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作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
二次函数教学反思
铅垂高
如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
S△ABC=1\2ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题,经过研究,我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”,同学们很快掌握了这种方法现总结如下:
如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的
距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们
例1.(2013深圳)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点
O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;若不
存在,请说明理由.(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最
大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
解:
(1)B(1,3)
(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+a),代入点B(1,3),得a3,因此y3x223x
333
(3)如图,抛物线的对称轴是直线x=—1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,△BOC的周长最小.
k3
设直线AB为y=kx+b.所以kb3,解得3,因此直线AB为y3x23,当x=-1时,y3,
2kb0.23333b
3
因此点C的坐标为
(-1,
3/3).
(4)如图,
过P
作y轴的平行线交AB于D
SSS1(y
SPABSPADSPBD2(yD
yP)(xBxA)
13
x
23
32x
23x3
23
3
3
3
32
x
3x
x
3
2
2
3x
x
2
1
93
2
2
8
当x=-1时,△PAB的面积的最大值为93,此时P1,3
2824
例2.(2014益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物
连结PA,PB,当P点运动到顶点
线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,
1
(2)因为C点坐标为(1,4)所以当x=1时,y1=4,y2=2所以CD=4-2=2SCAB323(平方单位)
2
(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,则
229129
hy1y2(x22x3)(x3)x23x由S△PAB=S△CAB得3(x23x)3化简
828
线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的
周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上
明理由.
解:
(1)将A(1,0),B(-3,
0)代y
x2bx
c中得
c=0
3b
c0
∴抛物线解析式为:
y
x22x
(2)存在。
理由如下:
由题知A、B两点关于抛物线的对称轴
1对称
∴直线BC与x1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小
2x
∴C的坐标为:
(0,3)直线BC解析式为:
yx3Q点坐标即为
的解
x3
x1
∴Q(-1,2)
y2
3)答:
存在。
理由如下:
12(x
3
2
3
2
(x,
x22x
3)
(3x
0)∵
SBPCS四边形BPCO
S四边形BPCO
=SRt
S直角梯形PEOC
SBPC就最大,
BPE
3)(
x22x
3)
1(x)(
2x
2x
33)=
有最大值,则
P点
S四边形BPCO最大值=
x22x3145
27
8
点P
SBOCS四边形BPCO若S四边形BPCO
211
BEPEOE(PEOC)
22
2(x
2)
2
8
最大=
9
27
9
27
2
8
2
8
3
15
(32,
)
4
标为
SBPC
332927
y
C
C
Q
4
同学们可以做以下练习:
存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;若不存在,请说明理由。
图②
图①
3.(2015年恩施)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数错误!
未找到引用源。
的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP错误!
未找到引用源。
C,那么是否存
在点P,使四边形POP错误!
未找到引用源。
C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
解:
(1)将B、C两点的坐标代入得
错误!
未找到引用源。
解得:
所以二次函数的表达式为
错误!
未找到引用源。
引用源。
(2)存在点P,使四边形POP错误!
未找到引用源。
C为菱形.设P点坐标为(x,错误!
未找到引用源。
),PP错误!
未找到引用源。
交CO于E若四边形POP错误!
未找到引用源。
C是菱形,则有PC=PO.
连结PP错误!
未找到引用源。
则PE⊥CO于E,∴OE=EC=错误!
未找到引用
源。
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
解得错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
,错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
∴P点的坐标为(
错误!
未找到引用源。
不合题意,舍去)
)错误!
未找到引用源。
3)过点P作错误!
未找到引用源。
轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,错误!
未找到
引用源。
),易得,直线BC的解析式为错误!
未找到引用源。
则Q点的坐标为(x,x-3)
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
错误!
未找到引用源。
当时,四边形ABPC的面积最大
错误!
未找到引用源。
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积错误!
未找到引错误!
未找到引用源。
用源。
.
25.(2015绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为
A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
1)
求抛物线的函数解析式,并写出顶点
D的坐标;
3)
在直线EF上求一点H,使△CDH
的周长最小,并求出最小周长;
若点K在x轴上方的抛物线上运动,
当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?
并求出最大
面积.
0,3),(0,-1),求△
DH+CH=DH+HB=BD=BM2DM2313.
2
∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=.
2
2k1b10,3设直线BD的解析式为y=k1x+b,则9解得k13,b1=3.
k1b19,12
2
所以直线BD的解析式为y=3x+3.由于BC=25,CE=BC∕2=5,Rt△CEG∽△COB,
2
13得CE:
CO=CG:
CB,所以CG=2.5,GO=1.5.G(0,1.5).同理可求得直线EF的解析式为y=1x+3.
22联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(3,15).
48
(3)如图所示,设K(t,1t2t4),xF 2 则KN=yK-yN=1t2t4-( 1t+3) 1t2 3t 5. 2 22 2 2 2. 所以S△EFK=S△KFN+S△KNE 1 =KN(t+ 3)+1 KN(1 -t)= 2KN =-t2-3t+5= -(t+3) 229 + 2 2 2 4 即当t=-3时,△EFK的面积最大, 最大面积为 29, , 此时 K(- 3, , 35). 2 4 2 8 平面直角坐标系中三角形面积的求法 .解题时我们要注意其中的解题方法和解题 我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题技巧. 1.有一边在坐标轴上: 例1: 如图1,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为(-3,0),ABC的面积. 分析: 根据三个顶点的坐标特征可以看出,△ABC的边BC在y轴上, 由图形可得BC=4,点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是 A点横坐标的绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解. 2.有一边与坐标轴平行: 例2: 如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(4,5),C(-1,2),求△ABC的面 积. 分析: 由A(4,1),B(4,5)两点的横坐标相同,可知边AB 与y轴平行,因而AB的长度易求.作AB边上的高CD,就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积. 3.三边均不与坐标轴平行: 4.三角形面积公式的推广: 过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出1一种计算三角形面积的新方法: S△ABC=1ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例4: 已知: 直线l1: y=﹣2x+6与x轴交于点A,直线l2: y=x+3与y轴交于点B,直线l1、l2交于点C.(Ⅰ)建立平面直角坐标系,画出示意图并求出C点的坐标; (Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积. 5.巩固练习: k' 1)已知: 如图,直线ykxb与反比例函数y(x<0) x 点C,其中点A的坐标为(-2,4),点B的横坐标为-4.(Ⅰ)试确定反比例函数的关系式; (Ⅱ)求△AOC的面积. 2)如图,在直角坐标平面内,函数y m(x0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a1.过x 点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结AD,DC,CB. 若△ABD的面积为4,求点B的坐标; 3)已知,直线 与x轴、 y轴分别交于点 A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰 Rt△ABC,∠BAC=90°.且点P(1,a)为坐标系中的一个动点.Ⅰ)求三角形ABC的面积S△ABC; Ⅱ)请说明不论a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数;Ⅲ)要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.
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