函数的周期性与对称性.docx
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函数的周期性与对称性
第5炼函数的对称性与周期性
一、基础知识
(一)函数的对称性
1、对定义域的要求:
无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或
对称中心)对称
2、轴对称的等价描述:
(1)fa-X二fa•xfx关于x=a轴对称(当a=0时,恰好就是偶函数)
a+b
(2)fa-x]=fb•xfx关于x轴对称
在已知对称轴的情况下,构造形如fa-x二fb•x的等式只需注意两点,一是等
式两侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反;二是a,b的取值保证b为
2
所给对称轴即可。
例如:
fx关于x=1轴对称=fx=f2-x,或得到f3-x二f-1x均可,只是在求函数值方面,一侧是fx更为方便
(3)fxa是偶函数,则fxa=f-xa,进而可得到:
fx关于x=a轴对称。
1要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在fx,a中,x仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x取相反数时,函数值相等,即fx•a二f-x•a,要与以下的命题区分:
若fx是偶函数,则fx■a=faI:
fx是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有fx•a=f[-[X•a
2本结论也可通过图像变换来理解,fx•a是偶函数,则fx•a关于x二0轴对称,而f(x)可视为f(x+a)平移了a个单位(方向由a的符号决定),所以f(x)关于x=a对称。
在已知对称中心的情况下,构造形如fa-x--fbx的等式同样需注意两点,一
o+b
是等式两侧f和x前面的符号均相反;二是a,b的取值保证x为所给对称中心即
2
可。
例如:
fx关于-1,0中心对称=fx=-f2-泳或得到
f3-x二-f-5x均可,同样在求函数值方面,一侧是fx更为方便
(3)fxa是奇函数,则fx,a二-f-x・a,进而可得到:
fx关于a,0中心对称。
①要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在fx,a中,x仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x取相反数时,函数值相反,即fx•a=f-x•a,要与以下的命题区分:
②本结论也可通过图像变换来理解,
fxa是奇函数,则fx•a关于0,0中心对
若fx是奇函数,则fx•a]=-f[-lx•a:
fx是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有fxa]=-f[-].x•a
a的符号决定),所以fx关于
称,而f(x)可视为f(x+a)平移了a个单位(方向由
a,0对称。
4、对称性的作用:
最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要
分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点:
(1)可利用对称性求得某些点的函数值
(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像
(3)极值点关于对称轴(对称中心)对称
(4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,
关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
(二)函数的周期性
1、定义:
设fx的定义域为D,若对D,存在一个非零常数T,有fxTPx,则称函数fx是一个周期函数,称T为fx的一个周期
2、周期性的理解:
可理解为间隔为T的自变量函数值相等
3、若fX是一个周期函数,则fXT1=fx,那么fx•2T]=fx•T]=fx,
即2T也是fx的一个周期,进而可得:
kTkZ也是fx的一个周期
4、最小正周期:
正由第3条所说,kTk・Z也是fx的一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小的正数,即称为最小正周期。
然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数fx]=C
5、函数周期性的判定:
(1)f(x+a)=f(x+b):
可得f(x)为周期函数,其周期T=|b—a
(2)fx•a--fx=fx的周期T=2a
分析:
直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:
fx・2ai;=-fxa
所以有:
fx,2a--fx,a---fx=fx,即周期T=2a
注:
遇到此类问题,如果一个等式难以推断周期,那么可考虑等间距再列一个等式,进而通
过两个等式看能否得出周期
1
(3)fxafx的周期T=2a
f(x)
“11
分析:
fx•2afx
f(x+a)
f(x)
(4)fxfxa=k(k为常数)=fx的周期T=2a
分析:
fxfxa二k,fxafx2a二k,两式相减可得:
fx•2a=fx
(5)fxfxa=k(k为常数)=fx的周期T=2a
(6)双对称出周期:
若一个函数fx存在两个对称关系,则fx是一个周期函数,具体情况如下:
(假设ba)
①若fx的图像关于x二a,x二b轴对称,则fx是周期函数,周期T=2b-a
分析:
fx关于x=a轴对称=f—x二f2a•x
fx关于x=b轴对称=f-x=f2b•x
f2ax=f2bxfx的周期为T=2b「2a=2b「a
2若fx的图像关于a,0,b,0中心对称,则fx是周期函数,周期T=2b-a
3若fx的图像关于x=a轴对称,且关于b,0中心对称,则fx是周期函数,周期
T=4b-a
7、函数周期性的作用:
简而言之“窥一斑而知全豹”,只要了解一个周期的性质,则得到整
个函数的性质。
(1)函数值:
可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值
(2)图像:
只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
(3)单调区间:
由于间隔kTk・Z的函数图象相同,所以若fX在a,bb-a^T上
单调增(减),则fx在akT,bkTkZ上单调增(减)
(4)对称性:
如果一个周期为T的函数fx存在一条对称轴x=a(或对称中心),则
kT
fx存在无数条对称轴,其通式为x=akZ
证明:
;fx关于x=a轴对称.fx=f2a-x
函数fx的周期为T.fx•kT=:
[fx
kT
.fx•kTi;二f2a-x.fx关于x=a轴对称
注:
其中(3)(4)在三角函数中应用广泛,可作为检验答案的方法
二、典型例题:
例1:
设f(x)为定义在R上的奇函数,f(x,2)--f(x),当0乞X乞1时,f(x)=x,则
f(7.5)二
思路:
由f(x2H-f(x)可得:
fx的周期T=4,■考虑将f(7.5)用0乞x汨中的
函数值进行表示:
f(7.5)=f3.5=f-0.5,此时周期性已经无法再进行调整,考虑利
11
当10,2时,
用奇偶性进行微调:
f一0.5二-f0.5,所以f(7.5)=
答案:
1
心)二
例2:
定义域为R的函数fx满足
答案:
D
小炼有话说:
fx虽然不是周期函数,但函数值关系与周期性类似,可理解为:
间隔2个
单位的自变量,函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法,将自变量向已知
范围进行靠拢。
例3:
定义在R上的函数fx对任意x・R,都有fx2u1_fx,f2=-,则1+f(x)4
f2016等于()
1
1
1
3
A.—
B.
C.
D.
4
2
3
5
思路:
1_
由fx•2=
fx及所求
f2010可〕
联想到
周期性,所以考虑
1+
fx
1—f
(2)33
f2016“4,而由已知可得f4二,所以f2016
答案:
D
flog2(1一xJ,x兰0
例4(2009山东):
定义在R上的函数fX满足fx,则
f(x-1)-f(x-2),xa0
f2009的值为()
A.-1B.0C.1D.2
思路:
所给fx的特点为x:
:
0才有解析式能够求值,而x0只能通过
fx[=fx-1-fx-2减少自变量的取值,由所求f2009可联想到判断fx是
否具有周期性,x0时,fx二fx-1-fx-2,贝U有
fx1=f尝-f3x两式相加可得:
fx=-fx-3],则
fx二-fx「3二fx「6,即fx在x0时周期是6,故
f2009=f5--f2,而
f2二f1-f0二f0-f-1-f0二f-1=1
答案:
C
小炼有话说:
(1)本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量
靠拢,而X=2009数较大,所以考虑判断函数周期性。
(2)如何快速将较大自变量缩至已知范围中?
可利用带余除法除以周期,观察余数。
则被
除数的函数值与余数的函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。
例如本
题中2009“6=334川5,从而f2009[=f5
(3)本题推导过程中fxi=-fX-3也有其用处,其含义是间隔为3的自变量函数值
互为相反数,相比周期,它的间隔更小,所以适用于利用周期缩小自变量范围后,进行“微
调”从而将自变量放置已知区间内
例5:
函数fX是周期为4的偶函数,当〔0,21时,fx=log2x1-1,则不等
思路:
从已知出发可知x:
=1.0,2]时,fx为增函数,且f1i;=log22=0,所以
x0,1时,fx:
:
;0,x[1,2时,fx0,由偶函数可得:
x三[•1,01时,fx:
:
:
0,fx•丨-2,-1时,fX],0。
从而可作出草图。
由所解不等式xfX],0可将丨-1,3.1分为[-1,0U〔°,31两部分,当x:
:
:
0时,fx:
:
:
0,所以x-1,0,当x■0时,fx0,所以fx卢,1,3,综上解集为:
-1,0U1,3
答案:
-1,0U1,3
例6:
已知fx是定义在R上的函数,满足fx『:
;■f-x=0,fx-1二fx1,当
10,1时,fx二-x2x,则函数fx的最小值为()
思路:
由fx-1二fx1可得fx是周期为2的周期函数,所以只需要求出一个周
期内的最值即可。
由fX•f-x=0可得fx为奇函数,所以考虑区间-1,1,在
数,所以在xe(_1,o)时,f(xjm.-f〔1)=—f1,所以f〔丄’即为f(X)
I2丿辽丿4I2丿
在-1,1的最小值,从而也是fx在R上的最小值
答案:
B
例7:
已知定义域为R的函数fx满足f[.-X=-fx4,且函数fx在区间2,:
:
上单调递增,如果x」:
2■■■x2,且x1x2<4,则f%fx2的值()
A.可正可负B.恒大于0C.可能为0D.恒小于0
思路一:
题目中给了单调区间,与自变量不等关系,所求为函数值的关系,从而想到单调性,
而x1x^:
:
4可得x2:
:
4-论,因为x1:
:
:
2,所以4-论•2,进而将x2,4-x1装入了
2,=中,所以由X2:
:
:
4-为可得fX2:
:
:
f4-为,下一步需要转化f4-为,由
f-x二-fx4可得fx关于2,0中心对称,所以有f4-x「fx。
代入Xi可得f4—Xi二—fXi,从而fX2?
”一fXi=•fXifX2:
:
0
思路二:
本题运用数形结合更便于求解。
先从f-x=-fx4分析出fx关于2,0
中心对称,令x--2代入到f-x二-fx4可得
f2=0。
中心对称的函数对称区间单调性相同,从而可作
出草图。
而xix2:
4=XiX2:
2,即x.|,x2的中点位于
2
x=2的左侧,所以xi比X2距离x=2更远,结合图象便可
分析出f为$:
;■fx2恒小于0
答案:
D
小炼有话说:
(i)本题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发现条件的自变量关系,
与所求函数值关系,而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装
入同一单调区间内。
而对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系
(2)数形结合的关键点有三个:
第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而
且是呈“对称”的关系,从而在图像上才能看出f%fx2的符号;第二个是f2=0,
进而可知fx],0;x「・=,2,fx:
0;第三个是
XiX2:
:
:
4=互X22,既然是数形结合,则题中条件也要尽可能转为图像特点,而
2
XiX2:
:
4表现出中点的位置,从而能够判断出Xi,X2距离中心对称点的远近。
例&函数fx的定义域为R,若fx,i与fx-i都是奇函数,则()
思路:
从已知条件入手可先看fX的性质,由fX•i,fx-i为奇函数分别可得到:
fx,i二-f-xi,fx-if-x-i,所以fx关于i,0,-i,0中心对称,
双对称出周期可求得T=2||J--i=4,所以C不正确,且由已知条件无法推出一定符合A,B。
对于D选项,因为T=4,所以fx・5二fx"二-f-x1,进而可推出fx关于3,0中心对称,所以fx3为fx图像向左平移3个单位,即关于0,0对称,所以fx为奇函数,D正确
答案:
D
例9:
已知定义域为R的函数y=fx在10,7]上有1和6两个零点,且y=fx•2与
y=fx7都是偶函数,则y=fx在1.0,2013]上的零点个数至少有()个
A.404B.804C.806D.402
思路:
已知区间仅是0,7丨,而所求区间为10,2013丨,跨度如此之大,需要函数性质。
从条件入手fx2,fx7为偶函数可得fx关于x=2,x=7轴对称,从而判断出fx是周期函数,且T=2•7-2=10,故可以考虑将10,20131以10为周期分组,先判断出一个周期内零点的个数,再乘以组数,加上剩余部分的零点即可
解:
:
fx2,fx7为偶函数
fx2=f-x2,fx7=f-x7fx关于x=2,x=7轴对称
.fx为周期函数,且T=2•7-2=10
将0,20131划分为〔0,10U10,20U…J吃000,2010U>2010,2013)
fx关于x=2,x=7轴对称•fxi;=f4-x,fx[=f14-x
7f1i=f6]=0f8]=f14-8i=f6严0f3]=f4-3i=f1=0
-在〔0,10中只含有四个零点
而0,10u10,20匚…卩12000,2010共201组
所以N=2014=804
在2010,20131中,含有零点f2011i=f17-0,f2013]=f3[=0共两个
所以一共有806个零点答案:
C
小炼有话说:
(1)周期函数处理零点个数时,可以考虑先统计一个周期的零点个数,再看所
求区间包含几个周期,相乘即可。
如果有不满一个周期的区间可单独统计
(2)在为周期函数分段时有一个细节:
“一开一闭”,分段的要求时“不重不漏”,所以在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不仅达到分段要求,而且每段之间保持
队型,结构整齐,便于分析。
(3)当一个周期内含有对称轴(或对称中心)时,零点的统计不能仅限于已知条件,而要
看是否由于对称产生新的零点。
其方法一是可以通过特殊值的代入,二是可以通过图像,将
零点和对称轴标在数轴上,看是否有由对称生成的零点(这个方法更直观,不易丢解)
例10:
设函数y二fx是定义在R上以1为周期的函数,若gx二fx-2x在区间
12,31上的值域为〔-2,6],则函数gx在1-12,121上的值域为()
A.1-2,6]B.1-20,34]C.1-22,32]D.1-24,28]
思路:
设x^1.2,31,则gx0卢;2,61,因为fx为周期函数,故以fx为突破口,
gxon]=fxon-2xon严fx°-2x^-2n=gx°-2n,考虑在〔-12,-111中n=-14,所以gx0-14=g怡-2-14=gx>i亠28:
"26,34,在〔11,121中n=9,所以gx09=gx0-29=gx0-18〔-20,-121,所以gx在1-12,121的值域为1-20,34]
答案:
B
三、近年模拟题题目精选
1、(2014,庆安高三期中)已知函数f(x)是R上的偶函数,且满足f(xT)•f(x)=3,
当1-1,0〕时,f(x)=2,x,则f(-2007.5)的值为()
A.0.5B.1.5C.-1.5D.1
2、(2014,安徽)设函数fx满足fX•二-fxsinx,当X,〔0,二时,fxi=0,
『23兀)
则f.亠()
I6丿
1
A.
2
(2014,四川)设fx是定义在R上的周期为2的函数,当X:
=【1,1时,
f」4x2+2,—1兰xcOfx二
、x,0兰xc1
4、(2014,新课标全国卷I)设函数fx,gX的定义域都为R,且fX是奇函数,gx
是偶函数,则下列结论中正确的是(
(2014,会宁县校级月考)已知fX,1二fX-1,fx二f-x2,方程
1
fx;=0在0,11内有且只有一个,则fx在区间0,2014丨内根的个数为(
A.1006
B.1007
C.2013
D.2014
6、已知定义在R上的函数f(x)满足:
f(-x)=-f(x),f(1x)=
f(1—x),当1-1,1]
3
A.1
X1
-1,0时,fx=2X—,则flog220二(
5
4
5
B.
C.
D.
8、已知f(X)是定义在R上的奇函数,且对任意实数
x,恒有
f(x2)=-f(x),当
时,f(x)二x,则f(2009)二
x0,21时,f(x)=2x-x2,求f(0)f
(1)f
(2)f(2012)
习题答案:
1、答案:
B
解析:
由f(x•1)•f(x)=3可得:
f(x)・f(x1),两式相减可得
fx1二fx-1,所以fx的周期T=2,再由fx是偶函数可得:
f-2007.5二f0.5=f-0.5=1.5
解析:
由fx•二-fx-sinx可知
f23二_
.f17二
.6
.6
17■
fj,
sin
6
2、答案:
A
+sin
.66
<11n、
£「5兀】
「丄.5兀£『5兀[
f——
1=fI——
*sin-f1
16丿
16丿
616丿
2
1
=i,所以可得:
f旦=
3、答案:
1
2
f3\f1、(1T
解析:
ff42=1
12丿I2丿J2丿
4、答案:
C
解析:
f(x)为奇函数,可知f(xj为偶函数,所以根据奇偶性的规律可得:
f(x)g(x)为
奇函数,f(x)g(x)是偶函数,f(x)g(x)是奇函数,f(x)g(x)是偶函数,故C正确
5、答案:
D
解析:
fx■1i;=fxT=T=2,,fxi;=f-x2可得fx关于x=1轴对
称,因为fx在1-0,11内有且只有一个零点,所以由对称性可得fX在1-0,21只有两
2
13
个零点_,。
所以一个周期中含有两个零点,区间10,2014]共包含1007个周期,所以有
22
2014个零点6、答案:
1
解析:
由f(_x)二_f(x)可得:
fx关于0,0中心对称,由f(1•X)二f(1—x)可得:
fx关于x=1轴对称,所以可求出fx的周期T=4,则f2009]=f1=1
7、答案:
-1
解析:
f-x--fx可知fx为奇函数,fx-2=fx2可得T=4,所以
f(log220)=f4+log-=flog-t=—flog-=-25+-=一1
''I4丿l出4丿J5丿i5丿
&答案:
0
解析:
由f(x,2)=-f(x)可得:
fx的周期T=4,由于fx具备周期性,故求和时
可考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组,求出一组的结果,在考虑求和的式子中含有
多少组周期即可:
f1Y-1,f2i=-foeo,f3Bf-1二-f1^-1,f4Bf0i;=0
f1f2f3f4=0
故f(0)f
(1)f
(2)|||f(2012)=f05030=0
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- 关 键 词:
- 函数 周期性 对称性