高中数学 212 空间中直线与直线之间的位置关系能力强化提升 新人教A版必修2Word格式文档下载.docx
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C.至少与a,b之一相交D.至多与a,b之一相交
[答案] C
[解析] 若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.
3.直线a与直线b相交,直线c也与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交B.平行
C.异面D.以上都有可能
[解析] 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,所以AB∥A1B1;
又AD与AA1相交,所以AB与AD相交;
又A1D1与AA1相交,所以AB与A1D1异面.故选D.
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有( )
A.3条B.4条
C.6条D.8条
[解析] 画一个正方体,不难得出有6条.
5.下列命题中,正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[答案] B
[解析] ②④是正确的.
6.空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
[答案] A
[解析] 取AD的中点H,连FH、EH,在△EFH中∠EFH=90°
,
HE=2HF,从而∠FEH=30°
故选A.
7.正方体A1B1C1D1-ABCD中,BD与B1C所成的角是( )
[解析] ∵A1D∥B1C,∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角,连接A1B.∵△A1DB为正三角形,
∴∠A1DB=60°
.
8.空间四边形ABCD中,AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R,且AC=4,BD=2
,PR=3,则AC和BD所成的角为( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
[解析] 如图,P、Q、R分别为AB、BC、CD中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,
∴∠PQR为AC和BD所成角
又PQ=
AC=2,
QR=
BD=
,RP=3
∴PR2=PQ2+QR2,∴∠PQR=90°
即AC和BD所成的角为90°
,故选A.
二、填空题
9.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________,不平行的两条直线的位置关系是________,两条直线没有公共点,则它们的位置关系是________,垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________.
[答案] 平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异面.
10.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则下列结论:
①∠ACB=∠A′C′B′;
②∠ABC+∠A′B′C′=180°
;
③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°
一定成立的是________.
[答案] ③
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点,则
①MN与PQ的位置关系为________,它们所成的角为________.
②DB1与MN的位置关系为________,它们所成的角是________.
[答案] ①相交 60°
②异面 90°
[解析] ①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点,
所以PQ∥D1C,
同理MN∥AC,
则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角,∠D1CA=60°
②连接AC、BD交于O,
取BB1的中点H,连OH,则OH∥B1D,
连AH,HC,则AH=HC,∴OH⊥AC,
又MN∥AC,OH∥B1D,∴MN⊥B1D.
12.正方体ABCD-A1B1C1D1中
①AC和DD1所成角是________度.
②AC和D1C1所成的角是________度.
③AC和B1D1所成的角是________度.
④AC和A1B所成的角是________度.
⑤O为B1D1中点,AC和BO所成角是________度.
⑥A1B和B1D1所成角是________度.
[答案] ①90°
,②45°
,③90°
,④60°
,⑤90°
,⑥60°
[解析] ①DD1⊥面ABCD,∴DD1⊥AC;
②D1C1∥DC,∠DCA=45°
,∴D1C1与AC成45°
角;
③B1D1∥BD,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC;
④A1B∥D1C,△D1AC为等边三角形,∴成60°
⑤在正方体中,∵O是B1D1中点,∴O为A1C1中点,
又A1B=BC1∴BO⊥A1C1,
又AC∥A1C1,∴BO⊥AC,∴AC与BO成90°
⑥B1D1∥BD,△A1BD为等边三角形,∴成60°
角.
三、解答题
13.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?
并说明理由.
[分析] 由于BC∥B1C1,所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可.
[解析] 如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.
理由:
∵EF∥B1C1,BC∥B1C1,∴EF∥BC.
14.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.
[解析] 由已知得BC⊥AC,
又BC=AC,∴∠ABC=45°
又在△VBC中,D、E分别为VB、VC中点,
∴DE∥BC,∴DE与AB所成的角为∠ABC=45°
15.如右图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°
,BC=
,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
[分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点,分别引BE与DC的平行线,换句话说,平移BE(或CD).设想平移CD,沿着DA的方向,使D移向E,则C移向AC的中点F,这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角,解△EFB即可获解.
[解析] 取AC的中点F,连接BF、EF,在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点,
∴EF∥CD,
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△EAB中,AB=1,AE=
AD=
,∴BE=
在Rt△AEF中,AF=
AC=
,AE=
,∴EF=
在Rt△ABF中,AB=1,AF=
,∴BF=
在等腰△EBF中,cos∠FEB=
=
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
16.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点.
求证:
∠EA1F=∠E1CF1.
[证明] 如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,则BF=A1M=
AB.
又∵BF∥A1M,
∴四边形A1FBM为平行四边形.
∴A1F∥BM.
而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点,
则F1M綊C1B1,
而C1B1綊BC,∴F1M∥BC,且F1M=BC.
∴四边形F1MBC为平行四边形,
∴BM∥F1C.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1.
同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N,
则A1N綊DE,
∴四边形A1NDE为平行四边形.
∴A1E∥DN.
又E1N∥CD,且E1N=CD,
∴四边形E1NDC为平行四边形.
∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,
且方向都相反.
∴∠EA1F=∠E1CF1.
证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外,通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明,如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等.
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