=4-g-尹得数列求和的常用方法:1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。即把每一项都乘以 bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，
5、使其正负抵消，只余有限几项,可求和。适用于数列On On 1JOn JOn 1(其中an等差)可裂项为:OnOn 11 1 1(d On On 1 J On J On 1d (Jan 1 JO?)等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列 an的首项O1公差d则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项 On，则Sn最大OnOn 1(ii)若已知Sn2pn qn，则当n取最靠近q上-的非零自然数时Sn最大;2p2、若等差数列On的首项01 0 ,公差d则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项On ,则Sn最小OnOn 1(ii)若已知Sn2pn qn，则当n取最靠近2p的非零自然数时Sn最小;数列通
6、项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即01O2 L On f (n)求On ,用作差法：OnS,( n 1)Sn 1,( n 2)已知 01ga2g- gSnf(n)求On ,用作商法：On已知条件中既有若On 1O1(n 2)。已知On1)f(n 1)有时也可直接求2)。Sn还有On ,有时先求Sn，再求On ；On f (n)求On用累加法：On (OnOn 1)(On 1 On 2 )On。L (O2 O1)f (n)求On ,用累乘法：On 旦On 1On 1On 22)。已知递推关系求 On ,用构造法(构造等差、等比数列)列后，再求an 。(2)形如a
7、nan 1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan 1 b(7)(理科)(8)当遇到形如an数学归纳法an 1 an 1kan的递推数列都可以用对数法求通项。d或an 1q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。:在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公(2)分组求和法式法求和。(3)倒序相加法选用倒序相加法，(4)错位相减法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑 发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n和公式的推导方法).:如果数列的通项是
8、由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用 n和公式的推导方法).错位相减法(这也是等比数列前(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联, 相消法求和n(n丄k2那么常选用裂项1)k2 11.常用裂项形式有:1n1n 11( 12一1n(n1n(n 1)(n 2) 2( 1 7n)k 112 n(n 1)2二、解题方法:k)1kTn Tn1求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n 1 时，a1S1,3、求差(商)法1畀解：n 1 时，1a12C时 1 1如：an满足121a2n 2 时，一 a1 a22 21(1kn1k 1
9、(n 1)(n 2)丄需TnanSn5,- a11丄)-n k)；1(k 1)knTn:(n 1)!2(7nSn1)2n14n1an1 2n(k 丄 n!11)k k 11 .(n 1)!- an14得:-an2n1(n(n1)2)练习数列an满足SnSn5 -a3a1 4,求 an（注意到an 1Sn1Sn代入得:Sn 1SnSn是等比数列，Sn4nn 2时，aSnSn14n4、叠乘法例如：数列an中, a13,an 1an，求ana1a3a2anana1又a1 3,二 a5、等差型递推公式由 an an 1f（n），a1ao，求an，用迭加法n 2时，a2a1an a1-an练习数列(an
10、a3a2f(2)f(3)两边相加，得:an an 1a n ， a113n6、等比型递推公式an can 1 df(n)f（n）1, an3nan 1n 2，求 an6 d为常数,c 0,c 1, d 0可转化为等比数列，设 anx c an 1 xancan令(c1)xd，二 xan是首项为ai,c为公比的等比数列c 1- ana1-cn1a1练习(an1)7、倒数法例如：a11,an2an2anan由已知得:an 1a n 22 ananan 11an 2为等差数列,1,公差为ana1an- an2 .数列求和问题的方法(1 )、应用公式法n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的
11、。等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前1+2+3+亠n 221 + 3+ 5+ (2n-1)=n+ L+T)【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10) , ( 13+15+17+19),前 n 项的和。1解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n项中，共有1+2+n =一 n(n 1)个奇数,21 2最后一个奇数为： 1+ n(n+1)-1 X 2=n+n-12因此所求数列的前 n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 ( n2-1 ) + 2 ( n2-2 2) +3 ( n2-32) + +n ( n2-n
12、2) 解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)=n-n (n + l) n + D(3 )、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列, 和。采取把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求例 10、求和：Sn 3Cn 6C2 L 3nC：例 10、解 Sn 0?C0 3Cn 6C： L 3nC： 又S = + 3 Cn - 1) CjU +CiC秒相加且运用0汁可得2沬=3ii CC? + C： + =311* 严 Sn=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的 列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数
13、列1, 3x , 5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.，可把和式的两端同乘以上面的等比数解 设 S=1+3+5x2+(2n-1)x n-1.当“时気=1+丁1)5 X=0 时，Sn=1. 当x丰0且x丰1时，在式两边同乘以 x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)x n，-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)x n.由公式知S玖=-1 + -1常1 -X 1 - X+ +(2n-l)葢裂项法：把通项公式整理成两项（式多项）差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：n(n + l)(n + 2) _ 2 _1 1 1例12、求和L1?5 3?7 5?
14、9 (2n 1)(2n 3)(2n -1) C2n +为求和 + + + - +1 - 5 3 - 7 5- 9a 一 f ” t2n-lX2n + 3) 4211-1 2ii + 技1 1 1=1 i + + 十 + 4 5 3 7 5 9 +1 2n -1 2n + 31 + 4 3 2n 十！ 2n + 3fiC4ii + 5)3(2ii + lX2n-H3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1 .函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解
15、决。【例13】 等差数列an的首项ai 0,前n项的和为S,若S=Sk （I丰k）问n为何值时S最大解 依题意，设f Cn）二吕n二呵十立D d乙此函数以n为自变量的二次函数。 ai0 Si=S (l丰k),.dv0故此二次函数的图像开口向下 f (1) =f (k)二当3=丄+时f(30 最大，f (n)中，hE No1 + k二当1十k为偶数时，n = 当1亠k为奇数时，口 = 11学1时最大。2方程思想 2【例14】设等比数列an前n项和为Sn,若S3+S3=2S,求数列的公比q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知qM 1。如果q=1，则S3=3a1, S6=6a1
16、, S9=9a1。由此应推出 a1=0与等比数列不符。/ qM 1自I + 巧(1-() 2巧1-q 1-q 1 -q整理得 q3 (2q6-q3-1 ) =0 / qM0二 二 0 q；二 1舍此题还可以作如下思考：3.换元思想【例15】求证：证明S6=S3+q3S=（ 1+q3） S3. S9=S3+q3S6=S3（ 1+q3+q6）, 由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2 （1+q3+q6）, 2q6+q3=01 1 2 已知a, b, c是不为1的正数，x, y, z R+,且有日工=b = c和一+ -= a, b, c顺次成等比数列。 X 2 y依题意令ax=by=cz=k x
17、=1ogak, y=log bk, z=log ck.112 . 1.I = J * 卜2 r y logk logc k故譬十竿=即迪a + = 21gbIgk. Igk Igk b =ac a, b, c成等比数列（a, b, c均不为0）.2数学5 (必修)第二章：数列提高训练C组一、选择题1.数列an的通项公式an ，则该数列的前（Jn Jn 1）项之和等于A. 98 B . 99C. 96 D . 972 .在等差数列an中,若 S4 1,S8 4 ,a18 a19 a20 的值为(A. 9 B12C. 16 D3 在等比数列an中,若 a2 6 ,且a5a3 120 ,则an为（1
18、)n 2 C .6 2n(1)n2 或 6 2n4 在等差数列an中,a1 a2a50200, a51 a52a1002700 ,则a1为（）A. 22.5B.21.5 C20.5 D205.已知等差数列an的前n项和为Sn,若m 1,且am 1am 1am0, S2m 138,则 m等于（ ）A. 38B. 20C. 10D.6 等差数列an, bn的前n项和分别为SnTn2n3n 1,则旦 =(bnA. 23二、填空题2n 13n2n 13n 12n3n 4已知数列an中,a11 an 1 anan 1an，则数列通项anS已知数列的Snn n 1，则 a8a9 a10 a11 a12 =
19、三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c在等差数列 an中，公差d 1 S 452，前 100项的和 S100 45，则 a1 a3 a5a99 -若等差数列 an中，a3a7 a10 8, a11 a4 4,则 S3一个等比数列各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比三、解答题1.已知数列an的前n项和Sn 3 2n，求a.2. 一个有穷等比数列的首项为 1，项数为偶数，如果其奇数项的和为 85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。数列 lg1OOO,lg(1OOO cos600),lg(1000 cos2 600),.lg(1000n
20、COS60 )，的前多少项和为最大已知数列an的前n项和rSn 1 5 9 13 .(1)n1(4n3)求 S15 S22S31的值。已知数列a n的前n项和为Sn，满足Sn =2an-2n(n(1)求数列an的通项公式a n;(2)若数列bn满足 b n =lOg 2(an+2)，T n 为数列bnan-的前n项和，求证Tn2、选择题参考答案(数学5必修)第二章提高训练C组Tn,sn 42 41 43 42 . TnS4 1, Sb S4 3,而 S4, SbS4 , SI2Sb , S16 S|2, S20S16,成等差数列即 1,3,5,7,9, 817818819 820S20 S16
21、 985 284 83 2820, 8583 28422a2,83(q 1)2282(q 1)83 282或 q2 10,q2,1或 1，当q 1时，8n6 ；Sn yfn1 1 91 10, n 99当6 (1)n 2q 1 时，81 6,8n 6 ( 1)n 1q 2 时，81 3,8n 3 2n 1 6 2n二、填空题1.丄丄1,丄8n 8n 1 8n 1an1丄8i1 11,是以为首项，以8n1.1003.4:1:(4.5.公差的等差数列,a82)10 S100156 83 87an(n1)(1)n,8n89 310 3118 c 2b,cai22b8 b, 8 4b, cS12S71
22、22121 (727 1)a,ab2b1002 (81 8100)45,81 s 50(81899) 50810 811 84 12,83a1000.4811(2 ba)2,82 58b 4b21000.9,8110a99 a1 a100 d0.4,13810 84,87 12, Si3 (81ai3)1387设anan 1an 2qan q2 2an,q q 1 0,q 0,q1 75-2三、解答题1.解：Sn2n,Sn12n1,anSn Sn1 2n1 (n 2)2.2.3.20.而a15，二 an5,(n 1)2n1,(n2)解：设此数列的公比为 q,(q 1),则 S奇 1 (q2)
23、85, S偶1 qS偶S奇02a11 22n q F解:an项数为2n ,170,1 q85,22 n 256,2n 8, qSn2,项数为8(n23对称轴n1)lg2, an是以3为首项，以 lg2为公差的等差数列,c / 八 Cl lg2 2 6 lg 23 (n 1)lg 2号 n 2 n.6 lg2 10.47 ,n N*,10,11比较起来10更靠近对称轴 2lg 2前10项和为最大。另法：由解: SnS15S15(1)当anan0，得 9.9 n 10.904), n为偶数29,S224) 4n44, S31S22 S31n N 时,76Sn 2an,Sn3,n为奇数2n, n为偶
24、数2n 1,n为奇数61,2n, 则当 nA2, n N 时，Sn1=2an1-2(n-1).-，得 a n =2a n -2a n 1 -2即 an=2an 1+2,-a n +2=2( an 1+2),an 2=2an 1当 n=1 时，S, =2a1-2,则 a1=2,I a n+2|是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列。 an +2=4 2n 1 an=2n 1 -2(n) bn =log 2 ( a n+2)= log 2 2n1= n+1.bn2 3则Tn = 22+尹+丄+n 231t2，”-,1t21 1+23 24 2n1 1“1 尹 n 14 1 1212* 134 Tn = 3当 nA 2 时，Tn -Tn2n 4 n 3 Tn为递增数列, Tn T1 = 22n1T 0,
