固定收益证券作业及答案.docx
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固定收益证券作业及答案.docx
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作业一
1.三年后收到的$100,现在的价值是多少?
假设三年期零息债券的利率是:
a.复利20%,年计息
b.复利100%,年计息
c.复利0%,年计息
d.复利20%,半年计息
e.复利20%,季计息
f.复利20%,连续计息
2.以连续复利方式计息,下列利率各为多少?
a.复利4%,年计息
b.复利20%,年计息
c.复利20%,季计息
d.复利100%,年计息
3.考虑下列问题:
a.华尔街日报在交易日92年9月16日给出了票面利率为91/8’s在92年12月31日到期,
92年9月17日结算的政府债券,其标价为买入价101:
23,卖出价101:
25。
这种债券相应买入和卖出的收益率是多少?
b.在同一交易日,华尔街日报对同时在92年12月31日到期和在92年9月17日结算的
T-bill报出的买入和卖出折现率分别是2.88%和2.86%(附录A“利率报价和惯例”中的例
14中提到的T-bill),这里面是不是有套利机会?
(“买入”和“卖出”是从交易者的角度出发,你是以“买入价”卖出,以“卖出价”买入)。
4.你在交易日92年9月16日以$10-26买入$2,000万票面价值为100的在2021年11月15
日到期的STRIPs(零息债券),这种债券的到期收益率是多少?
5.今天是交易日,1994年10月10日,星期一。
下面概括了三种证券的相关信息:
发行机构 票面利率 到期日 到期收益
美国财政部费城(市政)
联邦全国抵押协会(机构)
10%
9%
8%
星期二,1/31/95星期一,12/2/95星期五,7/28/95
8.00%
7.00%
8.50%
这三种债券的面值均为$100,每半年付息一次。
注意到上表中最后一列是到期收益,它反映了给定到期日,某种特定债券的标准惯例。
在计算日期时,不考虑闰年,同时也要忽略假期。
回答这个问题时非常重要的是要写清楚你的运算过程。
不能只是用计算器把价格计算出来。
本题要想得分,必须把计算中的所有步骤都写清楚。
a.计算美国财政部发行的国债的报价,假定此国债是按标准结算方式结算。
b.计算费城发行的城市债券的报价,假定此类债券标准结算期为三天。
c.计算联邦全国抵押协会发行的机构债券的报价,假定此类债券是按标准结算方式结算。
作业二
1.考虑一固定付息债券,每年支付利息$1009.09,利息于时期1,2,…20支付。
债券面值为$9363.03,于时期20支付。
a部分.
求出这种债券在时期0,0.5,1的全价(假定如果你在时期1购买债券,该起的利息支付给卖者)。
为了给债券定价,使用下列到期收益曲线:
到期日
到期收益率
到期日
到期收益率
1/365
8.0000%
0.5
8.0825%
10.5
9.3672%
1.0
8.1632%
11.0
9.4132%
1.5
8.2422%
11.5
9.4575%
2.0
8.3194%
12.0
9.5000%
2.5
8.3950%
12.5
9.5408%
3.0
8.4688%
13.0
9.5799%
3.5
8.5408%
13.5
9.6172%
4.0
8.6111%
14.0
9.6528%
4.5
8.6797%
14.5
9.6866%
5.0
8.7465%
15.0
9.7188%
5.5
8.8116%
15.5
9.7491%
6.0
8.8750%
16.0
9.7778%
6.5
8.9366%
16.5
9.8047%
7.0
8.9965%
17.0
9.8299%
7.5
9.0547%
17.5
9.8533%
8.0
9.1111%
18.0
9.8750%
8.5
9.1658%
18.5
9.8950%
9.0
9.2188%
19.0
9.9132%
9.5
9.2700%
19.5
9.9297%
10.0
9.3194%
20.0
9.9444%
上表中的到期收益率是按年计算,采用连续复利(或者年计息)
b部分
现在假定a部分描述的到期收益曲线在所有到期日都向下移动 100个基点。
即在这里r1 7.1632%,r2 7.3194%,等等。
求出该债券在时期0,0.5,1的全价(假定如果你在时期1购买债券,该期的利息支付给卖者)。
C部分
现在假定a部分描述的到期收益率在所有到期日都向上移动100个基点。
即在这里r19.1632%,r29.3194%,等等。
求出该债券在时期0,0.5,1的全价(假定如果你在时期1购买债券,该期的利息支付给卖者)。
d部分
总结上面3部分的答案,创建一个三维柱形图。
z轴代表债券全价,x和y轴代表隔夜利率和时间长度(任选一维)。
时间长度是现在时期和债券定价的时期的间隔。
现在时期是0,所以时间长度就等于定价时期。
创建这个三维柱形图的最简便方法就是在Excel电子数据表填充下列表格,利用Excel绘出柱形图。
时间长度(年)
0.0 0.5 1.0
短期利率:
7.00%
8.00%
9.00%
2.在本问题中假想你是一位寻找套利机会的债券交易商。
下表中的第一栏给出了三种政府债券(无违约风险)的当前价格。
假定你能在给定价格下买空和卖空这些债券。
(卖空债券意味着你获取当前债券价格,但是必须支付该债券所有的日后现金流)。
表格剩下几栏是债券在第一年,第二年末产生的现金流。
所有债券在第二年末到期。
债券
价格
今日
现金流
第一年
现金流
第二年
A
935
1000
0
B
800
0
1000
C
960
100
1100
这三种债券的价格是否存在套利机会,i.e,是否能通过交易这些债券获得一顿免费午餐?
如果能,你该如何利用这次机会?
也就是如果免费午餐可以获取,你到哪里消费以及你该预定什么?
注意:
通过这些练习,你会发现涉及套利的问题都与此问题类似。
能够发现套利机会且知道怎样利用它经常是有利可图的。
这类套利问题的实际意义并不在于训练你在这种情形中如何进行交易,而是示范给你债券定价的基本方法。
市场价格一定会收敛到那些不存在套利机会的价格。
3.在本问题中你将继续做为一位寻找套利机会的债券交易商(ASBT)。
只不过现在稍微复杂一点。
你将要分析四种债券,每种都是无违约风险的政府债券。
下表第一栏给出了每种债券的当前价格。
同样你能在此价格下买空和卖空债券。
剩余各栏给出了债券在第一年,第二年,第三年末所产生的现金流。
所有债券在或者先于第三年末到期。
债券
价格
今日
现金流
第一年
现金流
第二年
现金流
第三年
A
100.2
10
10
110
B
93.00
100
0
0
C
92.85
5
105
0
D
121.2
20
20
120
债券价格是否存在套利机会?
如果存在,你该怎么利用这个机会?
这是个有挑战性的问题。
你可能会遇到一点困难。
不要在这上面花太多时间。
当然你不该为了解决此问题而错过午餐。
要知道我们解决问题的目标就在于获取免费午餐。
作业三
1、利率期限结构是水平的,为10%(按年复利计息)。
假设你可以按这一利率借入和贷出资金。
市场上有另外三种无风险债券出售,其价格都是100$。
债券A是二年期零息债券,在二年后支付$550。
债券B和C都是一年期零息债券。
债券B在一年后支付225$,债券C一年后支付450$。
(请注意:
水平的利率期限结构是由政府零息债券得到的,与债券A、B和C无关)
1、计算每个债券的年到期收益率(按年复利计息)。
请说明该到期收益率并不是一个可靠的投资决策指标。
也就是,说明具有最高到期收益率的债券并不是被低估得最多的债券。
2、
1)、一个可能的投资策略是买入债券A和C;另一个是买入债券B和C。
计算这两个组合的到期收益率(按年复利计息)。
2)、比较这两个投资组合,并且说明到期收益率并不是一个可靠的投资决策指标。
同时请说明,可以通过加总各个组成成分的净现值来获得组合的净现值。
而组合的到期收益率并不等于其各个成分的到期收益率的简单加权平均。
2.
当期的平价到期收益曲线1如下:
到期日
平价收益率
1
10%
2
15%
3
20%
4
23%
5
25%
假设平价到期收益率的单位为年,按年复利计息。
利用上面提供的信息,计算以下债券在零期的价格,该债券获得的现金流如下:
C1=$10,C2=$10,C3=$110,其中Ct是在第t期获得的现金收入。
3、假设现在是第0年,假设买卖债券没有交易成本,没有违约风险。
另外,忽略税收。
债券给其持有者带来的现金收入为每年一次。
到期收益率的单位为年,按年复利计息。
rt是到期日为t的零息债券的到期收益率。
at是到期日为t的年金债券的到期收益率,该债券每年底支付$1。
yt(k)是到期日为t的附息债券的到期收益率,该债券每年支付一次利息,票面值为
$100(票面利率为k,利息支付从第一年底开始)。
假设对于期限在1-30之间的任何零息债券,你都可以买卖;同时,对于期限在1-30之间的任何年金债券,你也可以进行买卖。
判断如下命题是对还是错。
不需要解释。
1、如果rt
>at
>yt(k),一定存在套利机会。
2、如果rt>
yt(k)
>at,则没有套利机会。
3、假设不存在套利机会。
考虑任意两个具有相同到期日的债券,如果其到期收益率相同,那么到期日与此相同的任何债券具有相同的到期收益率。
4、假设不存在套利机会。
长期年金债券的到期收益曲线一定是水平的。
5、假设不存在套利机会。
任何债券的到期收益率都相等是可能的,而不论其到期日和票面利率为多少。
6、假设没有套利机会。
利率的期限结构(或者即期利率曲线)向上倾斜,在到期日一次性支付$1,978.92的零息债券的到期收益率要小于rt。
1平价收益率是指证券价格等于面值时的到期收益率
7、假设没有套利机会。
利率的期限结构(或者即期利率曲线)向上倾斜,那么任何债券的到期收益曲线要么水平,要么向上倾斜。
8、假设没有套利机会。
平价到期收益曲线要么和零息债券或者年金债券的到期收益曲线重合,要么在两者之间。
9、假设没有套利机会。
如果一个债券在第一年支付100$,在第二年支付50$,考虑其到期收益率。
该到期收益率要么落在零息债券或者年金债券的到期收益曲线之上,要么落在两者之间。
10、假设没有套利机会,并且利率期限结构(即期利率曲线)不是水平的。
年金债券的到期收益曲线可以穿过即期利率曲线不止一次。
Solutions
1.
a.100/(1.2)3
b.100/
(2)3
c.100/
(1)3
d.100/(1.1)6
57.87
12.5
100
56.45
e.100/(1.05)12
f.100/e0.23
2.
55.68
54.88
Rememberwearetryingtofind r&suchthatthegrowthinourinitialinvestmentisthesameasthegrowthfromanalternativeinvestmentprovidingarateofr(m).That
is,findr&suchthat
er&
(1 r(m)/m)msor&
mln(1
r(m)/m)
a.m=1:
b.m=1:
ln(1.04)
ln(1.20)
3.922%
18.232%
c.m=4:
4ln(1.05)=19.516%.
d.m=1:
ln
(2)=69.315%.
3.
a.Settlementis9/17/92,thenextcoupondateis12/31thelastcoupondate
is6/30/92,therefore
Accruedinterestis
n1=105,
n3=79,and
n2=184.Inaddition,c=0.09125.
a 9.125/2
79/184
1.9589
sothefullbidpriceis
PB,is
10123/32+1.9589=103.6776;
andthefullaskedpriceis
PA,is
10125/32+1.9589=103.7401
Since
P 100(1
c/2)
1 y/2
n1/n2
wecansolveforytoobtain
y 2n2(1 c/2 1)
n1 P/100
So
y 2184(1
0.09125/2 1)
2.9912%
B 105
103.6776/100
y 2184(10.09125/2 1)
2.7782%
A 105 103.7401/100
b.Ignoringforthemomentanyrestrictionsonlotsize,wenotethatacash
flowof$100tobereceivedon12/31/92andpurchasedon9/17/92isavailableeitherintheformof$100paramountofthe12/31/92billorintheformof$100/(1+0.09125/2)paramountofthe91/8'sof12/31/92.(Indeed,since$100parofthe91/8'swillpayoff (100+9.125/2)on12/31/92,100/(1+0.09125/2)paramountofthe91/8'swillpayoff100.)Canwebuythiscashflowthroughoneinstrumentandsellithighthroughtheother?
Wemustseeiftheaskedpriceofoneoftheinstrumentsislowerthanthebidpriceoftheother.
Forthebondwemustscalethefullpricesdowntorepresent$100payoffon12/31/92,
P
orinotherwords,multiplyby1/(1+0.09125/2).Usingthefullpricescomputedinpart(a)wehave
scaled
ABOND
103.7401
(1 0.09125/2)
99.21
P
BBOND
103.6776
(1 0.09125/2)
99.15
Ifwebuythebondandshortthebill,wemustpay$99.21forthebondandreceive
$99.15fromthebillsale,andsowelose6/c.Ifwebuythebillandshortthebond,
wepay$99.17forthebillandreceive$99.15fromthebondsale,sowelose2/c.Thus,thereisnoarbitrageopportunity.
4.
Thesettlementdateis9/17/92.Thepriceof10-26or1026/32=10.8125isboth
theflatandfullpriceof$100paramountsinceazero-couponbondhaszeroaccruedinterest.RecallourformulaforthepriceofaTreasurybondgivenyield:
P 1 n100
c/2
100
n1
(1 2/y)n2
t0(1
y/2)t
(1 y/2)n
Whenc=0,theformulacanbereducedandinvertedtosolveforyintermsofP
y 2((
100
P
1
)nn1/n2 1)
Thenextcoupondateis11/15/92andthelastcoupondateis5/15/92so n1
59,
n2 184,andn=58.Thus,theyieldyougetonyourSTRIPsis
y 2((
5.
100
10.8125
1
)5859/184 1)
7.7758%
Parta.
Settlementdate:
10/11/94.Lastcoupondate:
7/31/94.Nextcoupondate:
1/31/95.
n1 112,n2
184,andn3
72,
FullPrice=
100
1
1
(0.04
0.05
112/184)
102.5042,
AccruedInterest=
5(72/184)
1.95655
FlatorQuotedPrice=102.5042-1.9565=100.5477
orin32nd's,100:
18
b.
Settlementdate:
10/13/94.Lastcoupondate:
10/2/94.Nextcoupondate:
4/2/95.
n1 169,n2
180,andn3
11,
FullPrice=
100
169
0.09
2
0.09/2
(1 0.07/2)
1
1 0.07/2
102.1141
(1 0.07/2)180
AccruedInterest=
4.5(11/180)
0.275
FlatorQuotedPrice=102.1141-0.275=101:
8391orin32nd's:
101:
27.
c.
3
Settlementdate:
10/11/94.Lastcoupondate:
7/28/94.Nextcoupondate:
1/28/95.
n1 107,n2
180,andn
73,
FullPrice=
100
107
0.1
2
0.1/2
(1 0.085/2)
1
1 0.085/2
103.1358
(1 0.085/2)180
AccruedInterest=5(73/180)=2.0278
FlatorQuotedPrice=103.1358-2.02778=101:
1080:
orin32nd's:
101:
03:
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