小升初数学几何五大几何模型.docx
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小升初数学几何五大几何模型
知识框架
、等积模型
AB
CD
1等底等高的两个三角形面积相等;
2两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
3夹在一组平行线之间的等积变形,如右图Sxacd^Sbcd;
反之,如果Saacd=Sabcd,则可知直线AB平行于CD.
4等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
6两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、共角定理(鸟头定理)
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
S^abc:
ade二(AB (AD*AE) 三、蝴蝶定理 任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理”: ①S: S虑4: ^或者S2丰7②AO: OC=(Si+S2): (S4+S3) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型,一方面可 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系(梯形蝴蝶定理”: ①22 Si: S3=a: b 22 S: S3: S: S4=a: b: ab: ab. 7 ③S的对应份数为ab2. C 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二)沙漏模型 ①AD AB AE DEAF ACBCAG △ADE: S △ABC 22 =AF: AG. 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理: 三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾定理) 有一条公共边的三角形叫做共边三角形。 S 共边定理: 设直线AB与PQ交于点M,则二QM A (3)(4) 特殊情况: 当PQ//AB时,易知△PAB与厶QAB的高相等,从而SAPAB=SAQAB B 例题精讲 -、三角形相似模型 【例1】图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米•问: 阴影部分的面积是多少 平方厘米? 【巩固】如图,四边形ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,BG: GC=3: 1,则四边形EFGH的面积=. AED BGC 【例2】已知三角形ABC的面积为a,AF: FC=2: 1,E是BD的中点,且EF//BC,交CD于G,求阴影部分的面积. 【巩固】图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角形,已知 这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少? 【例3】如图,0是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少? 【巩固】ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,则图中 阴影部分的面积为平方厘米. 二、蝴蝶模型 【例4】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形EFGO 的面积为 D C 【巩固】如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面 积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是平方厘米。 C B 【例5】如图,ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知 正方形DEFG的面积48,AK: KB=1: 3,则BKD的面积是多少? 【巩固】如图所示,ABCD是梯形,厶ADE面积是1.8,ABF的面积是9,•汨CF的面积是27.那 么阴影■AEC面积是多少? 【例6】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形 的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中 的阴影图形,那么阴影部分的面积为• 【巩固】下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB,BC,CD, DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数-,那么, n (mn)的值等于. 、共角定理(燕尾定理)【例7】如图所示,在四边形ABCD中,AB=3BE,AD=3AF,四边形AEOF的面积是12,那 么平行四边形BODC的面积为. 8 【巩固】 正六边形A,A,A,A,A,A的面积是2009平方厘米, B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米. A3 【例8】已知四边形ABCD,CHFG为正方形,S甲: S乙=1: 8,a与b是两个正方形的边长,求 a: b=? 【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD=DE=: EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部 分,请写出这9部分的面积各是多少? 【例9】女口右图,面积为1的△ABC中,BD: DEEC1: 2,: CF: FG: GA=1: 2: 1, AH: HI: IB=1: 2: 1,求阴影部分面积. 【巩固】如图,ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四边形JKIH的面积是多少? 【例10】如图,面积为I的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三 等分点,求阴影部分面积• 10 【巩固】如图,面积为I的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等 分点,求中心六边形面积. —课堂检测 【随练1】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE=2BE,CF=2DF,连 接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正 方形MGQA的面积为3,正方形PCNG的面积为5,则S: S? =: 【随练2】如图所示,三角形AEF,三角形BDF,三角形BCD,都是正三角形,其中AE: BD=1: 3, 三角形AEF的面积是1.求阴影部分的面积。 D 家庭作业 【作业1】如图,正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少? 【作业2】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①〜⑥ 这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘 米? C 【作业3】如下图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD=2AB,点E、F分别是AD和BC 的中点,已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,则梯形ABCD的面积是 平方厘米. 【作业4】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,①、②、③这三块的面积比依次为 1: 4: 41•那么,④、⑤这两块的面积比是. 0 E B G C H F 【作业5】下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的重点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m,那么,m+n的值等于 n (A)5(B)7(C)8(D)12
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