高一物理必修二第七章 专题强化7 机械能守恒定律的应用教师版Word格式文档下载.docx
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(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时,两物体转动的角速度相等.
二、链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置,进而确定物体重力势能的变化,解题要注意两个问题:
一是零势能面的选取;
二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化.
例2
如图2所示,总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮,开始时下端A、B相平齐,当略有扰动时其一端下落,则当铁链刚脱离滑轮的瞬间,铁链的速度为多大?
(重力加速度为g)
图2
答案
解析 方法一 (取整个铁链为研究对象):
设整个铁链的质量为m,初始位置的重心在A点上方
L处,末位置的重心在A点,则重力势能的减少量为:
ΔEp=mg·
L
由机械能守恒得:
mv2=mg·
L,则v=
.
方法二 (将铁链看做两段):
铁链由初始状态到刚离开滑轮时,等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置.
重力势能减少量为ΔEp=
mg·
mv2=
则v=
三、利用机械能守恒定律分析多过程问题
例3
(2019·
启东中学高一下学期期中)如图3所示,光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成,二者在B处相切并平滑连接,O为圆心,O、A在同一条水平线上,OC竖直,一直径略小于圆管直径的质量为m的小球,用细线穿过管道与质量为M的物块连接,物块距离地面足够高,将小球由A点静止释放,当小球运动到B处时细线断裂,小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R=
m,所对应的圆心角为53°
,sin53°
=0.8,cos53°
=0.6,g=10m/s2.
图3
(1)若M=5m,求小球运动到B处时的速度大小;
(2)若M=5m,求小球从C点抛出后下落高度h=
m时到C点的水平位移;
(3)M、m满足什么关系时,小球能够运动到C点?
答案
(1)2
m/s
(2)
m (3)M≥
m
解析
(1)小球从A到B:
M、m系统机械能守恒
(M+m)v2=MgxAB-mgxABsin53°
在Rt△OAB中,得xAB=
,解得v=2
m/s;
(2)小球从B到C,根据机械能守恒,有
mvC2+mgR(1-cos53°
)
小球离开C后做平抛运动,x=vCt
h=
gt2
解得x=
m;
(3)小球从A到B:
M、m组成的系统机械能守恒
线断后,小球从B到C,vC≥0
mvC2-
mv2=-mgR(1-cos53°
联立解得M≥
m.
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题,一般为多过程问题,难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件,分析在哪个过程中机械能守恒,然后列式求解,不能盲目应用机械能守恒定律.
1.(系统机械能守恒问题)如图4所示,一根足够长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮,轻绳两端各系一小球a和b,a球质量为m,静置于地面;
b球质量为3m,用手托住,离地面高度为h,此时轻绳刚好拉紧,从静止开始释放b后,a可能达到的最大高度为(b球落地后不反弹,不计空气阻力)( )
图4
A.hB.1.5hC.2hD.2.5h
答案 B
解析 释放b后,在b到达地面之前,a向上加速运动,b向下加速运动,a、b系统的机械能守恒,设b落地瞬间速度为v,取地面所在平面为参考平面,则3mgh=mgh+
mv2+
(3m)v2,可得v=
.b落地后,a向上以速度v做竖直上抛运动,能够继续上升的高度h′=
.所以a能达到的最大高度为1.5h,B正确.
2.(链条类机械能守恒问题)(2018·
树德中学期末考试)如图5所示,一条长为L的柔软匀质链条,开始时静止在光滑梯形平台上,斜面上的链条长为x0,已知重力加速度为g,L<
BC,∠BCE=α,斜面上链条长为x(x>
x0)时,链条的速度大小为________.(用x0、x、L、g、α表示)
图5
解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒,设链条的总质量为m,以AB面为零势能面,则
-
x0g·
x0sinα=
mv2-
xg·
xsinα
解得v=
3.(系统机械能守恒的计算)(2018·
正定中学期末考试)如图6所示,质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B,它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA=2OB=2l,将杆从水平位置由静止释放.
图6
(1)在杆转动到竖直位置的过程中,杆对A球做了多少功?
(2)在杆刚转到竖直位置的瞬间,杆对B球的作用力为多大?
是推力还是拉力?
答案
(1)-
mgl
(2)
mg 推力
解析
(1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB,杆旋转的角速度为ω,有
2l-mgl=
mvA2+
mvB2
vA=2lω,
vB=lω
对A球,由动能定理得
2l+W=
mvA2
联立解得W=-
mgl
(2)在杆刚转到竖直位置的瞬间,设杆对B球有向下的拉力F,根据向心力公式有
mg+F=m
,
解得F=-
mg
负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反,即向上,所以对B球的作用力为推力.
4.(系统机械能守恒的计算)(2018·
许昌市高一下学期期末)如图7所示,一轻质竖直弹簧,下端与地面相连,上端与质量为m的物体A相连.弹簧的劲度系数为k,A处于静止状态,此时弹簧的弹性势能为Ep.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连接物体A,另一端连一轻质挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为M的物体B并从静止状态释放.则当弹簧向上变为原长时,物体A和B的速度大小分别为多少?
(已知重力加速度为g)
图7
答案 均为
解析 没有挂物体B时,设弹簧的压缩量为x,
对A,有:
mg=kx,解得:
x=
挂上物体B后,弹簧向上变为原长时,物体A和B的速度大小一样,设为v,从开始运动到弹簧变为原长的过程中,把A、B和弹簧作为系统,系统机械能守恒,有:
Ep=
(m+M)v2+mgx-Mgx
解得:
v=
一、选择题
1.(多选)(2018·
南京外国语学校期末)如图1所示,将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上,槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,从A点与半圆形槽相切进入槽内,则下列说法正确的是( )
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中,只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中,小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中,小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中,机械能守恒
答案 BC
2.(多选)如图2所示,光滑细杆AB、AC在A点连接,AB竖直放置,AC水平放置,两相同的中心有孔的小球M、N,分别套在AB和AC上,并用一不可伸长的细绳相连,细绳恰好被拉直,现由静止释放M、N,在N球碰到A点前的运动过程中,下列说法中正确的是( )
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M和N组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N做负功
解析 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功,对N球做正功,故M球的机械能减小,N球的机械能增加,但M和N组成的系统的机械能守恒,B、C正确,A、D错误.
3.(2018·
荆州中学期末)如图3所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻滑轮两侧,物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h,物体B静止在地面上.放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.弹簧的劲度系数为
B.此时弹簧的弹性势能等于mgh+
mv2
C.此时物体B的速度大小也为v
D.此时物体A的加速度大小为g,方向竖直向上
答案 A
解析 由题意可知,此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力,即F=mg,弹簧伸长的长度为x=h,由F=kx得k=
,故A正确;
A与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mgh=
mv2+Ep,则弹簧的弹性势能Ep=mgh-
mv2,故B错误;
物体B对地面恰好无压力时,B的速度为零,故C错误;
根据牛顿第二定律,对A有F-mg=ma,F=mg,得a=0,故D错误.
4.(多选)(2018·
湘潭市一中期末考试)如图4所示,质量均为m的小球A、B用长为L的细线相连,放在高为h的光滑水平桌面上(L>
2h),A球刚好在桌边.若由静止释放两球,且A、B两球落地后均不再弹起,重力加速度为g,则下列说法正确的是( )
A.A球落地前的加速度为
B.B球到达桌边的速度为
C.B球落地时与A球的水平距离为
h
D.细线对B球做的功为
mgh
答案 ACD
解析 A球落地前,以两球整体为研究对象,根据牛顿第二定律有mg=2ma,求得加速度为
,A正确;
从释放到A球落地的过程,根据机械能守恒,有mgh=
×
2mv2,解得B球到达桌边的速度v=
,由运动学公式可得,B球下落到地面的时间t=
,两球落地后均不再弹起,所以A、B两球落地的水平距离为Δs=vt=
h<
L,故B错误,C正确;
细线对B球做的功等于B球到达桌边时获得的动能,W=
mgh,D正确.
5.(多选)(2018·
高邮中学高一下学期期末)如图5所示,在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC,与竖直轨道AB和水平轨道CD相切,轨道均光滑.现有长也为R的轻杆,两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点),用某装置控制住小球a,使轻杆竖直且小球b与B点等高,然后由静止释放,杆将沿轨道下滑.设小球始终与轨道接触,重力加速度为g.则( )
A.下滑过程中a球和b球组成的系统机械能守恒
B.下滑过程中a球机械能守恒
C.小球a滑过C点后,a球速度为2
D.从释放至a球滑过C点的过程中,轻杆对b球做功为
mgR
答案 AD
6.(多选)如图6所示,a、b两物块质量分别为m、3m,用不计质量的细绳相连接,悬挂在定滑轮的两侧.开始时,a、b两物块距离地面足够高且高度相同,用手托住物块b,然后由静止释放,直至a、b物块间高度差为h,不计滑轮质量和一切阻力,重力加速度为g.在此过程中,下列说法正确的是( )
A.物块a的机械能守恒
B.物块b的机械能减少了
C.物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量
D.物块a、b与地球组成的系统机械能守恒
答案 CD
解析 释放b后物块a加速上升,动能和重力势能均增加,故机械能增加,选项A错误.对物块a、b与地球组成的系统,只有重力做功,机械能守恒,选项D正确.物块a、b构成的系统机械能守恒,有(3m)g·
-mg·
(3m)v2,解得v=
,物块b动能增加量为
(3m)v2=
mgh,重力势能减少
mgh,故机械能减少
mgh-
mgh=
mgh,选项B错误.由于绳的拉力对a做的功与b克服绳的拉力做的功相等,故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量,选项C正确.
7.(2018·
石室中学高一下学期期末)如图7所示,固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环,圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连,弹簧的另一端固定在地面上的A点,弹簧处于原长,圆环高度为h.让圆环沿杆滑下,滑到杆的底端时速度为零.则在圆环下滑到底端的过程中(重力加速度为g,杆与水平方向夹角为30°
)( )
A.圆环机械能守恒
B.弹簧的弹性势能先减小后增大
C.弹簧的弹性势能变化了mgh
D.弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
答案 C
解析 圆环与弹簧构成的系统机械能守恒,但圆环机械能不守恒,A错误;
弹簧形变量先增大后减小然后再增大,所以弹簧的弹性势能先增大后减小再增大,B错误;
由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒,圆环的机械能减少了mgh,所以弹簧的弹性势能增加mgh,C正确;
弹簧与光滑杆垂直时,圆环所受合力沿杆向下,圆环具有与速度同向的加速度,所以做加速运动,D错误.
8.(多选)(2018·
天津三中期末考试)如图8所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的环,环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑的轻定滑轮与直杆的距离为d,杆上的A点与定滑轮等高,杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A点由静止释放,不计一切摩擦阻力,下列说法正确的是( )
图8
A.环到达B点时,重物上升的高度为
B.环到达B点时,环与重物的速度大小相等
C.环从A到B,环减少的机械能等于重物增加的机械能
D.环能下降的最大高度为
d
解析 环到达B点时,重物上升的高度h=
d-d=(
-1)d,A错误;
环到达B点时,环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等,故环的速度大于重物的速度,B错误;
因为环与重物组成的系统机械能守恒,所以环减少的机械能等于重物增加的机械能,C正确;
设环能下降的最大高度为H,此时环与重物的速度均为零,重物上升的高度为h′=
-d,由机械能守恒定律,得mgH=2mg(
-d),解得H=
d,D正确.
二、非选择题
9.(2018·
黑龙江省实验中学高一下学期期末)如图9所示,质量都是m的物体A和B,通过轻绳跨过轻质定滑轮相连,斜面光滑,倾角为θ,不计绳子和滑轮之间的摩擦.开始时A物体离地的高度为h,B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行,用手托住A物体,A、B两物体均静止,撤去手后,求:
图9
(1)物体A将要落地时的速度多大?
(2)A物体落地后,B物体由于惯性将继续沿斜面上升,则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大?
答案
(1)
(2)
h(1+sinθ)
解析
(1)两物体构成的系统只有重力做功,故系统的机械能守恒,
得:
mgh-mghsinθ=
(m+m)v2
整理得:
(2)当A物体落地后,B物体由于惯性将继续上升,此时绳子松弛,对B物体而言,只有重力做功,故B物体的机械能守恒,设其上升的最远点离地高度为H,根据机械能守恒定律得:
mv2=mg(H-hsinθ),整理得H=
h(1+sinθ).
10.素有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱.如图10所示是由足够长的斜直轨道、半径R1=2m的凹形圆弧轨道和半径R2=3.6m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接,且处于同一竖直平面内.其中M点为凹形圆弧轨道的最低点,N点为凸形圆弧轨道的最高点,凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上,一可视为质点、质量为m=1kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下,经M点滑向N点,P点距水平面的高度h=3.2m,不计一切阻力,g取10m/s2.求:
图10
(1)滑板滑至M点时的速度大小;
(2)滑板滑至M点时,轨道对滑板的支持力大小;
(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力,求滑板的下滑点P距水平面的高度.
答案
(1)8m/s
(2)42N (3)5.4m
解析
(1)对滑板由P点滑至M点,由机械能守恒得mgh=
mvM2,得:
vM=8m/s.
(2)对滑板滑至M点时受力分析,由牛顿第二定律得
FN-mg=m
,得:
FN=42N.
(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力,则有
mg=m
,则vN=6m/s
滑板从P点到N点机械能守恒,则有
mgh′=mgR2+
mvN2,解得h′=5.4m.
11.如图11所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B,两球之间用一根长为L且与斜面平行的轻杆相连,下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑,不计球与水平地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑,重力加速度为g,求:
图11
(1)两球在光滑水平地面上运动时的速度大小;
(2)此过程中杆对A球所做的功;
(3)分析A、B两球下落过程中杆对A球做功的情况.
答案
(1)均为
(2)-
mgLsinθ
(3)当A球和B球都在斜面或都在水平地面上运动时,杆对A球不做功;
当B球从斜面下滑到水平地面上,而A球仍在斜面上时,杆对A球做负功,大小为
解析
(1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失,因此两球组成的系统机械能守恒.两球在光滑水平地面上运动时的速度大小相等,设为v,根据机械能守恒定律有
mg(2h+Lsinθ)=2×
mv2,解得v=
(2)因两球在光滑水平地面上运动时的速度v比B球从h处自由滑下的速度
大,
则杆对B球做的功为WB=
mv2-mgh=
因系统的机械能守恒,所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的绝对值应该相等,杆对B球做正功,对A球做负功.所以杆对A球做的功为WA=-
(3)当A球和B球都在斜面或都在水平地面上运动时,A、B的运动状态相同,杆中无作用力,杆对A球不做功;
当B球下滑到水平地面上,而A球仍在斜面上运动时,A、B两球的运动状态不同,此过程中杆对A球做负功,大小为
mgLsinθ.
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