八年级全等三角形专题测试word版本Word文档格式.docx
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A.4个B.3个C.2个D.1个
9.(2011•红岗区校级模拟)如图∠E=∠F=90°
,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2;
②BE=CF;
③△ACN≌△ABM;
④CD=DN.
其中正确的结论有( )
二.填空题(共1小题)
10.(2015•广西)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 .
三.解答题(共7小题)
11.(2015•于洪区一模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°
,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为 ,线段CF、BD的数量关系为 ;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由.
12.(2015•黄冈模拟)已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°
,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.
求证:
(1)△BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
13.(2015•通辽)如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°
,且BC=CE,求证:
△ABC与△DEC全等.
14.(2015•泸州)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:
BC=DE.
15.(2014•黄冈)已知,如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
DE=DF.
16.(2014•重庆)如图,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:
BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.
①ME⊥BC;
②DE=DN.
17.(2013秋•盐都区期末)如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
参考答案与试题解析
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立,分别证明△ABC≌△DEF,即可解题.
【解答】解:
∵AB∥DE,AC∥DF,∴∠A=∠D,
(1)AB=DE,则△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF,故A选项错误;
(2)∠B=∠E,则△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF,故B选项错误;
(3)EF=BC,无法证明△ABC≌△DEF(ASS);
故C选项正确;
(4)∵EF∥BC,AB∥DE,∴∠B=∠E,则△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF,故D选项错误;
故选:
C.
【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD,然后再根据AE∥FD,可得∠A=∠D,再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可.
∵AE∥FD,
∴∠A=∠D,
∵AB=CD,
∴AC=BD,
在△AEC和△DFB中,
∴△EAC≌△FDB(SAS),
A.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD,从而得解.
如图,
过点P作PE⊥OB于点E,
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA于D,
∴PE=PD,
∵PD=6,
∴PE=6,
即点P到OB的距离是6.
【分析】在BC上截取BF=AB,连DF,可得△ABD≌△FBD,得出对应边、对应角相等,进而又得出△DCE≌△DCF,即可得出结论.
在BC上截取BF=AB,连DF,
则有△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,
又∵∠ACB=∠ABC=40°
,∠DFC=180°
﹣∠A=80°
∴∠FDC=60°
∵∠EDC=∠ADB=180°
﹣∠ABD﹣∠A=180°
﹣20°
﹣100°
=60°
∴△DCE≌△DCF(SAS),
故∠ECA=∠DCB=40°
.
【分析】由∠C=90°
,可得∠B的度数,故BD=2DE=7.6,又AD平分∠CAB,故DC=DE=3.8,由BC=BD+DC求解.
∵∠C=90°
∴∠B=30°
,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,
又∵AD平分∠CAB,
∴DC=DE=3.8,
∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4.
故选C.
【分析】根据HL可得①正确;
如果一直角边和一斜边对应相等,这两个直角三角形不全等;
由AAS或ASA可得③正确;
三个角相等的两个直角三角形不一定全等.
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等,正确;
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等,正确;
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等,正确;
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,错误;
【分析】从已知条件进行分析,首先可得△ABE≌△ACF得到角相等,边相等,运用这些结论,进而得到更多的结论,最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案.
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F
∴∠AEB=∠AFC=90°
∵AB=AC,∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACF(第一个正确)
∴AE=AF,
∴BF=CE,
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠BDF=∠CDE,
∴△BDF≌△CDE(第二个正确)
∴DF=DE,
连接AD
∵AE=AF,DE=DF,AD=AD,
∴△AED≌△AFD,
∴∠FAD=∠EAD,
即点D在∠BAC的平分线上(第三个正确)
故选D.
【分析】要根据全等形的概念进行判定,与之相符合的是正确的,反之,是错误的,如②是正确的,①③④是错误的.
①错误,不是三角形的图形也能全等;
②正确,两个图形全等,它们一定重合,所以它们的形状和大小一定都相同;
③错误,边长不同的正方形不全等;
④错误,两个边长不等的正方形不全等.
故选B
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠EAB=∠FAC,即可判断①;
根据AAS证△EAB≌△FAC,即可判断②;
推出AC=AB,根据ASA即可证出③;
不能推出CD和DN所在的三角形全等,也不能用其它方法证出CD=DN.
∵∠E=∠F=90°
,∠B=∠C,
∵∠E+∠B+∠EAB=180°
,∠F+∠C+∠FAC=180°
∴∠EAB=∠FAC,
∴∠EAB﹣CAB=∠FAC﹣∠CAB,
即∠1=∠2,∴①正确;
在△EAB和△FAC中
∴△EAB≌△FAC,
∴BE=CF,AC=AB,∴②正确;
在△ACN和△ABM中
∴△ACN≌△ABM,∴③正确;
∵根据已知不能推出CD=DN,∴④错误;
∴正确的结论有3个,
10.(2015•广西)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC交于点E,DF⊥BC于点F,且BC=4,DE=2,则△BCD的面积是 4 .
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D,可得∠DCE=∠DCF;
再根据DE⊥AC,DF⊥BC,可得∠DEC=∠DFC=90°
,然后根据全等三角形的判定方法,判断出△CED≌△CFD,即可判断出DF=DE;
最后根据三角形的面积=底×
高÷
2,求出△BCD的面积是多少即可.
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴∠DCE=∠DCF,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°
在△DEC和△DFC中,
(AAS)
∴△DEC≌△DFC,
∴DF=DE=2,
∴S△BCD=BC×
DF÷
2
=4×
2÷
=4
答:
△BCD的面积是4.
故答案为:
4.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为 垂直 ,线段CF、BD的数量关系为 相等 ;
【分析】
(1)当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°
,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
.即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°
时,过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°
,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由
(1)①可知CF⊥BD.
【解答】证明:
(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°
∴∠BAD=∠CAF,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°
,即CF⊥BD.
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度.
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
,AB=AC,
∴∠ABC=45°
∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.
即CF⊥BD.
时,CF⊥BD(如图).
理由:
过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,
则∠GAC=90°
∵∠ACB=45°
,∠AGC=90°
﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°
﹣45°
=45°
∴∠ACB=∠AGC=45°
∴AC=AG,
∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGC=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°
+45°
=90°
,即CF⊥BC.
【分析】要证
(1)△BAD≌△CAE,现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°
很易证得.
(2)BD、CE有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂直关系,可向这方面努力.要证BD⊥CE,需证∠BDE=90°
,需证∠ADB+∠ADE=90°
可由直角三角形提供.
【解答】
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
证明如下:
由
(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°
∴∠E+∠ADE=90°
∴∠ADB+∠ADE=90°
即∠BDE=90°
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE.
【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5,结合条件可得到∠1=∠D,再加上BC=CE,可证得结论.
∵∠BCE=∠ACD=90°
∴∠3+∠4=∠4+∠5,
∴∠3=∠5,
在△ACD中,∠ACD=90°
∴∠2+∠D=90°
∵∠BAE=∠1+∠2=90°
∴∠1=∠D,
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(AAS).
【分析】先证出∠CAB=∠DAE,再由SAS证明△BAC≌△DAE,得出对应边相等即可.
∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
∴△BAC≌△DAE(SAS),
∴BC=DE.
【分析】连接AD,利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等,利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD,即AD为角平分线,再由DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线定理即可得证.
连接AD,
在△ACD和△ABD中,
∴△ACD≌△ABD(SSS),
∴∠EAD=∠FAD,即AD平分∠EAF,
∵DE⊥AE,DF⊥AF,
∴DE=DF.
(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°
,再求出∠ACF=45°
,从而得到∠B=∠ACF,根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)①过点E作EH⊥AB于H,求出△BEH是等腰直角三角形,然后求出HE=BH,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,从而得到△HEM是等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的性质求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°
,根据等角对等边可得AC=CE,再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°
,从而求出∠DAE=∠ECM,根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD,再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
(1)∵∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵FC⊥BC,
∴∠BCF=90°
∴∠ACF=90°
∴∠B=∠ACF,
,FA⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°
∠CAF+∠CAE=90°
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF;
(2)①如图,过点E作EH⊥AB于H,则△BEH是等腰直角三角形,
∴HE=BH,∠BEH=45°
∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DE=HE,
∴DE=BH=HE,
∵BM=2DE,
∴HE=HM,
∴△HEM是等腰直角三角形,
∴∠MEH=45°
∴∠BEM=45°
∴ME⊥BC;
②由题意得,∠CAE=45°
+
×
45°
=67.5°
∴∠CEA=180°
﹣67.5°
∴∠CAE=∠CEA=67.5°
∴AC=CE,
在Rt△ACM和Rt△ECM中
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL),
∴∠ACM=∠ECM=
=22.5°
又∵∠DAE=
∴∠DAE=∠ECM,
,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=CD=
BC,
在△ADE和△CDN中,
∴△ADE≌△CDN(ASA),
∴DE=DN.
(1)根据角平分线性质可证ED=EC,从而可知△CDE为等腰三角形,可证∠ECD=∠EDC;
(2)由OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,OE=OE,可证△OED≌△OEC,可得OC=OD;
(3)根据SAS证出△DOE≌△COE,得出DE=EC,再根据ED=EC,OC=OD,可证OE是线段CD的垂直平分线.
(1)∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴ED=EC,即△CDE为等腰三角形,
∴∠ECD=∠EDC;
(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴∠DOE=∠COE,∠ODE=∠OCE=90°
,OE=OE,
∴△OED≌△OEC(AAS),
∴OC=OD;
(3)在△DOE和△COE中,
∵
∴△DOE≌△COE,
∴DE=CE,
∴OE是线段CD的垂直平分线.
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