秋季创新班第九讲二次函数与角度专题二解析.docx
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秋季创新班第九讲二次函数与角度专题二解析
2021秋季初三创新班第九讲补充题二次函数与角度专题
(二)
1.(2020•碑林区校级模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点D(4,m)在抛物线上,连接BC、BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?
如果存在,请求出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)当x=0时,y=6,
∴点C的坐标为(0,6).
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6),
将C(0,6)代入得:
-12a=6,解得a=-1.
2
∴抛物线的解析式为y=-1(x+2)(x-6),
2
整理得:
y=-1x2+2x+6.
2
(2)将x=4代入得:
y=6.
∴D(4,6).
如图所示:
作点DE//x轴,过点B作BE//y轴,作点D关于BC的对称点D',则BD=BD',
过点D'作D'F⊥x轴,垂足为F.
B(6,0),C(0,6),
∴OB=OC.∴∠OBC=45︒.
∴∠OBC=∠EBC.
又=∠DBC,
∴∠DBE=∠D'BF.在∆DEB和△D'FB中
⎧∠D'FB=∠DEB
⎪∠DBE=∠D'BF,
⎪BD=BD'
∴∆DEB≅△D'FB.
∴D'F=ED=2,BF=BE=6.
∴点D'的坐标为(0,2).
设BD'的解析式为y=kx+2,将点B的坐标代入得:
6k+2=0,
解得k=-1,
3
∴BD'的解析式为y=-1x+2.
3
将y=-1x+2代入y=-1x2+2x+6
32
得:
-1x+2=-1x2+2x+6,
32
整理得:
3x2-14x-24=0,
解得:
x=6(舍去)或x=-4.
3
将x=-4代入得:
y=-1⨯(-4)+2=4+2=22
33399
∴点P的坐标为(-4,22).
39
2.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;
(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、
F,若∆PEB、∆CEF的面积分别为S1、S2,求S1-S2的最大值.
【解析】解:
⎧a=-1
⎪
⎧a-b+c=0⎪
⎪⎪3
(1)由题意可得⎨16a+4b+c=0,解得⎨b=2,
⎩
⎪c=2
∴抛物线解析式为y=-1x2+3x+2;
22
⎪
⎪c=2
⎪⎩
(2)当点D在x轴上方时,过C作CD//AB交抛物线于点D,如图1,
A、B关于对称轴对称,C、D关于对称轴对称,
∴四边形ABDC为等腰梯形,
∴∠CAO=∠DBA,即点D满足条件,
∴D(3,2);
当点D在x轴下方时,
∠DBA=∠CAO,
∴BD//AC,
∴可设直线AC解析式为y=kx+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,
∴直线AC解析式为y=2x+2,
∴可设直线BD解析式为y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,
∴直线BD解析式为y=2x-8,
⎧y=2x-8
联立直线BD和抛物线解析式可得⎪
y=-x+x+2
,解得
⎧x=4
⎨y=0
⎧x=-5
或⎨y=-18,
∴D(-5,-18);
⎪⎩22⎩⎩
综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(-5,-18);
(3)设P(t,-1t2+3t+2),
22
AB=5,OC=2,
∴S∆PAB
=1(-1t2+3t+2)⨯5=-5t2+15t+5,
22244
OF
-1t2+3t+2
22
=1,
t+1
∴OF=-1(t-4),
2
∴S∆AFO
=1⨯1⨯[-1(t-4)]=-1(t-4),且S
224
∆BOC
=1⨯2⨯4=4,
2
∴S-S=-5t2+15t+5+1(t-4)-4=-5t2+4t=-5(t-8)2+16,
124444455
∴当t=8时,有S-S有最大值,最大值为16.
5125
3.(2019秋•开福区校级期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于C点,对称轴为x=-1,直线y=-x+3与抛物线相交于A、D两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一动点,且位于y=-x+3的下方,求出∆ADP面积的最大值及此时点P
的坐标;
(3)设点Q在y轴上,且满足∠OQA+∠OCA=∠CBA,求CQ的长.
【解析】解
对称轴为x=-1,
∴-b=-1,
2a
∴b=2a,
∴y=ax2+2ax-5,
y=-x+3与x轴交于点A(3,0),
将点A代入y=ax2+2ax-5可得a=1;
3
(2)y=1x2+2x-5与y=-x+3的交点D(-8,11),
33
∴AD=11,
设P(m,1m2+2m-5),
33
则过点P与直线y=-x+3垂直的直线解析式为y=x+b,
将点P代入解析式得到1m2+2m-5=m+b,
33
∴b=1m2-1m-5,
33
∴过点P与直线y=-x+3垂直的直线解析式为y=x+1m2-1m-5,
33
两直线的交点为T(-1m2+1m+4,1m2-1m-1),
6666
∴TP=|m+m-4|=2|(m+5)2-121|,
66624
∴当m=-5时,TP有最小值为1212,
224
∴P(-5,-55),
2
S=1⨯112
12
2⨯1212=1331;
2424
(3)当Q点在y轴正半轴上时,过点Q作AC的垂线交AC延长线于点G,连接QA,由题意可求:
OA=3,BO=5,OC=5,
∴∆BOC是等腰直角三角形,
∴∠CBA=45︒,
∠QAG=∠OCA+∠AQO,∠OQA+∠OCA=∠CBA,
∴∠QAG=45︒,∴∆AQG是等腰直角三角形,
∴GQ=AG,
∠OCA=∠QCG,∠QGC=∠AOC,
∴∆OAC∽∆GQC,∴OA=OC,
GQGC
在Rt∆AOC中,AC=
34,
∴3=
AG
5,∴AG=334,
2
∴OA=AC,∴3
=,∴CQ=17;
GQCQAGCQ
在y轴负半轴上截取OQ'=OQ,连接AQ',则∠OQA=∠OQ'A,
∴∠OQ'A+∠OCA=∠OQA+∠OCA=∠CBA=45︒,
∴Q'也满足题意,
此时Q'C=OQ-OC=CQ-OC-OC=17-5-5=7;综上所述:
OQ的长为7或17.
4.(2019春•开福区校级月考)已知抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)与x轴交于A、B两点(点
A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)如图1,请求出A、B、C三点的坐标;
(2)点E为x轴下方抛物线y=kx2-4kx+3k(k>0)上一动点.
①如图2,若k=1时,抛物线的对称轴DH交x轴于点H,直线AE交y轴于点M,直线BE
交对称轴DH于点N,求MO+NH的值;
②如图3,若k=2时,点F在x轴上方的抛物线上运动,连接EF交x轴于点G,且满足
∠FBA=∠EBA,当线段EF运动时,∠FGO的度数大小发生变化吗?
若不变,请求出
tan∠FGO的值;若变化,请说明理由.
【解析】解:
(1)令kx2-4kx+3k=0,解得x=1,x=3,
12
∴A(1,0),B(3,0),
令x=0,y=3k,∴C(0,3k).
(2)①当k=1时,抛物线的解析式为y=x2-4x+3,如图1,过点E作Ek⊥x轴于点K,
则∆BKE∽∆BHN,∆AKE∽∆AOM,设点E(m,m2-4m+3),
∴KB=KE,KE=AK,
HBHNMOAO
3-m-m2+4m-3-m2+4m-3m-1
即:
=,=,
1HNMO1
得:
NH=m-1,MO=-m+3,
∴MO+NH=m-1+(-m+3)=2.
②不会变化.
如图2所示,过E作EN⊥x轴于点N,作FH⊥x轴于点H,过点E作EM⊥FH,交FH
的延长线于点M,
设点F(n,2n2-8n+6),E(a,2a2-8a+6),当n>3时,不能满足∠FBA=∠EBA,
∴n<1,
∆FHB∽∆ENB,
∴FH=HB,
ENNB
2n2-8n+63-n
∴-2a2+8a-=-a
,得:
n+a=2,
∴FM2n-8n+6-(2a-8a+6)
22
tan∠FGO=tan∠FEM===4,
EMa-n
综上可知:
当点F和点E在抛物线上运动时,tan∠FGO的值不会发生变化,且
tan∠FGO=4.
5.(2019秋•雨花区校级期末)如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数y=m(m为常数,
x
m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求∠OCD的度数;
(2)如图2,连接OQ、OP,当∠DOQ=∠OCD-∠POC时,求此时m的值;
(3)如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、OB为邻边作矩形
OAMB.若点M恰好在函数y=m(m为常数,m>1,x>0)的图象上,且四边形BAPQ为
x
平行四边形,求此时OA、OB的长度.
⎧km+b=1
⎩
【解析】解:
(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有⎨k+b=m,
⎨
⎧k=-1
解得
⎩b=m+1
,∴y=-x+m+1,令x=0,得到y=m+1,
∴D(0,m+1),令y=0,得到x=m+1,
∴C(m+1,0),∴OC=OD,
∠COD=90︒,∴∠OCD=45︒.
(2)如图2,过Q作QM⊥y轴于M,过P作PN⊥OC于N,过O作OH⊥CD于H,
P(m,1)和Q(1,m),
∴MQ=PN=1,OM=ON=m,
=∠ONP=90︒,∴∆OMQ≅∆ONP(SAS),
∴OQ=OP,∠DOQ=∠POC,
∠DOQ=∠OCD-∠POC,∠OCD=45︒,
∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5︒,
∴MQ=QH=PH=PN=1,
∠OCD=∠ODC=45︒,
∴∆DMQ和∆CNP都是等腰直角三角形,∴DQ=PC=,
OC=OD=m+1,∴CD=
2OC=
2(m+1),
CD=DQ+PQ+PC,∴2(m+1)=2+2,∴m=+1;
(3)如图3,
四边形BAPQ为平行四边形,
∴AB//PQ,AB=PQ,∴∠OAB=45︒,
∠AOB=90︒,∴OA=OB,∴矩形OAMB是正方形,
点M恰好在函数y=m(m为常数,m>1,x>0)的图象上,
x
∴M(,m),即OA=OB=,
AB=PQ,∴=
,解得:
m=3+
2
5或3-
2
5(舍),
∴OA=OB===
6+25=5+1.
22
6.(2019•雨花区校级模拟)已知:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,
其中点A为(-1,0),与y轴负半轴交于点C(0,-2),其对称轴是直线x=3.
2
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)圆O'经过点∆ABC的外接圆,点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交圆O'
于点D,连接AD、BD,求∆ACD的面积;
(3)在
(2)的条件下,二次函数y=ax2+bx+c的图象上是否存在点P,使得
∠PDB=∠CAD?
如果存在,请求出所有符合条件的P点坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】解:
(1)
∴B(4,0),
A(-1,0),对称轴为直线x=3,
2
⎧a=1
⎪
⎧c=-2⎪
⎪⎪3
由题意可知,⎨a-b+c=0解得⎨b=-
⎪16a+4b+c=0⎪2
⎩⎪c=-2
⎪⎩
∴抛物线的解析式为y=1x2-3x-2.
22
(2)A(-1,0),B(4,0),C(0,-2),
∴OA=1,OB=4,OC=2,∴OC=OB,
OAOC
又=∠COB=90︒,∴∆AOC∽∆COB,
∴∠BAC=∠BCO,∴∠ACB=90︒,
∴AB为圆O'的直径,O'点坐标为(3,0),∴∠ADB=90︒,
2
又CD平分∠BCE,∴∠BCD=∠ECD=45︒,
∴∠BAD=45︒,∆ADB为等腰直角三角形,
连接O'D',则DO'=1AB,DO'⊥AB,
2
∴DO'=5,D的坐标为(3,-5),
222
设AD与y轴交于点F,
∠DAB=45︒,∴OF=OA=1,∴CF=1,过D作DH垂直于y轴,
D(3,-5),∴DH=3,OH=5,
2222
∴S∆ACD
=S∆ACF
+
S∆DCF
=1⨯1⨯1+1⨯1⨯3=5.
2224
(3)抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CAD,分两种情况讨论:
①过D作MN//BC,交y轴于点M,
MN//BC,∴∠BDN=∠CBD,∠OCB=∠HMD,
又∠CBD=∠CAD,
∴∠BDN=∠CAD,直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P,
∠OCB=∠HMD,∠COB=∠MHD=90︒,
∴∆HDM∽∆OCB,∴MH=OC=2,
DHOB4
,∴MH=4,M(0,-13).
34
设直线MD的解析式为y=mx+n,
⎧3m+n=-5⎧m=1
则有⎪22解得⎪2
⎨13⎨13
⎪n=-
⎪⎩4
⎪n=-
⎪⎩4
直线MD的解析式为y=1x-13,
24
⎧y=1x2-3x-2
⎧x=4+6
⎧x=4-6
⎪22
⎪12
⎪22
∴⎨
⎪y=
1x-13
解得⎨
⎪y
,⎨
=6-9⎪y
(舍)
=-6+9
⎪⎩24
⎪⎩14
⎪⎩24
∴P(4+
6,6-9).
124
②过点D作∠O'DG=∠O'BC,交x轴于点G点,
=∠O'BD=45︒,
∴∠GDB=∠CBD=∠CAD,
即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点,
又∠DO'G=∠COB,
∴△O'GD∽∆OCB∴OB=OC,∴4=
2∴O'G=5,∴G(11,0),
O'DO'G
设直线DG的解析式为y=kx+b,
5O'G44
2
⎧0=11k+b
⎧k=2
则有⎪4
53
,解得⎪11
⎪-=
k+b
⎪b=-
⎪⎩22⎩2
∴直线DG的解析式为y=2x-11,
2
⎧y=2x-11
⎧x=7-
⎧x=7+
⎪2
⎨13
,解得⎪1
22(舍),⎪222
33
⎪y=x2-
x-2
⎪y=-
⎪y=+
⎪⎩22
⎪⎩12
⎩⎪22
∴P(7+
21,3+
21).
222
综上所述,点P的坐标为(4+
6,6-9)或(7+
21,3+
21).
24222
7.(2020春•雨花区期中)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2-2ax-3分别交x轴正半轴于点B,交x轴负半轴于点A,与y轴负半轴交于点C,且AB=4.
(1)如图1,求a的值;
(2)如图2,D是第一象限抛物线上的点,连AD,过点D作DM//y轴,交CB的延长线于点M,连接AM交BD于点N,若S∆ABN=S∆DMN,求点D的坐标以及tan∠DAB的值;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接AD,P是第一象限抛物线上的点(点P与点D不重合),过点P作AD的垂线,交x轴于点F,点E在x轴上(点E在点F的左侧),EF=13,点G在直线FP上,连接EP、OG.若EP=OG,∠PEF+∠G=45︒,求点P的坐标.
(2)如图2中,
S∆ABN=S∆DMN,∴S∆ABD=S∆ADM,∴CM//AD,
直线BC解析式为y=x-3,设直线AD解析式为y=x+b,把点A(-1,0)代入得到b=1,
∴直线AD解析式为y=x+1,
⎧y=x+1
⎩
由⎨y=x2-2x-3解得x1=-1(舍去)或x2=4,
∴点D坐标(4,5),∴tan∠DAB=5=1.
5
(3)如图3中,作GN⊥OA于N,PM⊥OF于M,PE与DN交于点K,DN与OG交于点H,OG与PE交于点J.
∠DAB=∠AEK+∠EKA=45︒,∠AEK+∠FGO=45︒,
∴∠EKA=∠HKJ=∠FGO,
PG⊥AD,∴∠FGO+∠GHD=90︒,
∠GHD=∠KHJ,∴∠HKJ+∠KHJ=90︒,
∴∠PEM+∠EOG=90︒,∠NGO+∠GOA=90︒,
∴∠PEM=∠NGO,
PE=GO,∠GNO=∠PME=90︒,
∴∆PEM≅∆OGN(AAS),
∴ON=PM=FN,GN=EM=FN,
∴EN=FM=ON,
设点P(m,m2-2m-3),
EF=13,∴3(m2-2m-3)+m=13,∴m=11或-2(舍去),∴点P坐标(11,28).
339
8.(2020•常州)如图,二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛物线过点C(1,0),且顶点为D,连接AC
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