高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计.doc
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高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计.doc
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课题:
2.1.1曲线与方程(第1课时)
(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节)
一、内容和内容解析
1.教学内容
《曲线与方程》共分两小节,第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念;第二小节内容是如何求曲线的方程.本课时为第一小节内容.
2.地位与作用
本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系,体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想,对解析几何教学有着指导性的意义.其中,对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定,是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据.《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节,一方面,该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃;另一方面,它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础.因此,它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用.
二、目标和目标解析
本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步理解数形结合的基本思想.具体目标如下:
1.通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形,感知并归纳概括曲线与方程的对应关系;
2.初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义;
3.通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程,发展抽象概括的能力;
4.能使用曲线的方程(方程的曲线)的概念判断曲线与方程的对应关系,继续理解数形结合思想.
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础,能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形,并对数形结合思想有初步的了解.但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”,由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考,加之曲线的方程(方程的曲线)这一组概念有着较高的抽象性,所以预计在本课的学习中,学生可能出现以下困难:
(1)作图探究结束后,学生独立地归纳概括并写出曲线的方程(方程的曲线)的概念时不规范,不全面;
(2)难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用.
2.重难点
重点:
曲线的方程(方程的曲线)的概念
难点:
曲线的方程(方程的曲线)概念的生成和理解
3.突出重点、突破难点的策略
本节课的教学,根据“问题引导,任务驱动”的设计思路,遵循概念学习的规律,使学生在过程中感受数形结合,从特殊到一般,化归与转化的数学思想.具体表现在:
(1)用蕴含数学文化的广告创设情境,并将“章头图”、“章导言”融入其中,产生认知冲突,感悟学习曲线与方程的必要性;
(2)让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程,感知方程的变化带来曲线的变化,曲线的差异导致方程的差异,再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念;
(3)学生自主举例,辨析概念,联系已学知识,完成对概念的“结构化”.
四、教学支持条件分析
1.学情分析
本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生,数学基础扎实,思维较活跃,具有较为丰富的探究活动经验,但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升.
2.教学策略与教法、学法
本课采取“探究—发现”教学模式.
教师的教法注重活动的安排和问题的引导,通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现,并归纳概括.
学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构.
教具:
多媒体PPT课件,平板电脑,三角板,彩色粉笔
学具:
教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔
五、教学过程设计
结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下:
教学内容
师生活动(预设)
设计说明
一、创设情景,引入概念
播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频.
通过层层设问,将学生从视频逐步转移到对解析几何用代数方法研究直线、圆的回顾.
问题1:
诸如圆锥曲线这类曲线能否像直线、圆一样用代数的方法进行研究呢?
研究清楚曲线与方程之间的关系,将为我们用代数方法研究几何图形提供可能.
师:
不知大家有没有看过下面这则广告?
生(齐):
(观看视频)
师:
其实,这则广告的创意源自于一位伟大数学家的爱情传说,大家知道他是谁吗?
生(齐):
笛卡尔.
师:
是的.那你了解笛卡尔对数学的贡献吗?
生1:
他发明了直角坐标系,创立了解析几何.
师:
解析几何研究几何图形的方法有何特点呢?
你能结合所学知识谈一谈吗?
生2:
我们在《必修2》中曾经学习了直线、圆与方程,在直角坐标系中用方程表示直线、圆,然后使用代数的方法对他们进行研究.
师:
大千世界,千奇百态!
直线,圆都只是其中的一种曲线(直线也可称之为特殊的曲线),生活中我们还会遇到很多其他的曲线,比如下面动画中的截口曲线.
(教师通过PPT展示截口曲线生成动画)
师:
在这个动画中,你观察到哪些曲线?
生(齐):
椭圆,抛物线,双曲线.
师:
是的,它们统称为圆锥曲线.公元前,古希腊数学家阿波罗尼在他的《圆锥曲线》一书中便记载了他对圆锥曲线的几何性质的研究,后来一千多年里人类对其的认识止步于此.当时,这些研究都是用的纯几何的方法,那么诸如圆锥曲线之类的曲线能否像直线、圆一样用代数的方法来研究呢?
生(齐):
可以.
师:
怎样展开对圆锥曲线的研究呢?
生(齐):
在坐标系中找到圆锥曲线的方程.
师:
那就让我们先来研究曲线与方程之间的关系吧!
优美的画面和音乐吸引学生注意力,富于文化的广告创意调动学生的积极性,暗藏其中的故事情节激发学生的思考和好奇心,情景创设为引入概念铺垫了良好的氛围.
通过“问题引导”将学生从视频,转到解析几何研究问题的方法上来,再延伸到其他曲线(如圆锥曲线)的研究方法上来,形成认知冲突,让曲线与方程的学习满足合理性和必要性.
通过情景创设浸润数学文化教育,同时回顾了学生已有相关知识和方法,链接了本章章导言和章头图,形成了学生学习上的认知冲突,自然引出本课主题.
二、作图探究,形成概念
探究活动:
请分别作出以下列方程的解为坐标的点构成的图形:
1.;
问题2:
两位同学作出的图形之间的差异是什么原因引起的?
问题3:
改变图形,图形上点的坐标满足的关系会发生变化吗?
请你对刚才的曲线与方程之间的关系做一个总结.
探究活动:
请分别作出以下列方程的解为坐标的点构成的图形:
1.;
2..
问题4:
为什么你作出来的图形是一个半圆?
引起作出图形有差异的原因是什么?
教师适当小结,请学生根据自己感受书写曲线与方程(方程与曲线)的概念.
曲线的方程(方程的曲线)的概念:
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形)
问题5:
结合今天所学知识,你是如何认识直线的方程,圆的方程这两个已学概念?
师:
请大家按照要求作图.
师:
请你说说你的作图过程.
生3:
先化简为,它表示直线,取出直线上两点(0,0),(1,2),连线作出这条直线.
师:
有不同意见吗?
生4:
应该去掉直线上的点才对.
师:
为什么呢?
生4:
因为点的坐标不满足方程.
师:
好!
你关注到了点的坐标,那么点(1,2)的坐标和方程是什么关系?
这个坐标和方程是什么关系呢?
生4:
点(1,2)的坐标是方程的解;不是方程的解.
(学生回答,教师板书)
师:
刚才两位同学的图形不一样是什么原因造成的?
生(齐):
方程.
师:
方程的区别在哪里?
生(齐):
方程的解.
师:
那么如果我将这支曲线擦除部分,新得到的曲线上的点又满足怎样的关系式呢?
(教师在黑板上将点(1,2)左下方下方抹去)
生(齐):
师:
改变图形,方程发生了怎样的变化.
生(齐):
范围改变.
师:
你根据刚才的探究进行总结.
生5:
方程改变,曲线也在改变.
师:
大家做得非常好!
接下来请完成第二个方程.
(学生独立完成,时间2分钟左右)
师:
请看这位同学的图形,正确吗?
为什么?
生6:
不正确,因为圆的左半部分不符合要求
师:
什么原因导致产生了两个不同的图形呢?
生6:
的取值范围,方程的解.
师:
方程的解的不同直接导致曲线的不同.
师:
(指着黑板说)如果曲线与方程满足类似的对应关系,我们就称曲线是方程的曲线,这个方程就是曲线的方程.你能归纳出曲线的方程(方程的曲线)这一概念的要点吗?
请把它写在草稿本上.
生:
(先独立书写,再小组讨论归纳2-3分钟.)
师:
请说一说你对曲线的方程(方程的曲线)下的定义.
生7:
我认为要满足曲线的方程(方程的曲线),必须满足以下两条:
1.曲线上的点的坐标都是方程的解;2.以方程的解为坐标的点都在曲线上.
师:
很准确!
(板书学生所述内容,并作适当规范)
师:
你能举例说明为什么要用两个限制条件呢?
可以缺某一个吗?
生8:
(预设学生会在刚刚的例子中选择)
师:
能举一个不满足第二个限制条件的例子吗?
生9:
(预设学生会在刚刚的例子中选择)
师:
直线的方程,圆的方程这些概念用今天所学知识该如何理解?
生10:
我认为直线的方程,圆的方程的概念和曲线的方程这一概念是一致的,直线也算特殊的曲线,圆也算曲线的一种.
师:
是的.你能举例说明吗?
生10:
比如说“直线”表示方程的直线.
探究活动的素材较好地起到了“先行组织者”的作用.
学生已具有识别直线方程、圆的方程的知识基础.在此认知基础上,通过引导学生作图、观察、分析已有两个事例,感受和体会从特殊到一般,数形结合的思想方法.
通过教师的引导让学生感知方程的不同导致曲线的不同,教师再适时地改编曲线,导致方程的不同.让学生多角度体验曲线与方程之间的关系.
圆的方程的学习使得学生在独立完成作图有了基础,但是对于方程的变化没有保证同解导致的曲线差异这一现象的本质,学生上不太明白,教师引导学生继续感知曲线与方程之间的关系.
概念属性的归纳——在两则事例的基础上进行属性的分析、比较、综合,归纳不同例证的共同特征.引导学生通过刚才对具体事例观察、分析,抽象概括共同的本质属性,归纳得出数学概念.
用代数、几何的语言刻画和表达一种数学现象,是数学学习的基本任务.
概念的明确与表示——下定义,给出准确的数学语言描述;
对概念的辨析,通过学生举反例来达成对概念的深入理解.
概念的“结构化”,对概念生成并做了适当辨析和理解后,需要将概念与以前的学习进行联系.
三、正反实例,应用概念
例1曲线C:
到x轴距离等于1的点形成的轨迹,写出C的方程.
例2下列说法是否正确?
并说明理由:
(1)点
分别为的三个顶点,边的中线的方程是;
(2)曲线C:
过点的反比例函数图象,方程F:
,那么曲线C是方程F的曲线.
【阶段小结】教师引导下,学生交流自己对定义的认识.
师:
请你说一下第1题的结果是什么?
生11:
生12:
不对.应该是
师:
能说说理由吗?
能用今天所学加以说明吗?
生12:
纵坐标的点是曲线上的点,但这种点的坐标不是方程的解.
师:
请看练习2,独立完成
(学生作图,应用定义分析)
师:
请你来分析
(1)是否正确.
生13:
中线是线段,而方程表示的是直线,所以不正确.
师:
判断很快捷准确.能否进一步分析它是不满足定义的那一条?
生13:
应该是不满足“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这一条.
师:
请你来分析
(2),请到讲台上给大家讲解.
生14:
错误.两条都不满足.
师:
进一步分析不符合要求的点或者是方程的解,请你举例说明.
生14:
通过图象我们发现曲线是分布在第一、三象限,而方程的曲线在第一、二象限.
师:
能否用定义加以说明?
生14:
如点(-4,-1)在曲线上,但不是方程F的解;(-4,1)的坐标是方程的解,以它为坐标的点不在曲线上.
师:
其实,要解决曲线与方程的关系的判断,除了教材上定义之外,还有其他的一些表述,请你在学习定义的基础上谈谈自己对曲线与方程关系的判断方法.
生15:
(预设)检查曲线上的点和方程的解之间的关系.
师:
不错,但注意准确性.应该是曲线上的每一个点和方程的每一个解的关系.
生16:
(预设)看曲线上是否有不是方程的解为坐标的点,看曲线是否包括了方程的所有解为坐标的点.
师:
很好,这种判断方法相当于是看曲线是否纯粹地列出了方程的解为坐标的点,无多余的点,而方程的解是否完备地通过曲线体现了,没有漏掉解.
要求学生根据简单的曲线写出方程.应用概念并巩固对其的理解.
例2的设计让学生学会分别从曲线和方程出发,判断曲线与方程之间的关系,初步学会应用概念.
通过对概念的应用,将学生对曲线的方程(方程的曲线)这一概念的多角度理解进行梳理,引导学生在说出自己对曲线与方程关系的理解的基础上对概念再认识.
四、课堂检测,课外延伸
【课堂检测】
请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来:
【课外延伸】
1.查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史,并了解笛卡尔在其中所做出的贡献.
2.广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中,关于与心形曲线的关系涉及到了极坐标系,我们将会在《选修4-4》中学习.
师:
接下来请看课堂检测.请将以下四个方程和四个曲线配对,并简要说明理由.
生17:
观察方程中解的正负和曲线上点的坐标的正负,可以筛选答案.
师:
不错.如果我们要用概念检验曲线和方程之间的关系,该如何分析呢?
比如第一个方程和第一幅图.
生17:
第一支曲线上的部分点的坐标不是第一个方程的解,所以方程不是曲线的方程.
师:
大家想知道本课之初视频背后的故事吗?
生(齐):
想.
(播放视频)
师:
广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中,关于与心形曲线的关系涉及到了极坐标系,我们将会在《选修4-4》中学习.
课堂检测的作用是检测学生在对定义的理解是否深入,应用是否灵活.
学生根据范围直接进行配对,体现了其对曲线与方程关系掌握的灵活性.
《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线,了解圆锥曲线的发展历史,更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣,更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法.
对于笛卡尔的爱情传说,学生一定是很有兴趣的,其中涉及到的极坐标系作为本课最后的一个说明即拓展了学生视野,也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中.
附:
板书设计
§2.1.1曲线与方程(第1课时)
一、情景创设
二、作图探究
曲线的方程(方程的曲线)
方程的解曲线上的点
PPT展示区
1.曲线上的点的坐标满足方程;
2.以方程的解为坐标的点在曲线上.
三、正反实例
例1
例2
(1)
(2)
六、目标检测设计
在本节课的教学中,为了达成教学目标,我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应,做到目标确定环节,在环节中实现目标,具体如下:
本课的教学目标达成情况如下:
此外,课堂中我还设计了以下目标检测环节:
1.课堂检测
请将以下四个方程和图形用连段连接起来:
2.课外延伸
(1)查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史,并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献.
(2)广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于与心形曲线的关系,便是曲线与方程对应关系的体现,它涉及到了极坐标系,我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习.
设计意图:
课堂检测的目的是检测教学效果.再次感受方程的不同导致曲线的不同之间,曲线的差异对应方程的差异,理解数形结合思想.学会使用概念对曲线与方程的关系进行界定.
《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到,“文化是人存在的根和魂”,文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”,本课内容承载着这两个要素,曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想,而解析几何是近代数学的里程碑.课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野,了解数学史,感受数学文化,发展数学核心素养.结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识,激发学生兴趣,并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块.
《曲线与方程》教学设计说明
本课时作为《圆锥曲线与方程》的第一节课,主要内容是曲线的方程(方程的曲线)的概念.学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础,能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形,并对数形结合思想有初步的了解.结合以上情况,我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲线与方程的对应关系,感悟数形结合思想.对本课的设计,我作以下说明:
1.关于设计定位.
如果将曲线的方程(方程的曲线)这一概念直接呈现给学生,然后进行对应练习,学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件,无法理解他们在揭示这种关系时各自所起的作用.我在设计这堂课时始终坚持两条思路.一条是以曲线的方程(方程的曲线)这一组概念的知识技能为目标的“明线”,一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程为目标的“暗线”.让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田.
2.遵循概念学习的规律.
曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律,在情景中认识到研究“曲线与方程的关系”的必要性,在对典型丰富的事例的探究过程中,归纳概括出特征、性质,并将自然语言逐步转化为数学语言.因此遵循概念教学的规律,设计了“感知概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学过程.
3.实现教材中本章“章头图”、“章导言”的教育价值和作用.
作为《圆锥曲线与方程》的第一课时,适当对本章学习内容进行展望是很有必要的,本课的创设情境部分很好的整合了“章头图”、“章导言”与本节内容,产生认知冲动,很好的实现了“章头图”、“章导言”的教育价值和作用.
4.浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养.
文化基础是核心素养的重要内容,包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方面,如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造,是每一位数学教育工作者应该重视的内容.本课的内容体现了解析几何的基本数学思想——数形结合思想,是解析几何的核心概念,课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程,发展数学素养.
5.关于多媒体技术的使用
教学中平板电脑充当投影仪的作用,但较传统投影仪有着记录学生活动过程,节约展示时间的优势.因此,根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教学目的.
注重教学实际提升概括能力
1、思考深入,认识准确:
教师正确理解了教材,确定了合理的教学重点和难点.“曲线的方程”强调只能是表示了“曲线”的方程,不能是随意的方程;“方程的曲线”强调只能是有“方程”的曲线而不能是任意曲线.教学中教师将“让学生初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义”作为重点和难点,无疑是合理和准确的.
教师正确理解了学生实际.学生在学完必修2之后,对直线、圆与它们的方程的关系有了一定的认识,但理解深度还需要一次“理性认识”的飞跃,才有助于学习后面的圆锥曲线以及参数方程和极坐标.教师充分认识到学生的基础,设计问题都源自学生的最近发展区.这体现了教师的数学理解水平和研究能力.
2、设计科学,推进有效:
本节课的教学设计切合要求与实际,思考深入,素材选取与呈现科学,教学环节预设针对性强,为成功实施教学提供了保障.
教师充分利用“章导言”引入,让学生感知学习的必要性,激发学生求知欲.
选取合理的切入点设计教学内容.教师从学生熟悉的直线方程、圆方程入手,让学生利用所学知识作出方程的解为坐标的点汇聚而成的图形.这一在学生的最近发展区的教学内容设计,能够促进学习水平的提高.
针对学习过程进行教学环节预设,为处理课堂教学中的“生成”奠定了基础.为让学生得出曲线与方程的概念,教师教学始终围绕“方程与直线、圆”的关系展开,让学生自己总结提炼并书写概念,并引导学生自己作正反辨析.实践表明,这样的设计,符合内容特点、针对学生学习实际,考虑了学生学习活动中思维发展的可能,为高效处理课堂教学中的“生成”奠定了坚实的基础,也一定程度地提升了学生的抽象概括能力.
课堂教学分为创境引入、感知提炼、正反辨析、应用检测等环节.这节课看起来并不热闹,但学生都是经过自主思考后的表达.辨析环节让学生教学生的做法自然而有效地促进了全体学生共同提高.
教学的最后提出了让学生查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史,并了解笛卡尔在其中所做出的贡献,既有数学文化和数学史的学习,也引导提升学生的数学阅读能力.
3、检测及时,效果良好:
课堂教学考虑了教学目标的达成情况.设计目标检测及时了解学生学习效果,为后期教学提供的真实的数据依据.
总体来说,这是一堂近乎完美的概念教学课,很好地反映了教师在安排中的深思熟虑和教育追求,给教师以启发,给学生以启迪。
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