初三521矩形知识点经典例题及练习题带答案文档格式.docx
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初三521矩形知识点经典例题及练习题带答案文档格式.docx
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一、平行四边形
1、定义:
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示:
平行四边形用符号“□”来表示。
2、平行四边形性质:
(1)角:
平行四边形的邻角互补,对角相等;
(2)边:
平行四边形两组对边分别平行且相等;
(3)对角线:
平行四边形的对角线互相平分;
(4)对称性:
平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;
(5)面积:
等于底和高的积,即S□ABCD=ah,其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边到其对边的距离,即对应的高。
平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
3、平行四边形的判定:
1定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2方法1:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4方法3:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4:
一组平行且相等的四边形是平行四边形
若一条直线过平行四边形对角线的交点,则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积。
二、矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也说是长方形
2、矩形的性质:
(1)边:
对边平行且相等;
(2)角:
对角相等、邻角互补;
对角线互相平分且相等;
既是轴对称图形又是中心对称图形.(5)面积:
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.
特别提示:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
矩形具有平行四边形的一切性质。
3、矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形(3)有三个角是直角的四边形是矩形;
(4)四个角都相等
4、识别矩形的常用方法
(1)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角.
(2)先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明平行四边形ABCD的对角线相等.(3)说明四边形ABCD的三个角是直角.
【经典例题】
【例1】
(2013陕西)如图,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在边AD、BC是,连接BM、DN,若四边形MBND是菱形,则
等于()
A.
B.
C.
D.
【例2】
(2013济宁)如图,矩形ABCD的面积为20cm2,对角线交于点O;
以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B,对角线交于点O1;
以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B;
…;
依此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为( )
A.cm2B.cm2C.
cm2D.
cm2
【例3】
(2013•天津)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°
得△CFE,则四边形ADCF一定是( )
矩形
B.
菱形
C.
正方形
D.
梯形
【例4】
(2013四川南充)如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=°
,则矩形ABCD的面积是()
A.12B.24C.12
D.16
【例5】
(2013•包头)如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是( )
S1>S2
S1=S2
S1<S2
3S1=2S2
【例6】
(2013•遵义)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长= cm.
【例7】
(2013•苏州)如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若
=
,则
= 用含k的代数式表示).
【例8】
(2013聊城)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°
,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:
AE=CE.
【例9】
(2013•遵义)如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:
CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:
1,求
的值.
【例10】
(2013•新疆)如图,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
△AOE≌△COF;
(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形,并说明理由.
【课堂练习】
1、(2013•湖州)如图,已知四边形ABCD是矩形,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE.若DE:
AC=3:
5,则
的值为( )
2、(2013台湾、20)如图,长方形ABCD中,M为CD中点,今以B、M为圆心,分别以BC长、MC长为半径画弧,两弧相交于P点.若∠PBC=70°
,则∠MPC的度数为何?
( )
A.20B.35C.40D.55
3、(2013•湘西州)小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上,玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上),则飞镖落在阴影区域的概率是 .
4、(2013达州)如图,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端点分别在AB、BC上(含端点),且AB=6,BC=10。
设AE=x,则x的取值范围是 .
5、(2013•白银)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
并说明理由.
【课后作业】
1、(2013•宜昌)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数是( )
8
6
4
2
2、(2013年河北)如已知:
线段AB,BC,∠ABC=90°
.求作:
矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业:
对于两人的作业,下列说法正确的是
A.两人都对B.两人都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
3、(13年北京)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为__________
4、(2013年江西省)如图,矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连接DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连接AM,CN,MN,若AB=2
,BC=2
,则图中阴影部分的面积为.
5、(2013•资阳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°
,AC=10,则AB= .
6、(2013•宁夏)在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F;
求证:
DF=DC.
7、(2013杭州)如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?
请写出一条.
8、(2013•张家界)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态:
_________________________________________________________________
本次课后作业:
___________________________________________________________________________________
需要家长协助:
____________________________________________________________________________________
家长意见:
________________________________________________________________________________________
【参考答案】
1-5、CBADB6、97、
8、证明:
如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,∴∠D+∠DCE=90°
,
∵∠BCD=90°
,∴∠BCF+∠DCE=90°
,∴∠BCF=∠D,
在△BCF和△CDE中,
,∴△BCF≌△CDE(AAS),∴BF=CE,
又∵∠A=90°
,CE⊥AD,BF⊥CE,∴四边形AEFB是矩形,∴AE=BF,∴AE=CE.
9、
(1)证明:
由折叠的性质可得:
∠ANM=∠CNM,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,∴CM=CN;
(2)解:
过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形,∴HC=DN,NH=DC,
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3:
1,∴
=3,∴MC=3ND=3HC,∴MH=2HC,
设DN=x,则HC=x,MH=2x,∴CM=3x=CN,
在Rt△CDN中,DC=
=2
x,∴HN=2
x,
在Rt△MNH中,MN=
x,∴
.
10、
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF.∴△AOE≌△COF(ASA);
(2)连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形,
理由如下:
由
(1)可知△AOE≌△COF,∴OE=OF,
∵AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF=AC,∴四边形AECF是矩形.
1、A2、B3、
4、2≤x≤6
5、解:
(1)BD=CD.
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,
,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,
∵AF=BD,∴BD=CD;
(2)当△ABC满足:
AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°
,∴▱AFBD是矩形.
1、C2、A3、204、2
5、5
6、证明:
连接DE.
∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE.
∵有矩形ABCD,∴AD∥BC,∠C=90°
.∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,∴∠DFE=∠C=90°
.∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE.∴DF=DC.
7、如图所示:
发现:
DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等.
8、
(1)证明:
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,∴∠2=∠5,4=∠6,
∵MN∥BC,∴∠1=∠5,3=∠6,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF;
∵∠2=∠5,∠4=∠6,∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°
∵CE=12,CF=5,∴EF=
=13,∴OC=EF=6.5;
(3)答:
当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:
当O为AC的中点时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°
,∴平行四边形AECF是矩形.
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