Pi・=P(X=人)=£pijj
Pj=P(Y=yj)=WPu
i
P(X=Xi
7、Pij.
Y—yj)—,i
=12HI,P(Y=yjX—xj—j,j=1,2,|||
Pj
Pi.
-be-be
f(x,y)
f(x,yp0
Lolof(x,y)dxdy=1
边缘分布律:
条件分布律:
联合密度函数
2、连续型二维随机变量及其分布
1分布函数及性质
xy
0乞F(x,y)乞1F(x,y)二P{X乞x,Y空y}
分布函数:
F(x,y)二」f(u,v)dudv
F(xy)
性质:
F(:
:
:
:
)=1,f(x,y),P((x,y)•G)f(x,y)dxdy
cxcyg
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数:
xV--
Fx(x)f(u,v)dvdu密度函数:
fx(x)二f(x,v)dv
y:
:
•:
:
FY(y)f(u,v)dudvfy(y)二f(u,y)du
③条件概率密度
fYx(y力严vyv址,fxY(xy)=y),亠讥£垃
fx(x)fY(y)
3、随机变量的独立性
随机变量X、丫相互独立二F(x,y)=Fx(x)Fy(y),
离散型:
Pj=pi.p.j,P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}连续型:
f(x,y)二fx(x)fY(y)
4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式)
离散型:
P(Z二Zk)二'p(x二xi,丫二yj)注意部分可加性
xyj刍
-kc-lac
连续型:
fz(z)二f(x,z-x)dx二f(z-y,y)dy
VVb**
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
1定义:
离散型E(X)=FXkPk,连续型E(X)=Qxf(x)dx匝回卫还
k=1亠
2性质:
E(C)=C,E[E(X)]=E(X),E(CX)=CE(X),E(X_Y)=E(X)_E(Y)
E(aX-b)=aE(X)-b,当X、Y相互独立时:
E(XY)=E(X)E(Y)(正对逆错)
随机变量g(X)的数学期望E(g(X))=2:
g(Xk)Pk
|k
2、方差
①定义:
②性质:
D(C)=O,D(aX士b)=a2D(X),D(X士丫)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)
当X、Y相互独立时:
D(X-丫)二D(X)'D(Y)
3、协方差与相关系数
①协方差:
Cov(X,Y)二E(XY)-E(X)E(Y),当X、Y相互独立时:
Cov(X,Y)=0
②相关系数:
"腐丫丫),当X、丫相互独立时:
"0(X,丫不相关)
③协方差和相关系数的性质:
Cov(X,X)二D(X),Cov(X,Y)二Cov(Y,X)
Cov(X〔+X2,Y)=Cov(X「Y)+Cov(X2,Y),Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)
Cov(x,a)=0(a为常数),D(aX-bY)二a2D(X)b2D(Y)-2abCov(X,Y)
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
分布
数学期望E(X)
方差D(X)
0-1分布b(1,p)
p
p(1-p)
二项分布b(n,p)
np
np(1-p)
泊松分布P0)
A
扎
均匀分布U(a,b)
a+b
2
(b-a)2
12
正态分布N(比CT)
2a
指数分布e(S
1
1
r2
k
扎
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若E(X)=^,D(X)=u2,对于任意乞>0有P{X—E(X
z
2、大数定律:
①切比雪夫大数定律:
若x②伯努利大数定律:
设nA是n次独立试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生
1列维一林德伯格中心极限定理:
独立同分布的随机变量Xi(i=1,2,山),均值为',方差为
b2>0,当n充分大时有:
Yn=({Xk-n»)/后一~TN(0,1)
kV/
2
棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理:
随机变量X〜B(n,p),则对任意x有:
limP{—X"np六、数理统计的基本概念
1、总体和样本的分布函数
n
设总体X〜F(x),则样本的联合分布函数F(x1,x^xn)二丨【F(Xk)
k勻
1n—2
>1-送(Xi-X),样本k阶原点距:
VnTi#
样本k阶中心距:
Bk=丄v(Xj-X)k,k=1,2,3川
ni=1
3、三大抽样分布
2以夕•…xn服从自由度为n的2分布,记为2〜2(n)性质:
①E[2(n)]二n,D[2(n)]=2n②设X~2(m),Y~2(n)且相互独立,
2
则XY~(mn)
X
V.Yn服
⑵t分布:
设随机变量X〜N(0,1),Y〜2(n),且X与丫独立,则称统计量
从自由度为n的t分布,记为T~t(n)。
n1—
性质:
①E(T)=0(n"DCT)2)②Hmfn(x^'(x^--e2
⑶F分布:
设随机变量X~2(m),Y~2(n),且x与丫独立,则称统计量F(m,nr;;服
从第一自由度为m,第二自由度为n的F分布,记为F〜F(m,n),性质:
设F〜F(m,n),则1F~F(n,m)。
七、参数估计
1.参数估计
AA
①定义:
用,(X1,X2丄,Xn)估计总体参数二,称d(X1,X2,L,Xn)为二的估计量,相应的二(X|,X2,川,Xn)为总体二的估计值。
2.点估计中的极大似然估计
设X1,X2,LXn取自X的样本,设X~f(x^)或X~P(xj),求法步骤:
nn
1似然函数:
L⑺岂If(x/)(连续型)或L^W.lP(Xi厂)(离散型)
i经i=1
nn
2取对数:
lnL(v)='lnf(XiJ)或InL^^xlnpi(XiJ)
i=1i=1
宀宀3=B1(X1,X2,川,Xn)
3解方程:
匹=0丄,也=0,解得:
III
因現lAA
.玉"k(X1,X2,川,Xn)
3.彳
古计量的评价标准
估计
无偏性
设日-9(x1)x2)L,xn)为未知参数日的估计量。
若E(T),则称日为日的无偏估计量。
量的评价标准
有效性
设日1=印(捲必丄X)和日2=02(X|,X2丄,Xn)是未知参数8的两个无偏估计量。
若D(Bi)cD(日2),贝U称日1比日2有效。
一致性
设日n疋日的串估计量,如寸名>0,有limP(|日n-日卜名)=0则称日n为日的致估n_ac
计量(或相合估计量)。
正态总体中,样本均值X是.1的无偏估计量
修正样本方差S2是二2的无偏估计量
5.区间估计单正态总体参数的置信区间
条件
估计参数
枢轴量
枢轴量分布
置信水平为1—a的置信区间
已知
a2
h/n
N(0,1)
‘―CF—CF
未知
a2
宀
SNn
t(n-1)
(-s-S1
《(n-W,x+*2(n-1需
未知
CT2
2
沪(n-1)S上=a2
严(n—1)
/\(n-1)S2(n-1)S2
牡门一"'1^(门一1);
未知
CT2
八送%-叮
紅1▽丿
◎n)
/nn
Z(Xi—門2送(Xi—門2
〜i二
抵2(门)’£(门)
k}
八、假设检验
1.假设检验的基本概念
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
小概率事件的概率就是显著性水平a,常取a=0.05,0.01或0.10。
基本步骤
①提出原假设H;②选择检验统计量g(X1,L,Xn);③对于a查表找分位数入,使P(g(X1,L,Xn)EW)=a,从而定出拒绝域W;
④由样本观测值计算统计量实测值g(x」|(,Xn);并作出判断:
当实测值落入W时拒绝否则认为接受H。
第一类错误:
当H)为真时,而样本值却落入了拒绝域,应当否定H)。
“弃真错误”
P{拒绝H0为真}=:
-
第二类错误:
当H为真时,而样本值却落入了接受域,应接受H。
“取伪错误”
2.单正态总体均值和方差的假设检验