届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案.docx
- 文档编号:5392392
- 上传时间:2023-05-08
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:261.77KB
届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案.docx
《届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案.docx(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
届高考数学二轮复习三角函数的图象与性质教案
专题二三角函数、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)
命题全解密
三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性;函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象及其变换、单调区间的求法.
常与向量、解三角形、不等式等知识交汇考查.
利用三角函数的图象与性质求三角函数值域的方法;利用公式求三角函数的周期的方法;利用整体代换求三角函数的单调区间的方法;利用平移变换与伸缩变换求函数的解析式的方法.
[重要性质]
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
单
调
性
在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增
对
称
性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);
对称轴:
x=+kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z);对称轴:
x=kπ(k∈Z)
对称中心:
(k∈Z)
[重要变换]
1.y=sinx
y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
2.y=sinx
y=sinωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
[易错提醒]
1.忽视定义域
求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时,要注意函数的定义域.
2.重要图象变换顺序
在图象变换过程中,注意分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
3.忽视A,ω的符号
在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要特别注意A和ω的符号,若ω<0,需先通过诱导公式将x的系数化为正的.
热点一 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例1
(1)[2015·江西八校联考]函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2015)的值为( )
A.0B.3
C.6D.-
[解析] 由图可得,A=2,T=8,=8,ω=,
∴f(x)=2sinx,
∴f
(1)=,f
(2)=2,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-2,f(7)=-,f(8)=0,而2015=8×251+7,
∴f
(1)+f
(2)+…+f(2015)=0.
[答案] A
(2)[2015·唐山统考]已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),f+f=0,且f(x)在区间上递减,则ω=( )
A.3B.2
C.6D.5
[解析] ∵f(x)在上单调递减,
且f+f=0,
∴f=0,
∵f(x)=sinωx+cosωx=2sin,
∴f=f=2sin=0,
∴ω+=kπ(k∈Z),又·≥-,ω>0,
∴ω=2.
[答案] B
函数表达式y=Asin(ωx+φ)+B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A=
B
由最值确定
B=
ω
由函数的周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期
φ
由图象上的特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
1.[2015·山西四校联考(三)]已知函数f(x)=cosω>0,
|φ|<的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为f(x)=cos=sin(ωx+φ),由图可知=-=,所以ω==2.又由图得sin=1,即2×+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=sin,则y=f(x+)=sin=sin,由2x+=-+2kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,所以y=f取得最小值时x的取值集合为,故选B.
2.[2015·陕西高考]如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6
C.8D.10
答案 C
解析 由题图可知-3+k=2,k=5,y=3sin+5,∴ymax=3+5=8.
热点二 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
例2
(1)[2015·辽宁五校联考]函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到y=sinωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有点
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
[解析] 由图象知:
=-,∴T=π.又π=,
∴ω=2.由f=0得:
2×+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z).∵|φ|<,∴φ=,即f(x)=sin=sin,故选A.
[答案] A
(2)[2015·贵阳监测]为得到函数y=sin的图象,可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( )
A.B.
C.D.
[解析] 由题意可知,m=+2k1π,k1为非负整数,n=-+2k2π,k2为正整数,∴|m-n|=,∴当k1=k2时,|m-n|min=.
[答案] B
三角函数图象平移问题处理策略
(1)看平移要求:
首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.
(2)看移动方向:
移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(ωx+φ)中φ的正负和它的平移要求.
(3)看移动单位:
在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以ω和φ之间有一定的关系,φ是初相,再经过ω的压缩,最后移动的单位是.
1.已知函数f(x)=sin(x∈R),把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象,则下列结论错误的是( )
A.函数g(x)在区间上为增函数
B.函数g(x)为偶函数
C.函数g(x)的最小正周期为π
D.函数g(x)的图象关于直线x=对称
答案 D
解析 因为f(x)=sin(x∈R),所以g(x)=sin=-cos2x,故函数g(x)的最小正周期T==π,函数g(x)为偶函数,且g=-cos=0,故函数g(x)的图象不关于直线x=对称,当0≤x≤时,0≤2x≤π,则函数g(x)在区间上为增函数,故选D.
2.[2015·湖南高考]将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )
A.B.
C.D.
答案 D
解析 由已知得g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此时|x1-x2|==,又0<φ<,故φ=,选D.
热点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的综合应用
例3
(1)[2015·太原一模]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于点对称
[解析] ∵f(x)的最小正周期为π,∴=π,ω=2,∴f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)=sin=sin的图象,又g(x)的图象关于原点对称,
∴-+φ=kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴<,∴k=-1,φ=-,∴f(x)=sin,当x=时,2x-=-,∴A,C错误,当x=时,2x-=,∴B正确,D错误.
[答案] B
(2)[2015·山西四校联考(三)]已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.其图象关于直线x=-对称
C.函数g(x)是奇函数
D.当x∈时,函数g(x)的值域是[-2,1]
[解析] f(x)=sinωx+cosωx=2sin,由题设知=,∴T=π,ω==2,∴f(x)=2sin.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到g(x)=2sin=2sin=2cos2x的图象,g(x)是偶函数且在上是减函数,其图象关于直线x=-不对称,所以A,B,C错误.当x∈时,2x∈,则g(x)min=2cosπ=-2,g(x)max=2cos=1,即函数g(x)的值域是[-2,1],故选D.
[答案] D
本例
(1)中条件不变,若平移后得到的图象关于y轴对称,则f(x)的图象又关于谁对称?
答案 D
解析 g(x)的图象关于y轴对称,则-+φ=+kπ,k∈Z,可求φ=,∴f(x)=sin,2x+=kπ,可得x=-,令k=1,则x=,故选D.
求解函数y=Asin(ωx+φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识:
利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.
(2)整体意识:
类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.
①令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程.
②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标.
③将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号.
(3)讨论意识:
当A为参数时,求最值应分情况讨论A>0,A<0.
1.[2015·四川高考]下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A.y=cosB.y=sin
C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx
答案 A
解析 采用验证法.由y=cos(2x+)=-sin2x,可知该函数的最小正周期为π且为奇函数,故选A.
2.[2015·安徽高考]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )
A.f
(2) (2) C.f(-2) (2)D.f (2) 答案 A 解析 ∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期为π,且x=是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴,∴x=-=是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴. ∵=,=, =,∴>>,且-<2<,-<π-2<,-<0<, ∴f (2) (2) 课题8 三角函数图象变换 [2015·山东高考]要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin4x的图象( ) A.向左平移个单位B.向右平移个单位 C.向左平移个单位D.向右平移个单位 审题过程 函数图象的变换方法. 函数的解析式的整理化简. 因为y=sin=sin,所以只需将y=sin4x的图象向右平移个单位,即可得到函数y=sin的图象,故选B. 解决函数图象变换问题的模型示意图如下: 1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为( ) A.y=sin2x B.y=cos2x C.y=sinD.y=sin 答案 D 解析 A=1,由·T=得T=π,ω=2,f=sin=1,|φ|<,则φ=,故f(x)=sin,向右平移个单位后,得y=sin. 2.已知函数f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin(0<φ<π),将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象,且g=,则φ=________. 答案 解析 ∵f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin=sin2xsinφ+cosφ-cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=cos(2x-φ), ∴g(x)=cos=cos. ∵g=,∴2×+-φ=2kπ(k∈Z),即φ=-2kπ(k∈Z).∵0<φ<π,∴φ=. 一、选择题 1.将函数y=sin(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,则所得的图象的解析式为( ) A.y=sin(x∈R) B.y=sin(x∈R) C.y=sin(x∈R) D.y=sin(x∈R) 答案 B 解析 原函数图象向左平移个单位后得y=sin =sin(x∈R)的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y=sin(x∈R)的图象. 2.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是( ) A.-B. C.1D. 答案 D 解析 由题意可知该函数的周期为,∴=,ω=2,f(x)=tan2x,∴f=tan=,故选D. 3.将函数f(x)=cosx-sinx(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则a的最小值是( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 f(x)=cosx-sinx=2=2cos,由题知+a=+kπ,k∈Z,所以a=+kπ,k∈Z,又因为a>0,所以a的最小值为. 4.函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意x都有f=f,则f等于( ) A.2或0B.-2或2 C.0D.-2或0 答案 B 解析 由f=f可知函数图象关于直线x=对称,则在x=处函数取得最值,所以f=±2,故选B. 5.[2015·云南统测]已知平面向量a=(2cos2x,sin2x),b=(cos2x,-2sin2x),f(x)=a·b,要得到y=sin2x+cos2x的图象,只需要将y=f(x)的图象( ) A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位 C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位 答案 D 解析 由题意得: f(x)=a·b=2cos4x-2sin4x=2(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=2cos2x=2sin,而y=sin2x+cos2x=2sin=2sin,故只需将y=f(x)的图象向右平移个单位即可.故选D. 6.[2015·南宁适应性测试]函数f(x)=(1+cos2x)·sin2x(x∈R)是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 答案 D 解析 注意到sin2x=(1-cos2x),因此f(x)=(1+cos2x)(1-cos2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos4x),即f(x)=(1-cos4x),f(-x)=(1-cos4x)=f(x),因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数,选D. 7.[2014·济宁一模]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(0<φ<π)的图象如图所示,若f(x0)=3,x0∈,则sinx0的值为( ) A. B. C.D. 答案 B 解析 由图象知A=5,=-=π, ∴T=2π,∴ω==1, 且1×+φ=2kπ+,又0<φ<π,∴φ=, ∴f(x)=5sin. 由f(x0)=3,得sin(x0+)=, 即sinx0+cosx0=,① 又x0∈,∴x0+∈, ∴cos=-,即cosx0-sinx0=-,② 由①②解得sinx0=. 8.[2015·江西八所重点中学联考]已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在上递增 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,1] 答案 C 解析 由题意得,f(x)本质上为取sinx,cosx中的较大值,为周期函数,一个周期T=2π,在(0,2π]上的解析式为: f(x)=.∵f(x)为非奇非偶函数, ∴A错误;f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴B错误;由f(x)在(0,2π]上的解析式可知,其值域为,∴D错误.故选C. 9.[2015·南宁适应性测试]已知函数f(x)=sin(2x+α)在x=时有极大值,且f(x-β)为奇函数,则α,β的一组可能值依次为( ) A.,-B., C.,-D., 答案 D 解析 依题意得2×+α=2k1π+,k1∈Z,即α=2k1π+,k1∈Z,因此选项A、B均不正确;由f(x-β)是奇函数得f(-x-β)=-f(x-β),即f(-x-β)+f(x-β)=0,函数f(x)的图象关于点(-β,0)对称,f(-β)=0,sin(-2β+α)=0,sin(2β-α)=0,2β-α=k2π,k2∈Z,结合选项C、D,则α=得β=+,k2∈Z,因此选D. 10.[2015·南昌一模]如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与两条直线l1: y=m(A≥m≥0),l2: y=-m的两个交点,记S(m)=|xN-xM|,则S(m)的图象大致是( ) 答案 C 解析 如图所示,作曲线y=f(x)的对称轴x=x1,x=x2,点M与点D关于直线x=x1对称,点N与点C关于直线x=x2对称,所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN. 又点M与点C、点D与点N都关于点B对称,所以xM+xC=2xB,xD+xN=2xB, 所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB, 得xM-xN=2(xB-x2)=-,xN-xM=2(xB-x1)=,所以|xM-xN|==(常数),选C. 二、填空题 11.[2015·长春质监(三)]函数y=sinx+cosxx∈的单调递增区间是________. 答案 解析 ∵y=sinx+cosx=sin, ∴函数的单调递增区间为(k∈Z), 又x∈,∴单调递增区间为. 12.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数,则a的取值范围是________. 答案 (-∞,2] 解析 f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x∈,则t∈,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合抛物线图象可知,≤,所以a≤2. 13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=________. 答案 解析 由图可知,=-=,则T=π,ω=2,又∵=,∴f(x)的图象过点,即sin=1,得φ=,∴f(x)=sin.而x1+x2=-+=,∴f(x1+x2)=f=sin=sin=. 14.[2015·湖南高考]已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________. 答案 解析 由题意,两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离,设相邻的两交点坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),易知|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|=-(-)=2,|x2-x1|为函数y=2sinωx-2cosωx=2sin的两个相邻零点之间的距离,恰好为函数最小正周期的一半,所以 (2)2=2+ (2)2,ω=.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质 教案 高考 数学 二轮 复习 三角函数 图象 性质