清华大学自主招生试题含答案.docx
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清华大学自主招生试题含答案
1.设复数z=cos-
3
+isin
(A)0(B)1(C)
2冲1
3,则仁
(D)3
2
1
1z2
2.设数列{aj为等差数列,
p,q,k,l为正整数,则
p+q>k+l”是“ap
aq
akal”的()条件
既不充分也不必要
(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)
3.设A、B是抛物线y=x2上两点,0是坐标原点,若OAL0B,则()
(A)|OA|•|OB|>2(B)|OA|+|OB|(C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至煩线AB的距离小于等于
4.设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:
①
Xy
f(x)>0,x€(-1,0);②f(X)+f(y)=f(),X、y€
1xy
(-1,1),则f(x)为
(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数
5.
如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有(
/C=—,且sinC+sin(B-A)-2sin2A=0,则有(
3
(A)b=2a(B)△ABC的周长为2+2-.3(C)△ABC的面积为一空(D)△ABC的外接圆半径为3
7.设函数f(x)(x23)ex,则()
(A)f(x)有极小值,但无最小值(B)f(x)有极大值,但无最大值
(C)若方程f(x)=b恰有一个实根,则b>-6|(D)若方程f(x)=b恰有三个不同实根,则0
ee
8.已知A={(x,y)1x2
22
yr},
B={(x,y)1(x
222
a)(yb)r,已知AnB={(x1,yJ,(X2,y2)},
则()
(A)0 (B) aX X2)b(y 1y2)0 (C)X1X2=a,y1 y2=b(D) 2a b2=2ax1 2by1 9.已知非负实数x,y,z 满足4x2 4y2 2 z+2z=3, 则5x+4y+3z的最小值为( ) (A)1(B)2(C)3(D)4 10.设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则() (A){an}可能为等差数列(B){an}可能为等比数列 (c){an}的任意一项均可写成{an}的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m使得an=Sm 11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测: 4道或5道的选手得第一名;观众乙猜测: 3道 的选手不可能得第一名;观众丙猜测: 1,2,6道选手中的一位获得第一名;观众丁猜测: 4,5,6道的选手 都不可能获得第一名•比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是 () (A)甲(B)乙(C)丙(D)丁 1 (A)若S=4,则k的值唯一(B)若S=^,贝Uk的值有2个 2 2 k>4 (C)若D为三角形,则0 3 (A)105种(B)225种(C)315种(D)420种 18.已知存在实数r,使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点,则n可以等于( 19. 22.在极坐标系中,下列方程表示的图形是椭圆的有( 421V2 (A)最小值为一(B)最小值为一(C)最大值为1(D)最大值为 553 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行),则( (A)存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数, 同的五位数有( (A)300个(B)450 其中有两个数字各用两次,例如 12231,则能得到的不 30.设曲线L的方程为 (A)L是轴对称图形 (C)L? {(x,y)I ##Answer## 1.【解析】丄 1-z ) 个(C)900 y4(2x2 (B)L 个(D)1800个 242 2)y(x2x)=0,则( 是中心对称图形 1 (D)L? {(x,y) zz1 zz 1 -2.2 1-cosisin 33 2cos 3 ..2 isin 3 2 2isin 3 2sin2i2sincos— 333 cos0isinO 2sin—[cos(—)isin( -)isin( 3 、、3(cos— 2 -洽2os( cos( isin) 2 7)isin( 6 7)] 丄(cos—isin— .366 △)=1,选B 2 2.【简解】ap (ak Q)=[(p+q)-(k+l)]d,与公差 d的符号有关,选 3.【解析】设A( 2 X1,X1),B( 2uuuuuu X2,X2),OAOB=X1X2(1X1X2)=0X2 X1 答案(A),|0A|lOBI^x^(1好)4(1—1^)=j1X 21 2 X1 1>/22|X1|丄=2,正确; |X1| 答案 (B),|OA|+|OB|>2..|OA「|OB|>2.2,正确;答案(C),直线AB的斜率为 22 2^=X2 x2x1 X1 程为y-xj=(x1 1 )(x- x1),焦点(0,1)不满足方程,错误;答案(D),原点到直线AB: ( 4 X1 1 )x-y+仁0 X1 的距离d= w1,正确。 选ABD (X1Jr1 4.【解析】x=y=Of(0)=O,y=-xf(x)f(x),f(x)为奇函数,(A)正确;f(x).0,(B)错误; f(xi)>f(X2)f(x)J,(C)正确; XiX2,f(xj-f(X2)=f(xi)+f(X2)=f®空>0 1xi屜 f(x)=-tanx满足已知条件,但无界,(D)错误。 选A,C 2 5.【简解】将直线平移知: 斜率为k的直线,与曲线y=f(x)至多有五个公共点,其中在此直线先下方后上方的两个区间,先上方后下方的三个区间,故F(x)有三个极大值点,两个极小值点。 选BC 6.【解析】2R= 2_ R='、3,D正确; 3 又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=—或 2 0—A=0— b=2a;A=—时,b=—J3,a=—J3,周长为2+J3,面积为一J3;b=2a时, 2333 222 c=ab2abcosC 2— a=一J3,B=—: 冋样有周长为 2+..3,面积为2&° 选BCD 32 3 7.【简解】f(x)=(x+3)(x-1) e,f极大(x) 6 f(3)—, e f极小(x)f (1)-2e, 作出其大致图象,如图 选BD 8.【解析】已知即半径相等的两圆O 222222 O: xyr与OC: (xa)(yb)r交于相异的两点 一一222222 垂直且平分,(B)(C)正确;ab=2axi2byi(aXi)(byi)Xiyi|CR||0R|,(D) 正确。 总之,选BCD 作图知 d>2ab-3=2|a||b|cos(a,b)-3=2..13cos(a,b)-3, (a,b)最大值是b与OY夹角,此时d>213L-3=3。 选C 4(1qn) 1q m11qn agm11q常数,也不可能;答案(C),anSnSn1=amat,满足要求;答案 q (D),an=Sm =at,并非对所有数列成立。 选AC 时, qz1 10.【解析】答案(A),常数列0,0,0,…满足要求;答案(B),公比 q=1时因na1za1,结论假, 11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确,故选D 12.等体积法,选B 13.【解析】如图: 不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD围成的面积图形 >4,故S=4只有一解,(A)正确;△RAB△P3P4D的面积分别 5 特别的 x,y€{0,1} 时, DE为三角形的中线,此时分成两部分面积比值为 1 当x,y €(0,1)时, △ADE面积 S=[ADXAEsinA=-xABXyACsinA=xy,D、 GE三点共线存在实数入,使 2 2 UULT得DG uuur UULT UULT uuur UULTuuur UULT =(1-入)AD+入 UUU uuu UULT DE AG AD =入( AE AD)AG: AE =(1- 入)xAB +入 yAC,又 UULT AG=- 1uuu1uuur—AB+—AC (1 )x 1 3 1 消去入得到1 1「11 =3,因__ >2. 厂1 2 S S 2 >S 33 y 1 3 x yxy V xy 3 4245 >-,等号成立当且仅当x=y=DE//BC,故S最小值为一,1-S的最大值为—;故两面积比值有最小值 9399 45 -,最大值-。 选BD 54 17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数,加设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为 Ak(k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为Ak(k=1,2,3,…,7),△A.AAm要构成以A为钝角的钝 角三角形,则n+mc7,有1+2+3+…+6=21个。 于是共可构成15X21=315个钝角三角形。 选C 18.【简解】正数点关于x轴、y轴对称,故一定是4的倍数。 选ACD 122412 19.【简解】设x=x+yi(x,y€R),代入化简得到(x丄)2y24,表示以(--,0)为圆心,以-为半径的 3933 圆及其内部,根据图形,选ACD r1r1 20.【解析】a1•a2是一个数值,不是向量,(A)错; r1r1..... a2b2=ncoscosnsinsin=、..mncos=.mncos—,(B)正确; 222222 r1r1 |a2b212=(、、mcos—、、ncos—)2+(、、msin—,nsin—)2=m+n-2.mncos 2222 m+n-2mncos—>2mn(1-cos—)=4,mnsin2—,(C)正确; 224 同理(D)正确 选BCD 21.【简解】亠1,迭乘得到an=(n+2)(n+1)n;a.(n1)3n(n+2)<(n1)2,(A)正确;2015=5 ann X13X31,不可能是三个连续整数之积,(B)正确;三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数,(C)(D) 错误。 选AB 1 22.【简解】(A)去分母,化成直角坐标方程为 x+y=1,表示直线; (B)为p=- 1 —-表示椭圆; 2cos(2 (C) 1 为p=^2表示椭圆; 1cos 2 4 23.【解析】f(x)c 3 5|x||sinnx|c|x3 (D)为p=表示双曲线。 选BC 12cos(-) 1 g(x)=4x24x43sinx>0,g极小值(x)二g(—)=0,(A)正确;|f(x)|c2 21 xx|.作图象知成立,(B)正确;x=是其一条对称轴,(C)正确; 2 f(ax)f(ax)不可能为常数,故(D)错误。 选ABC 24.【简解】A+B>—a>—-BsinA>sin(—-B)=cosB,tanA>tan( 222 —-B)=cotB,(A)(B)正确;锐角三角形, 2 定有a2 22 bc,(C)正确;三角形三边长为0.5,0.9,1 时,满足锐角三角形条件,但 33 0.50.9 0.854<1,(D)错误。 总之,选ABC 25.【解析】 根据导数定义,对任意£>0,存在3>0,当|x|< 3时,|f(x)f(0)-1|<£x(1- x £)+1 f(X)>0,(B)正 确;对于函数y=x+1,(D)不正确。 总之,选ABC 21 26.[解析】将所有的|sin/ARBsin/APjB|,按从小到大排序,共有C: 个,其中最小者不大于,最 3 12 大为2,于是-Cn>2,n的最小值为4.选B 3 27.【解析】设x=rcos0,y=rsin0,0€[0,].2x+y=1r=,x+.x2y2=rcos 22cossin +r=cos1——,记作T;去分母得到Tsin0+(2T-1)cos0=1,,T2(2T 2cossin 2T14 +arctan)=1w、T2(2T1)2,解得T>,等号成立当且仅当0+arctan TN5 3 +arctan=—,(A)正确;当0=0时T=2,0=一时T=1,最大值为2,(C)正确。 选AC 422 28.[简解】黑球先放好,放白球,选A 1)2sin( 2T1 T 29.【解析】先从五个数字中,将这三个数字中选出来,有 3 C5种方法,如选了123;在确定不重复用的数 字,有C3种方法,如选3;对数字3安排有A;种方法,余下的对数字1安排有C: 种方法,剩下的两位安 排2;有c5c3a1C42=900.选C 30.[简解】解方程得到y2x21\4x21,易知它关于两坐标轴及原点都对称, (A)(B)正确; x2y2=•4x211w1有-—3wxw—3条件,但已知中无此条件,故(C)错误;设2x=tan0,0€(——, 222 13111 ),y2=-sec2+sec0-一,当sec0=2时,y2max=,-—wyw,(D)正确。 选ABD 244422
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