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决策者根据新观察到的状态,再作新的决策,依此反复地进行。
马尔可夫性是指一个随机过程未来发展的概率规律与观察之前的历史无关的性质。
马尔可夫性又可简单叙述为状态转移概率的无后效性。
状态转移概率具有马尔可夫性的随机过程即为马尔可夫过程。
马尔可夫决策过程又可看作随机对策的特殊情形,在这种随机对策中对策的一方是无意志的。
马尔可夫决策过程还可作为马尔可夫型随机最优控制,其决策变量就是控制变量。
2、马尔可夫策略指标:
策略是提供给决策者在各个时刻选取行动的规则,记作,其中πn是时刻n选取行动的规则。
从理论上来说,为了在大范围寻求最优策略πn,最好根据时刻n以前的历史,甚至是随机地选择最优策略。
但为了便于应用,常采用既不依赖于历史、又不依赖于时间的策略,甚至可以采用确定性平稳策略。
衡量策略优劣的常用指标有折扣指标和平均指标。
采用折扣指标的马尔可夫决策过程称为折扣模型。
已经证明,若一个策略是β折扣最优的,则初始时刻的决策规则所构成的平稳策略对同一β也是折扣最优的,而且它还可以分解为若干个确定性平稳策略,它们对同一β都是最优的。
Markovdecisionprocessesbanditprocessesandtheirapplicationsinfinance
王熙逵教授
2013/6/24
在本次报告中,王熙逵首先介绍了金融数学发展的三个重要阶段和主要研究的问题与方法;
随后,他重点讲解了马氏决策规划和部分可观察型马氏决策规划在金融数学中的应用,包括最优投资和消费问题以及产品动态定价问题;
最后,他介绍了目前正在研究的问题:
部分可观察型马氏决策规划的风险敏感控制、用部分可观察型马氏决策规划研究动态风险测度和最优控制破产概率。
王熙逵深入浅出的讲解,用逻辑的思维带来前沿的信息,让在场的学生和老师受益匪浅。
我主要了解了bandit过程以及马尔可夫决策过程在金融领域的应用。
Rothschild和Schimalesee分别在1974年和1975年将bandit过程应用在产品价格的最优化方面。
解决的问题是在用户需求函数未知的情况下如何决定一个产品的最优价格。
如果产品收费低于市场价格,那么我们就会损失客户和营收,相反就会得到更多的客户和更多的营收。
另外bandit过程的思想和模型也被广泛应用在最优排队网络和机器学习中,在股市研究领域也非常热门。
通过此次学术交流我体会到了概率论知识在现实生活中的作用,也体会到了数学的应用价值,数学是一门工具,我们应该好好利用这个工具为整个社会服务。
报告结束后,王熙逵与数学与统计学院的老师们进行了学术交流,对数学与统计学院“统计实务”专业的课程设置提出了建议。
导师签名
FiniteelementanalysisforstochasticCahn-Hilliard-Cookequation
邹永魁教授
2013/10/22
在邹教授的报告中,我主要学习了随机Cahn-Hilliard-Cook方程及其有限元分析方法。
Cahn-Hilliard方程是一类重要的四阶非线性扩散方程,最初是有Cahn和Hilliard在1958年研究热力学中两种物质(比如合金、玻璃、聚合物等)之间相互扩散现象时提出来的,后来也应用在生物种群的竞争与排斥现象、河床迁移工程、固体表面上微滴的扩散等方面。
关于Cahn-Hilliard方程的数值解法也有过一些研究工作,例如张瑞凤研究过Cahn-Hilliard方程的显格式差分法,黄传辉研究了Cahn-Hilliard方程的谱方法。
邹教授主要是利用有限元方法对Cahn-Hilliard方程进行求解。
有限元方法的主要步骤为:
1、定义问题及求解区域;
2、将求解区域进行离散化;
3、确定状态变量以及控制方法;
4、单元推导;
5、总装求解
6、联立方程组求解;
简言之,有限元方法可分成三个阶段:
前处理、处理和后处理。
前处理是建立有限元模型,完成单元格划分;
处理是提供有限元方程的有效解法,上机求解;
后处理则是采集处理分析结果,使用户能简便提取信息,了解计算结果。
在邹教授的文章中,变量离散化方法用的是Argris有限元方法,最后的实验结果用数值试验来说明。
Network-basedSystemsBiology
陈洛南教授
2014/2/28
数学院一楼报告厅
在陈洛南教授的“基于网络的系统生物学”报告中,我了解了系统生物学的基本概念以及网络方法在系统生物学中的应用。
系统生物学是一个试图整合不同层次信息以理解生物系统如何行使功能的学术领域。
通过研究某生物系统各不同部分之间的相互关系和相互作用,系统生物学期望最终能够建立整个系统的可理解模型。
系统生物学大量使用数学的和计算技术的模型。
近年来随着数学工具以及计算机技术的迅速发展,人们开始了对系统生物学网络整体性和动态性的研究。
陈洛南教授通过一些例子,强调以网络、相互作用、动态行为等整体论观点,并结合数据与方法论的整合性观点探索如何对复杂生命现象进行不同层面的理解和诠释。
例如与单细胞系统有关的主要研究结果有以下内容:
1、基于单调动力系统的基因开关和基因振动子设计方法和理论;
2、通过探索网络结构中的正反馈和负反馈环来设计通用的人工合成基因调控网络;
3、基因调控网络建模,以及基于非线性动力学理论和控制理论对其动态行为分析;
4、考虑生物体内细胞周期影响的生物分子网络建模的统一通用框架和理论。
总体来说,基于网络的机器学习算法在系统生物学中的应用越来越广泛,这类应用主要是以实际分类问题和系统生物学中的一些应用为驱动背景,对基于网络的学习算法进行深入研究。
ClassicalTheoryofRunge-KuttaMethodsforNon-stiffGeneralVolterraFunctionalDifferentialEquations(VFDEs)
李寿佛教授
2013/3/13
世纪楼十三楼会议室
在李寿佛教授的报告中,我主要学习到了非刚性Volterra泛函微分方程,以及解决此类方程问题的经典龙格库塔方法。
首先介绍Banach空间中非刚性Volterra泛函微分方程:
设X是实或复Banach空间,符号∥∙∥表示其中范数,对任意给定的闭区间I⊂R,以符号CX(I)表示由一切连续映射x:
I→X所构成的Banach空间,其中范数定义为∥x∥∞=maxt∈I∥x(t)∥。
考虑初值问题:
y'
t=ft,yt,ya≤t≤byt=φta-τ≤t≤a
这里a,b,τ是常数,-∞<
a<
b<
+∞,0≤τ≤+∞。
φ∈CX[a-τ,a]是给定的初始函数,f:
[a,b]×
X×
CX[a-τ,b]→X是给定的连续映射,满足条件:
(1-∝tλ)Gf(0,t,u,v,ψ)≤Gf(λ,t,u,v,ψ)∀λ≥0,t∈a,b,u,v∈X,ψ∈CX[a-τ,b]∥ft,u,ψ1-f(t,u,ψ2)∥≤β(t)∙max∥ψ1(ξ)-ψ2(ξ)∥∀t∈a,b,u∈X,ψ1,ψ2∈CX[a-τ,b]
一般龙格库塔方法的形式为:
yi+1=yi+c1K1+c2K2+⋯+cpKpK1=hf(xi,yi)K2=hf(xi+a2h,yi+b21K1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯Kp=hf(xi+aph,yi+bp1K1+⋯+bp,p-1Kp-1)
龙格库塔方法的优势是计算精度高,李寿佛教授报告中讲述的主要内容就是用龙格库塔方法解决非刚性Volterra泛函微分方程。
互联网金融的风险防范和大数据应用
叶中行教授
2014/5/27
小报告厅
在国家支持互联网创新的政策背景下,互联网金融迅速发展,亟需对互联网风险进行防范。
叶中行教授从大数据出发,讲解了互联网金融的大数据背景、互联网金融存在的风险以及如何利用大数据防范互联网金融风险。
互联网金融是指借助于互联网技术、移动通信技术实现资金融通、支付和信息中介等业务的新兴金融模式,既不同于商业银行间接融资,也不同于资本市场直接融资的融资模式。
虽然互联网技术为互联网金融的正常运营提供了强有力的保证,但是互联网金融风险监管体系与传统金融的监管体系相比,在合法性、规范性、和安全性等方面尚存在很多问题,这些问题会产生诸多不确定的金融风险,我国互联网金融犯罪作案形式复杂,大多打着互联网金融旗号进行经济犯罪。
目前已经有一些互联网金融风险防范模型,传统的互联网金融防范预警模型主要有景气指数法、指标体系评分法和模型法。
严峻的形式决定了互联网金融平台必须要依法,基于互联网而产生的大数据是保证平台的有效工具,例如,我们可以借助大数据来判断互联网金融平台借款人、贷款人的资质。
互联网金融风险的预警体系的建立,应根植于互联网中的大数据,结合传统的金融风险分析方法,利用统计、计算机、数据挖掘、人工智能等手段,从数据的海洋中甄别、判断互联网金融中潜在的风险;
并且还能通过数据掌握客户动态,企业经营环节中可能出现的金融风险,从而提高企业经营管理效益。
Therelationsbetweenthethreekindsofconditionalriskmeasures
郭铁信教授
2014/6/24
一楼小报告厅
在郭教授的报告中,我主要学到了三种条件风险测度之间的关系。
假设(Ω,ε,P)是一个概率空间,F是ε的一个子σ代数,Lp(ε)是经典函数空间,LFp(ε)是由Lp(ε)产生的L0(F)模块,可以用来构造随机赋范空间。
到目前为止,条件风险测度主要有三种形式,包括LF∞(ε)、LFp(ε)、Lp(ε),并且每一种条件风险测度都有其凸双表示定理。
郭铁信教授的文章主要介绍了这三种条件风险测度之间的关系以及它们的表示定理。
首先建立了Lp(ε)和LFp(ε)之间的关系,LFpε=Hcc(Lp(ε)),这也说明了LFpε是Lp(ε)的可数串联。
基于这个已经明确的关系,郭铁信教授又证明了凸Lp(ε)产生的L0(F)条件测度可以唯一的映射到凸LFpε产生的L0(F)条件测度上,并且前者的双表示定理可以认为是后者的一个特殊实例,即Lp(ε)条件风险测度可以纳入到LFpε条件风险测度里面。
特别需要强调的是我们发现将一组可数串联集合和条件风险测度联合起来考虑是一种很有用的分析方法。
下面主要介绍一个扩展定理:
Lp-条件风险测度的扩展定理:
假设1≤r≤p<
+∞,f是从Lp(ε)到Lr(ε)的函数,则如果f满足下面两条就是Lp-条件风险测度,对所有的Lp(ε)上的x,y,如果x≥y,则f(x)≥f(y);
如果对所有的x∈Lp(ε)和y∈Lp(F),则fx+y=fx-y。
郭教授作报告的形式风趣幽默,激发了我对测度论的学习兴趣,也让我学起测度论来更加有信心。
OnanIdentityofHermitePolynomials.
丁夏畦院士
2013/3/24
在数学中,埃尔米特多项式是一种经典的正交多项式族,得名于法国数学家夏尔·
埃尔米特。
概率论里的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。
在组合数学中,埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。
物理学中,埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。
通过丁院士的报告,我主要了解了Hermite多项式的定义和一些性质。
定义:
y=Hnx=k=0n2-1kn!
k!
n-2k!
2xn-2k(n=-,1,2,⋯)
性质1:
当n为偶数时Hnx为仅含x的偶次幂,当n为奇数时Hnx为仅含x的奇次幂;
性质2:
奇偶性Hn-x=(-1)nHnx
性质3:
Hn+1-2xHn+2nHn-1=0n≥1;
Hn'
=2nHn-1n≥1;
Hn=2xHn-1-Hn-1'
;
xHn'
=nHn-1'
+nHn;
'
-2xHn'
+2nHn=0
性质4:
正交性-∞+∞e-x2HmxHnxdx=0(m≠n)
性质5:
加法公式
Hnx+y=k=0n2-n2n!
n-k!
Hk(2x)Hn-k(2y)
性质6:
零点个数
Hn(x)是x的n次多项式,它在(-∞,+∞)内有n个不相同的零点。
Tailasymptoticsfortwo-dimensionalreflectingBrownianmotion-akernelmethod
YiqiangQ.Zhao
2013/12/30
数学院大报告厅
在本次报告中我主要学习了布朗运动的知识以及反射布朗运动。
布朗运动是将看起来连成一片的液体,在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。
液体分子不停地做无规则的运动,不断地随机撞击悬浮微粒。
当悬浮的微粒足够小的时候,由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。
在某一瞬间,微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候,致使微粒又向其它方向运动,这样,就引起了微粒的无规则的运动就是布朗运动。
反射几何布朗运动:
定义1:
将由下列方程决定的随机过程Z={Zi,t≥0}称为反射集合布朗运动:
dZt=μZtdt+σZtdBt-dUtZt=x∈(0,d]
其中Bt是一维标准布朗运动,μ∈R,σ∈R,并且μ>
σ22。
反射几何布朗运动的平稳分布:
px=2μσ2-1d2μσ2-1x2μσ2-1,x∈(0,d]并且满足0dAfxpxdx=0,f∈D(A),进而2μσ2-1d2μσ2-1x2μσ2-10<
x<
d0其他是反射布朗运动平稳分布π的概率密度。
Energy-preservingintegratorsforstochasticPoissonsystems
Dr.DavidCohen
2014/2/27
一楼小学术报告厅
泊松过程用数学语言说,满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。
①P(X(0)=0)=1。
②不相交区间上增量相互独立,即对一切0≤t1<
t2<
…<
tn,X(t1),X(t2)-X(t1),…,X(tn)-X(tn-1)相互独立。
③增量X(t)-X(s)(t>
s)的概率分布为泊松分布。
非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。
对泊松过程,通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。
直观上,只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的,而且在充分小的区间上最多只发生一次,它们的累计次数就是一个泊松过程。
在应用中很多场合都近似地满足这些条件。
例如某系统在时段[0,t)内产生故障的次数,一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数,都可假定为泊松过程。
报告主要研究的是泊松系统随机扰动的数值离散,方程的形式为:
dyt=B(yt)∇H(yt)(dt+c°
dWt)
能量保存计划公式:
yn+1=yn+B(yn+yn+12)01∇H(yn+τ(yn+1-yn))dτ(h+c∆Wn)
其中h表示时间步长,∆Wn表示维纳增量。
如果矩阵By=B,那么上述方法可以简化为:
yn+1=yn+B01∇H(yn+τ(yn+1-yn))dτ(h+c∆Wn)
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