完整版高中数学不等式习题及详细答案docWord文档格式.docx
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5.当0<x<π时,函数f(x)=1+cos2x+8sin2
x的最小值为(
sin2x
A.2
B.23
D.43
6.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是(
A.18
B.6
C.2
3
D.243
x≥0
y=kx+4分为面积相等的两
7.若不等式组
x+3y≥4,所表示的平面区域被直线
3x+y≤4
部分,则k的值是(
7
C.
A.
B.
D.
8.直线x+2y+3=0上的点P在x-y=1的上方,且P到直线
2x+y-6=0的距离为
第1页共11页
35,则点P的坐标是(
A.(-5,1)
B.(-1,5)
C.(-7,2)
D.(2,-7)
9.已知平面区域如图所示,z=mx+y(m>0)在平面区
域内取得最优解(最大值)有无数多个,则m的值为(
A.-7
20
C.1
D.不存在
10.当x>1时,不等式
≥a
恒成立,则实数
(第9题)
x+
的取值范围是(
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
二、填空题
11.不等式组
(x-y+5)(x+y)≥0
所表示的平面区域的面积是
.
0≤x≤3
x+2y-3≤0
12.设变量x,y满足约束条件x+3y-3≥0,若目标函数z=ax+y(a>0)仅在点(3,y-1≤0
0)处取得最大值,则a的取值范围是.
13.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.
14.设a,b均为正的常数且x>0,y>0,a+b=1,则x+y的最小值为.
xy
15.函数y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny
+1=0上,其中mn>0,则1+2的最小值为.
mn
16.某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1,第三年比第二年增长的百分
率为p2,若p1+p2为定值,则年平均增长的百分率p的最大值为.
第2页共11页
三、解答题
17.求函数y=x+7x+10(x>-1)的最小值.
x+1
18.已知直线l经过点P(3,2),且与x轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,当△AOB
面积最小时,求直线l的方程.
(第18题)
第3页共11页
19.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;
生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售
每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料
不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少?
20.
(1)已知x<5
,求函数y=4x-1+
的最大值;
4x-5
(2)已知x,y∈R*(正实数集),且1
+9=1,求x+y的最小值;
y
(3)已知a>0,b>0,且a2+b2=1,求a1+b2的最大值.
第4页共11页
参考答案
1.D
解析:
由已知
)
+1=
,
f(x)=x-4x+5=
x-2
(x
-2
+
2x-4
2x-2
∵x≥5,x-2>0,2
∴1
-2+
≥1
·
2(x-2)
=1,
当且仅当x-
2=
,即x=3时取等号.
2.C
(
+1)2
=x2+x+1
+y2+y+1
4y2
4x2
=x2+1
+y2+1
x+y.
4x2
4y2
∵x2+1
≥2
x2
2=1,当且仅当x2=
2,x=
时取等号;
4x
y2+1
y2
=1,当且仅当
,y=
2时取等号;
4y2
x+y≥2
=2(x>0,y>0),当且仅当
x=y,y2=x2时取等号.
∴
2+1
y2+1
x+y
≥1+1+2=4,前三个不等式的等号同时成立
时,原式取最小值,故当且仅当
x=y=
时原式取最小值
4.
3.D
方法一:
特值法,如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,
易判断只有2ab≥ab
ab
不成立.
第5页共11页
方法二:
可逐项使用均值不等式判断
A:
a+b+
ab+
=2
2,不等式成立.
B:
∵a+b≥2
ab>
0,
1+1≥2
>
0,相乘得
(a+b)(
1+1)≥4成立.
C:
∵a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2
又ab≤a
≥
,∴a2
≥a+b
成立.
D:
∵a+b≥2
≤
,∴2ab≤2ab
=
ab,即2ab≥ab
b2ab
4.D
解析:
因为f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),
f(x)-f(-x)<0
2f(x)<0
xf(x)<0,满足x与f(x)异
号的x的集合为所求.
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f
(1)=0,画出f(x)在(0,+∞)的简图如图,再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在
-1O1x
(-∞,0)的图象.(第4题)
由f(x)的图象可知,当且仅当x∈(-1,0)∪(0,1)时,x与f(x)异号.
5.C
由0<x<π,有sinx>0,cosx>0.
f(x)=1+cos2x
+8sin2
x=2cos2x+8sin2
x=cosx+4sinx
sin
2x
2sinxcosx
sinx
cosx
≥2cosx·
4sinx=4,当且仅当cosx=4sinx,即tanx=1
时,取“=”.
sinxcosx
∵0<x<π,∴存在x使tanx=1,这时f(x)min=4.
22
6.B
∵
a+b=2,故3a+3b≥2
3=2
3=6,当且仅当a=b=1时取等号.
第6页共11页
故3a+3b的最小值是6.
7.A
不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
△ABC.
由x+3y=4得A(1,1),又B(0,4),C(0,4).
3x
+=
y4
由于直线y=kx+4过点C(0,4),设它与直线
3x+y=4的交点为D,
则由S△BCD=1
△
,∴y
D=
5,
SABC,知D为AB的中点,即xD=
∴5=k×
1+4,k=7.
8.A
x0+2y0+3=0,
x0=-5,
设P点的坐标为(x0
,y0),则
x0-y0-1<0,
解得
y0=1.
2x0+y06
5.
=3
5
∴点P坐标是(-5,1).
9.B
当直线mx+y=z与直线AC平行时,线段AC上的每个点都是最优解.
3-22
∵kAC=5
5-1
=-7,
∴-m=-
7,即m=7
10.D
由x+
=(x-1)
+1,
x-1
∵x>1,∴x-1>0,则有(x-1)+
+1≥2
(x-1)·
1
+1=3,
则a≤3.
第7页共11页
11.24.
不等式(x-y+5)(x+y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组.
(x-y+5)(x+y)≥0
x-y+5≥0
x-y+5≤0
x+y≥0
或x+y≤0
0≤x≤3
0≤x≤3
(第11题)
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.
第一个不等式组所对应的区域如图,
而
第二个不等式组所对应的区域不存在.
图中A(3,8),B(3,-3),C(0,5),阴影部分的面积为
3(11+5)=24.
12.aa>1.
若z=ax+y(a>0)仅在点(3,0)处取得最大
值,则直线z=ax+y的倾斜角一定小于直线
x+2y-3=
0的倾斜角,直线z=ax+y的斜率就一定小于直线x+2y
-3=0的斜率,可得:
-a<-1,即a>1.
13.ab≥9.
由于a,b均为正数,等式中含有ab和a+b这个特征,可以设想使用
a+b≥ab
构造一个不等式.
∵ab=a+b+3≥2ab+3,即ab≥2
ab+3(当且仅当a=b时等号成立),
∴(
ab)2-2ab-3≥0,
ab-3)(ab+1)≥0,∴
ab≥3,即ab≥9(当且仅当a=b=3
时等号成立).
14.(a+b)2.
由已知ay,bx均为正数,
第8页共11页
∴x+y=
(x+y)(
a+b)=a+b+ay+bx
ay
bx
≥a+b+2
=a+b+2ab,
ay=bx
x=a+ab时取等号.
即x+y≥(
a+
b)2,当且仅当
即
=1
yb
15.8.
因为y=logax的图象恒过定点(1,0),故函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定
点A(-2,-1),把点A坐标代入直线方程得
m(-2)+n(-1)+1=0,即2m+n=1,而由
mn>0知n,4m均为正,
m
n
1+2=(2m+n)(1
+2
)=4+n
+4m
≥4+2
4m
=8,当且仅当
n=4m
m=
4时取等号.
2m+n=1
n=
16.p1p2.
设该厂第一年的产值为a,由题意,a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2),且1+p1>0,
1+p2>0,
=a1+p1+p2
所以a(1+p)2=a(1+p1)(1+p2)≤a
1+p1+1+p2
,解得
p≤
p1+p2
,当且仅当
1+p
,即p1=p2时取等号.所以
p的最大值是
1=1+p2
17.解:
令x+1=t>0,则x=t-1,
)2
+4=t+
4+5≥2t
y=
t-1
+7t-1+10
=t+5t
+5=9,
t
当且仅当t=4
,即t=2,x=1时取等号,故
x=1时,y取最小值9.
第9页共11页
18.解:
因为直线l经过点P(3,2)且与x轴y轴都相交,
故其斜率必存在且小于0.设直线l的斜率为k,
B
则l的方程可写成y-2=k(x-3),其中k<0.
令x=0,则y=2-3k;
令y=0,则x=-2+3.
k
P(3,2)
O
Ax
△AOB=1
(2-3k)(-2
+3)=1
12+(-9
)+(-4)
12+2
-9
k)(
-
S
=12,当且仅当(-9k)=(-4),即k=-2
时,S△AOB有最小值
12,所求直线方程为
y-2=-2(x-3),即2x+3y-12=0.
19.解:
设生产甲产品x吨,生产乙产品y吨,则有关系:
A原料用量
B原料用量
甲产品x吨
乙产品y吨
3y
x0
y0
则有,目标函数z=5x+3y
3xy≤13
2x3y≤18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知
当x=3,y=4时可获得最大利润为
27万元.
20.解:
(1)∵x<
5,∴4x-
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